北京市首师附实验学校2024−2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案

北京市首师附实验学校2024−2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题（本大题共10小题）1．已知，则（

）A．0 B．1 C． D．22．如图，在平行六面体中，（

）A． B． C． D．3．已知，，则的坐标为（

）A． B． C． D．4．如图，已知正方体的棱长为1，（

）

A．1 B． C． D．5．设，分别是平面，的法向量，其中，，若，则（

）A． B． C．3 D．6．已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数为（

）A． B． C． D．7．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是（

）A． B． C． D．或9．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，且关于轴的对称点为点，则，两点间的距离为（

）A． B． C． D．10．在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，则和夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题）11．已知向量，则与共线的单位向量为.12．已知向量，且，则，.13．已知直线经过，两点，则点到直线的距离为.14．在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为；在的投影向量.15．以下关于空间向量的说法：①若非零向量，，满足，，则②任意向量，，满足③若为空间向量的一组基底，且，则，，，四点共面④已知向量，，若，则为钝角其中正确命题的序号是.三、解答题（本大题共4小题）16．如图，在正方体中，，为线段的中点.(1)求证：；(2)求平面的法向量；(3)求点到平面的距离.17．如图，正三棱柱的底面边长为，高为，为的中点，为的中点.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18．如图，在平行六面体中，，，，，，与相交于点，设，，.(1)试用基底表示向量；(2)求的长；(3)求直线与直线所成角.19．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.

参考答案1．【答案】C【详解】依题意，，则.故选：C2．【答案】C【详解】故选：C3．【答案】B【详解】因为，，所以.故选：.4．【答案】A【详解】因为，且，，所以.故选：.5．【答案】D【分析】本题根据图形关系得到，得到，解出即可.【详解】，且分别是平面的法向量，则，则有，故，则.故选：D.6．【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.【详解】直线方向向量,直线方向向量,，所以两向量夹角为，直线和所成角为，故选：B.7．【答案】B【分析】根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由，得：，则“”是“”的必要条件，而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.故选：B.8．【答案】C【详解】，与、不能构成空间基底；故选：C．9．【答案】D【分析】先求得的坐标，再用两点的距离公式求解【详解】因为点在坐标平面内的射影为点，所以，因为点关于轴的对称点为点，所以，所以，故选：D10．【答案】A【详解】连接，取的中点为，连接，如下图所示：

由正四面体的棱长为1可得，又分别是的中点，所以，且，所以即为异面直线和的夹角的平面角，又易知，且，所以，因此，即和夹角的余弦值为.故选：A11．【答案】或【详解】因为向量，所以，所以，所以与共线的单位向量为或.故答案为：或.12．【答案】//【详解】因为，，当时，所以，所以；因为，，，所以.故答案为：；.13．【答案】3【分析】根据坐标求出，，然后得到，最后用勾股定理求即可得到点到直线的距离.【详解】如图，过点作于点由题意得，，，，，所以，.故答案为：3.14．【答案】/0.5【详解】因为，，，所以，，所以，在的投影向量为.故答案为：12；.15．【答案】①③【详解】对于①，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数，使得，，故，所以，故①正确；对于②，因为，不一定共线且向量的数量积为实数，所以不一定成立，故②不正确；对于③，若为空间向量的一组基底，所以，，三点不共线，，且，所以，则，，，四点共面，所以③正确；对于④，当时，，反向共线，有，为，所以④不正确.故答案为：①③.16．【答案】(1)证明见解析；(2)，答案不唯一；(3).【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的长度即可.【详解】（1）因为是正方体，故可得面，又面，故可得.（2）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：则可得：，设平面的法向量为，则，即，取，可得，故平面的一个法向量为.（3）设点到平面的距离为，则.故点到平面的距离为.17．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）

如图以为坐标原点，以，所在直线为轴，轴，在平面内做与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，，，，，A10,0,4，，所以，，，设平面的法向量为，所以，即，令，所以，，即为平面的一个法向量，所以，又因为平面，所以平面；（2）由（1）知，，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.18．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）；（2），，，，，所以，，，由（1）知，所以，所以；（3），，，所以与所成角为，所以直线与直线所成角为.19．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）；（Ⅲ）2:1.【分析】（I）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（II）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（III）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC【详解】（I）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD（II）设正方形边长a，则．又，所以∠SDO＝60°．连OP，由（I）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角．由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°，即二面