第五单元平行四边形和梯形（单元复习讲义）教师版-2024-2025学年四年级上册（人教版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024-2025学年四年级数学上册单元复习讲义（人教版）第五单元平行四边形和梯形（思维架构+知识精讲+习题精练+知识拓展）知识点01：平行与垂直1.平行与垂直在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。2.垂线的画法一、过直线上一点，画这条直线的垂线的步骤：(1)把三角尺的一条直角边与已知直线重合；(2)沿直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合；(3)从直角的顶点起沿另一条直角边画一条直线；(4)拿走三角尺，在垂足处标出垂直符号。二、过直线外一点，画这条直线的垂线的步骤：(1)把三角尺的一条直角边与已知直线重合；(2)沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外一点；(3)沿三角尺的另一条直角边画一条直线；(4)拿走三角尺，在垂足处标出垂直符号。3.点到直线的距离从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。4.平行线的画法1.画平行线的步骤：(1)固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线；(2)用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺；(3)再沿同一条直角边画出另一条直线。2.平行线间的距离处处相等。考点1：平行的特征及性质【例1】要想创造出一组平行线，下面（

）的方法是错误的。A． B． C． D．【答案】B【分析】平行线的特征：两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离；平行线之间的距离处处相等；据此解答。【详解】根据分析：A．中，观察发现2个三角尺与直尺垂直的2条直角边互相平行，可以创造出一组平行线；B．中，光用一把直尺，无法判断这两条直线互相平行，不可以创造出一组平行线；C．中，观察发现直线CD与直线EF，都和直线AB垂直，那么直线CD与直线EF互相平行，可以创造出一组平行线；D．中，观察发现上面直线与三角尺形成的角加上下面直线与三角尺形成的同一边的角的度数相加，正好为180°，说明这两条直线互相平行；所以的方法是错误的。故答案为：B【趁热打铁】木工师傅常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行。你能说出其中的道理吗？【答案】平行线间的距离处处相等【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；两条平行线间的所有垂线段都相等；依此解答。【详解】木工师傅常把两把曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度。如果相等，木工师傅就能判断木板的两边平行。那是因为平行线间的距离处处相等。考点2：垂直的特征及性质【例2】经过直线外一点画已知直线的垂直线段，小明画的线段是2厘米，小飞画的线段是4厘米，小芳画的线段是15毫米，其中有一人画对了，（

）画对了。A．小明 B．小飞 C．小芳 D．无法确定【答案】C【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离；因此，谁画得线段最短，则谁就画对了，1厘米＝10毫米，依此选择。【详解】2厘米＝20毫米，4厘米＝40毫米15毫米＜20毫米＜40毫米，因此小芳画对了。故答案为：C【趁热打铁】两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做（

）。A．交点 B．垂足 C．端点【答案】B【分析】垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足；据此解答。【详解】根据分析：两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做垂足。故答案为：B考点3：过直线外一点画平行线【例3】过点A画直线的平行线。【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。【详解】画图如下：考点4：过直线上或直线外一点作垂线【例4】过直线外一点画这条直线的垂线。【分析】把三角板的一条直角边靠紧已知直线，沿这条直线滑动三角板，当另一条直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线。【详解】如图：考点5：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形【例5】张爷爷和队友正在排练风筝节代表队入场式，下图是他们的队形示意图。（1）代表队的入场造型是一个长方形，请把这个长方形补充完整。（2）站在队外的A是领队张爷爷，现在他要返回第一排，沿直线走到B处是最近路线吗？如果是，请画出他的行走路线：如果不是，请画出你认为最近的行走路线。答案】【分析】（1）长方形的两组对边平行，相邻的两条边互相垂直，则分别过两条边的顶点作邻边的平行线即可；（2）站在队外的A是领队张爷爷，现在他要返回第一排，沿直线走到B处不是最近路线，根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把第一排看作一条直线，站在队外的A看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。【详解】（1）长方形补充完整如下：（2）站在队外的A是领队张爷爷，现在他要返回第一排，沿直线走到B处不是最近路线。最近的行走路线作图如下：知识点02：平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形容易变形。从平行四边形一条边上的一点到对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高。长方形和正方形都是特殊的平行四边形。考点6：平行四边形的概念及特点【例6】按要求在下面的平行四边形中画一条线段。（1）分成两个平行四边形。

（2）分成两个梯形。

【答案】【分析】（1）两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，把一个平行四边形分成两个平行四边形，只需要在平行四边形的一组对边端点之间各取一个点，然后连接这两个点（顶点除外），且这条线要平行于平行四边形的另外两条边。（2）只有一组对边平行的四边形叫做梯形；在平行四边形的一组对边端点之间各取一个点，然后连接这两个点（顶点除外），只要这两个点的连线不平行于平行四边形的另外两条对边，就可以把它分成两个梯形。【详解】（答案不唯一）【趁热打铁】数一数，图中有多少个平行四边形？【答案】18个【分析】平行四边形是指在同一个平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。线段AB边上一共有6条线段，线段AD边上一共有3条线段，把AB边上的每一条线段看作是平行四边形的一条边，把AD边上的每一条线段看作是平行四边形的另一条边，图中一共有3×6＝18（个）平行四边形。【详解】3×6＝18（个）答：共有18个平行四边形。考点7：平行四边形和梯形的高及画法【例7】按要求在方格纸上画图。（每个小方格的边长表示1厘米）（1）底是6厘米、高是4厘米的平行四边形。（2）上底是2厘米、下底是4厘米、高是3厘米的梯形。【答案】【分析】（1）两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；由此可先画一条长6厘米的线段（6个小格）作为平行四边形的底，然后在距离底边4厘米（4个小格）处的位置画一条与底边平行的线段，长度为6厘米（6个小格），并且向右移动一个小格，最后用直尺分别将两条线段左边、右边的两个端点连接起来，即可得到一个底是6厘米，高是4厘米的平行四边形。（2）只有一组对边平行的四边形叫做梯形；因此可先用直尺画一条长4厘米（4个小格）的线段作为梯形的下底，再在距离下底3厘米（3个小格）处的任意一个小格处，画一条长2厘米（2个小格）的线段作为梯形的上底，与下底互相平行，最后将这两条线段左右两边的端点用线段分别连起来，即可得到一个梯形；【详解】（1）、（2）作图如下图：（梯形的画法不唯一）考点8：平行四边形的不稳定性及应用【例8】拉动长方形木框，变形为平行四边形，下列说法不正确的是（

）。A．平行四边形具有不稳定性 B．四根木条的长度没有变化C．长方形的周长大于平行四边形的周长 D．形状变了，周长不变【答案】C【分析】长方形、平行四边形都具有不稳定性，容易变形。把长方形拉动成平行四边形，形状变了，但是四根木条的长度没有变化，所以周长没变。【详解】拉动长方形木框，变形为平行四边形，说法不正确的是：长方形的周长大于平行四边形的周长。故答案为：C【趁热打铁】下列说法错误的是（

）。平行四边形具有稳定性 平行四边形的两组对边分别平行 C．长方形是特殊的平行四边形【答案】A【分析】A．平行四边形易变形，具有不稳定性；B．两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；C．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质，因此长方形是特殊的平行四边形。【详解】A．平行四边形具有不稳定性，所以原题说法错误；B．平行四边形的两组对边分别平行，此说法正确；C．长方形是特殊的平行四边形，此说法正确。故答案为：A知识点03：梯形只有一组对边平行的四边形叫做梯形。在梯形里，互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰。从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高，梯形有无数条高。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。四边形之间的关系：考点9：梯形的概念及特点【例9】()个梯形。【答案】15【分析】根据对梯形的认识解答本题，应用一一列举的方法，从只有一个梯形的图形开始列举，要做到不重复，也不遗漏。梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。根据梯形的定义来找即可。【详解】根据分析：单独的一个梯形有4个；由2个梯形组成的梯形有6个；由3个梯形组成的梯形有2个；由4个梯形组成的梯形有2个；最后加上最大的那个梯形；4＋6＋2＋2＋1＝15（个）【趁热打铁】在梯形中，()的一组对边叫做梯形的底，不平行的一组对边叫做梯形的()。【答案】互相平行腰【详解】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。在梯形中，互相平行的一组对边叫做梯形的底，不平行的一组对边叫做梯形的腰。考点10：直角梯形及等腰梯形的概念及特点【例10】下图中，图()中A的周长等于B的周长；图()中A的周长小于B的周长；图()中A的周长大于B的周长。【答案】①③②④【分析】根据长方形对边相等，①中A的周长和B的周长除了中间共同的一条曲线，还分别有一条长方形的宽和长，因此周长一样；等腰梯形的腰一样长，但是梯形上底和下底长度不一样，②中A的周长和B的周长除了中间共同的一条曲线，A有一条腰和一条短的下底，B有一条腰和一条长的上底，因此A的周长小于B的周长；平行四边形对边相等，③中A的周长和B的周长除了中间共同的一条曲线，还分别有平行四边形相邻的两条边，因此周长一样；④中A的周长和B的周长除了中间共同的一条线，A有大长方形完整的一条宽和长还有两条小线段，B没有大长方形完整的一条长和宽，所以A的周长大于B的周长。【详解】图①③中A的周长等于B的周长；图②中A的周长小于B的周长；图④中A的周长大于B的周长。【趁热打铁】一个等腰梯形的周长是35厘米，上底与下底的和是15厘米，每条腰长()厘米。【答案】10【分析】梯形有4条边，它的周长是这4条边的长度之和，用35减15即可求出两腰的和，而这个梯形是等腰梯形，即两条腰相等，再用两腰的和除以2即可求出每条腰的长度。【详解】（35－15）÷2＝20÷2＝10（厘米）每条腰长10厘米。

一、选择题1．把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的（

）总是相等的。A．周长 B．高 C．上底和下底的和 D．以上都有可能2．等腰梯形中，（

）一定相等。A．上底和下底 B．上底和腰 C．两个底角3．下列说法中正确的是（

）。A．梯形是一种特殊的平行四边形B．在梯形中，平行的一组对边叫作梯形的腰C．直角梯形有无数条高D．只有一组对边平行的图形都是梯形4．下面各组图形中，（

）是一组平行线，（

）是一组互相垂直的直线。①

②

③A．①② B．②③ C．①③5．如图，以点A为一个端点的线段中，最短的是（

）。A．AB B．AC C．AD D．AE二、填空题6．()个梯形。7．在梯形的一组平行的对边之间画一条垂线段长3厘米，这个梯形的高是()厘米。8．从直线外一点向已知直线画线段，()最短。9．下列图形中各有几个平行四边形？()个

()个10．长方形的对边互相()，邻边互相()。数学书封面的上下两条边互相()，右边和上边互相()。三、判断题11．等腰梯形是轴对称图形。()12．两个完全一样的平行四边形一定可以拼成一个长方形。()13．平行四边形的四条边都可以作底。()14．平行四边形只有两条高。()15．把一个长方形框架拉成一个平行四边形，平行四边形与长方形相比，周长和面积都不变。()四、解答题16．用一根长46厘米的铁丝围成一个上底是6厘米、下底是14厘米的等腰梯形，这个等腰梯形的腰长是多少厘米？17．生活中，木工师傅要判断木板的两边是否平行，常常把两把曲尺紧靠木板的两边，然后看看曲尺对应的刻度是否相同，如果相同，就说明木板两边平行。请你根据平行的知识，说一说这样操作的原理。这样的现象我们生活中还有很多，请你想一想，写一写，哪些地方也用到了这个平行的知识？18．数一数，图中共有多少个正方形？（1）

（2）参考答案：1．B【分析】平行四边形的两组对边是平行的，它的高有无数条且都是相等的，所以无论怎样分割成两个梯形，这两个梯形的高都是从平行四边形的同一边（或平行边）上垂直下来的，所以它们的高是相同的。【详解】把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的高都是从平行四边形的同一边（或平行边）上垂直下来的，所以这两个梯形的高总是相等的。故答案为：B2．C【分析】两腰相等的梯形叫作等腰梯形，梯形的上下底平行，两个底角是由底边和两条腰组成的角，经过对折这两个角可以完全重合，所以两个底角一定相等。【详解】A．等腰梯形中平行的两条线段，较短的是上底，较长的是下底。B．等腰梯形中，上底和腰不一定相等。C．等腰梯形中，两个底角一定相等。故答案为：C3．C【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，据此解答。【详解】A．梯形是一组对边平行，平行四边形是两组对边平行，所以原题表达错误；B．互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰，所以原题表达错误；C．梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高，所以原题表达正确；D．有一组对边平行的四边形叫梯形，所以原题表达错误。故答案为：C4．A【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；依此选择。【详解】各组图形中，①是一组平行线，②是一组互相垂直的直线；③是一组相交的直线。故答案为：A5．C【分析】连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此选择即可。【详解】AD垂直于BE，最短的是AD。故答案为：C6．28【分析】根据对梯形的认识解答本题，应用一一列举的方法，从只有一个梯形的图形开始列举，要做到不重复，也不遗漏。梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。根据梯形的定义来找即可。【详解】根据分析：单独的一个梯形有6个；由1个梯形和1个长方形组成的梯形有6个；由2个梯形组成的梯形有4个；由2个梯形和1个长方形组成的梯形有3个；由3个梯形组成的梯形有2个；由2个梯形和2个长方形组成的梯形有4个；由4个梯形和2个长方形组成的梯形有2个；最后加上最大的那个梯形；6＋6＋4＋3＋2＋4＋2＋1＝28（个）7．3【分析】从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，梯形的高是梯形两底之间的垂线段，据此答题。【详解】在梯形的一组平行的对边之间画一条垂线段长3厘米，这条垂线段就是梯形的高，所以这个梯形的高是3厘米。8．垂直线段【分析】直线外一点A，过A点向直线画线段，如图：连接点到直线的线段中，垂线段最短，有且只有一条，据此解答即可。【详解】从直线外一点向已知直线画线段，垂直线段最短。9．69【分析】根据平行四边形的定义，平行四边形是指一种四边形，其对边分别平行且相等。据此数出图中平行四边形，数的时候先从不是拼接的数起，然后数拼接而成的，不要漏数。【详解】如图所示：单个的有：①，②，③，共三个两个的有：①②，②③，共两个三个的有：①②③，共一个所以一共6个（2）如图所示：单个的有：①，②，③，④，共四个两个的有：①②，①③，②④，③④，共四个四个的有：①②③④，共一个所以一共9个10．平行垂直平行垂直【分析】同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况；垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足；据此解答。【详解】根据分析：长方形的对边互相平行，邻边互相垂直；数学书封面的上下两条边互相平行，右边和上边互相垂直。11．√【分析】辨识轴对称图形的方法：如果一个图形，沿着一条直线对折，两边的图形能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此判断即可。【详解】等腰梯形都是两腰相等的图形，是轴对称图形；故答案为：√12．×【分析】要拼成一个长方形，‌需要满足以下条件：‌两个平行四边形的相邻边必须相等，‌这样它们才能无缝拼接。‌两个平行四边形的夹角（‌即相邻边之间的角）‌必须是直角，‌这样拼接后的图形才是长方形。‌长方形的四个角都是直角，而平行四边形的内角都不是直角，所以两个完全一样的平行四边形不能拼成四个角都是直角的长方形。【详解】平行四边形四个角都不是直角，所以两个完全一样的平行四边形无法拼成四个角都是直角的长方形。故答案为：×13．√【分析】平行四边形的底和高是相对应的，只要是由平行四边形的一边找一点向对边作垂线，和这条垂线垂直的边就是底，据此解题。【详解】平行四边形的底和高是相对应的，只要是由平行四边形的一边找一点向对边作垂线，和这条垂线垂直的边就是底，所以平行四边形的四条边都可以作底。故答案为：√14．×【分析】根据平行四边形高的含义：平行四边形的高是指对边之间的距离，那么两组对边之间都可以画无数条垂直线段，所以有无数条高。【详解】平行四边形有无数条高，所以平行四边形只有两条高这句话错误。故答案为：×15．×【分析】封闭图形一周的长度是这个图形的周长；面积是指物体所占的平面图形的大小；把一个长方形框架拉成平行四边形，四条边的长度没有发生变化，则平行四边形的周长＝长方形的周长；平行四边形的底对应长方形的长，比较平行四边形的高和长方形宽的大小关系，据此解题即可。【详解】把一个长方形框架拉成一个平行四边形，如下图：观察可知：长方形和平行四边形相比，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高小于长方形的宽，所以，把一个平行四边形框架拉成一个长方形，长方形和平行四边形相比周长不变，面积改变了。故答案为：×16．13厘米【分析】等腰梯形的两腰相等，用铁丝的长度减去上底和下底的长度，等于两腰的长度和，再