2024高考数学二轮复习重难点专题《三角函数最值与取值范围问题十三大题型》题型突破及解析

重难点专题17三角函数最值与取值范围问题十三大题型汇总

题型1单调性与最值...................................................1

题型2辅助角公式求最值...............................................2

题型3一元二次函数与最值............................................3

题型4sinx与cosx和差求最值.........................................4

题型5分式型最值.....................................................5

题型6绝对值型求最值.................................................6

题型7三角换元法求最值...............................................7

题型8三角换元法与向量求最值........................................8

题型9三角换元法与根号型求最值......................................9

题型10换元法求最值.................................................10

题型11距离与斜率型.................................................10

题型12参变分离.....................................................11

题型13复合函数型...................................................11

题型1单调性与最值

利用正弦型函数的单调性求解对应区间的最值问题

【例题1】（多选）（2022秋・安徽阜阳・高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）

已知函数贝力二sin（ax*：）在（0,4上有最大值和最小值，且取得最大值和最小

值的自变量的值都是唯一的，则整数a的取值可能是（）

A.B.-EC.1D.2

【变式1-1]1.（多选）（2023秋•湖南长沙-高三湖南师大附中校考阶段练习）

已知函数力力二sing"。）（"20满足火功二A小〃）二三,且凡外在

（%七+打上有最大值，无最小值，则卜列结论止确的是（）

A.4孙咛）二心若3C,则*力二sin（冗"?

C.犬力的最小正周期为4D.H力在202©上的零点个数最少为1012个

【变式1-U2.（2021秋・辽宁大连-高三大连八中校考阶段练习）关于函数

/（x）-sinx-jcosji,下列说法正确的是（）

A.是偶函数B.4是Hx）的极值点

C.Hx）在L3,9）上有且仅有/零点D.汉X）的值域是万

【变式1-U3.（多选）（2020秋・福建厦门-高三厦门双十中学校考阶段练习）

己知函数区"二二F,则下列结论正确的有（）

A.H*）在区间打上单调递减

B.若。（力＜X］Wn,则肛，sinj^＞x^-sin/j

C.Hx）在区间他对上的值域为应力

D.若函数用了）=xg'（x）*cosj,且爪用）二一1，爪x）在对上单调递减

【变式1T】4.（2023•全国•高三专题练习）已知函数

fG"sin（a"分，3》0,若［今"（金且"r屉区间（总上有最小值

无最大值，则3-_____一

【变式1T】5.（2O23•全国-高三专题练习）若a、b为实数，且2（“函数/二sim

在闭区间labl上的最大值和最小值的差为1,则白-2的取值范围是.

题型2辅助角公式求最值

通过辅助角公式化简成正弦型函数，进而求解对应区间的最值问题

【例题2】（2023•天津东丽•校考模拟预测）已知函数

*力二sin3jr，cosax（3〉0）图象的最小正周期是兀，贝i］（）

①式＞）的图象关于点（9,0）对称

②将巴力的图象向左平移9个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称

③Hx）在W曰上的值域为LL川

④Hx）在卜上单调递增

A.①②④B.①②③C.②④D.②③④

【变式2-1】1.（2023・天津・三模）已知H%）二糜inax-COsaXE，。3）5，

式力二2t3U,若对Hr；£人Jx2TI,使得HX；）Wg（x9成立，若在

区间I。耳1上的值域为卜，才，则实数J的取值不可能是.

A.7B.1C.三D.1

【变式2-1]2.（2023秋•江苏南通・高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已

知函数打力二5正3%，85他"下）（^》”在/0,兀）上的值域为'_?34

则的取值范围为

【变式2T】3.（2023•陕西铜川♦统考二模）已知函数

*力=8s若“e卜+/71则函数r力的值域为—.

【变式2-114.（2023•四川达州•统考二模）函数

厂2si""啦o£?-6gMl在区间上的值域为I循显则Kiwu

的取值范围为一.

题型3一元二次函数与最值

类比一元二次函数，求解最值

【例题3】（2023・全国-高三专题练习）已知函数力解二4sin；（3+x）'4siru,

x£也司的值域为14,⑸，则实数g勺取值范围为（）

A.I总曰B.I23C.I总叫D.I筌，"I

【变式37】1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知函数

*力二为in；x-+7,则（）

A.犬力是偶函数B.0力在区间卜!，0）上单调递增

C.犬力在I-兀J/1上有4个零点D.0X）的值域是1061

【变式3-1]2.（2023秋・江西宜春・高三江西省丰城中学校考开学考试）设

函数A：cos2"dsin"d《3WF.若方程g）二。在叼上有4个不相

等的实数根，则d的取值范围是.

【变式3-113.（2023•全国•高三专题练习）己知函数

烈力—cos"4x£仔，冗）有两个零点.

⑴求实数a的取值范围；

⑵设七是g（x）的两个零点，证明：肛+孙＜9

【变式37】4.（2022秋•上海虹口•高三统考阶段练习）已知函数

f[x>-sin*i-asinj

⑴当时,求Xx）的值域；

⑵若函数V="3-f《r）在区间Ml上是严格增函数，求a的最大值；

⑶设kJ"£人方程f3»二匕的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否

能构成等差数列？若能，求所有满足条件的u的值；若不能，说明理由.

【变式3-115.（2022秋•广东佛山•高三华南师大附中南海实验高中校考阶段

练习）己知函数真万）弓血2"灰。s"c.

（1）当b二1,m,则«制的最大值为；

（2）若对任意X,、M£人都有小无）一犬X川W4,则上的取值范围为.

题型4sinx与cosx和差求最值

利用sin*，COSJ与sinjcosi的关系，通过换元可以进行代数式的化简

&、sxvrxour

【例题4】（2023•全国•高三专题练习）已知函数“X）二二二”将代力的图

像向右平移？个单位长度，得到烈尸）的图像，则（）

A.7为真X）的一个周期

R.K0的值域为[T,1]

C./幻的图像关于直线刀二°对称

D.曲线V=f（力在点（-.*-；））处的切线斜率为三

【变式4-111.（2022•全国•高三专题练习）函数

Jw的值域为（）

A.卜&乙Q+7）C.D."。川

【变式4-1]2.（2023•辽宁・大连二十四中校联考模拟预测）已知函数

/（x）-sinj*cosx-asimcosj,aGF.

（1）当己二6时，求函数Hx）的单调递增区间；

⑵若兀），关于X的方程Hx）二■有三个不等的实根，求a的取值范围.

【变式4113.（多选）（2023春•湖南-高三统考阶段练习）已知函数

H力二，其中a,b,二£（。/8）,R&二G,则下列结论正确的是

（）

A.3<C

C.Hx）在R上单调递减D.农力乃最大值为4-久历

题型5分式型最值

nHicoxj

1.可以用正余弦有界性：上下同名型：g（x）=（或者cosx换成sinx）.

kcon

2.可以用辅助角：上下同名型：g（x）==；（或者cosx与sinx互换）.

【例题5]（2020•全国-高三专题练习）已知"工）=盥"将Hx）的图象向左

平移二个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的W得到烈X）的图象，下

列关于函数仪X）的说法中止确的个数为

①函数式X）的周期为三；②函数式X）的值域为K2才;③函数式力的图象关于

户一?对称;④函数爪尸）的图象关于（，0）对称.

A.7夕B.2少c.3个D.。少

【变式5-1】1.（2022•全国♦高三专题练习）函数"小心的值域为

A.L2ZB.C.1/刀D.L2Z

【变式5T】2.（多选）（2023・全国-高三专题练习）已知函数“幻

则（）

A.犬力的图象关于点（34对称B.g为«力的一个周期

C.巩了）的值域为l-QQD.H*）在IK41上亘调递减

“）KXOZTTZ

【变式5-1】3.（多选）（2022•全国•高三专题练习）已知力"二二二二,

则（）

A.f（刀的图像关于直线》二:对称

B.f在（一亍，°）上递增

c./Y力的值域是m2♦七

D.若方程’e二：在M与I上的所有实根按从小到大的顺序分别记为

X。X》-//,则X；+2乃+2x/-+2b：+X*115N

【变式5TM.（2023•全国-高三专题练习）函数力力：处的值域为.

题型6绝对值型求最值

绝对值型需要进行分类讨论，再进行分析

【例题6］（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知函数

«力二1史珀（钎9|"sin（"习，其中66"。.则下列说法中正确的有

（）.

A.真X）的最小值为一£

B.*力的最大值为J〃♦月

C.方程真X）二方在69,十：上有三个解

D.犬力在（9,9）上单调递减

【变式6-1］1.（2022•全国-高三专题练习）已知函数角力-COSJ,若对任

意实数X，，七，方程一五M）1二刑加w用有解，方程

・斤）也有解，见5沙，的值的集合为,

【变式6-1】2.（2022•全国-高三专题练习）给出以下命题：

①若a、B是第一象限角且。＜B,则tan。＜tan£；

②函数Xsigr（xe（4,3有三个零点；

_siD^xntu

③函数y—-是奇函数;

④函数蚱卜皿T的周期是2页；

⑤函数力外二-先iMx+4cosjr+7-&,当》*卜3,巧1时=4亘有解，则a

的范围是45」.

其中正确命题的序号为.

【变式67】3.（2023春•浙江温州•高三统考开学考试）函数

|x-m"cos我［。虬h的值域为9|,贝1的值为

【变式6T】4.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知函数

fW-|sinx|*|cosj|-sina-/,则下列说法正确的是（）

A.H*）是以天为周期的函数

B.直线》二:是曲线/二/出1的对称轴

C.函数H力的最大值为最小值为。

D.若函数巴力在区间他#兀）上恰有2023个零点，则茶

【变式6-115.（2022春・新疆-高三校考阶段练习）定义：设不等式穴力>6的

解集为A,若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”.若关于x的不等式

sini*cosx>2mxf|sinx-cosx|^（0,耳）上存在“和谐解集”，则实数m的取

值范围为（）

rC0s7

A./=/cos/JgCOS/JQ|COS2COSJID.[cosZsinZ

题型7三角换元法求最值

1.二次型双变量可以三角换元.

2.椭圆型，或者双变量型，可以适当选择多项式三角函数换元.

【例题7】（2023秋•广东清远•高三校考阶段练习）若/，尸二2,那么

的最大值为___________

【变式7-111.（2023春•上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习）已知

实数孙•孙・为满足d+yf.，”切必与，则元的最大值

为.

【变式7-112.（2023•全国•高三专题练习）设入夕GF且4求

/♦产的取值范围是.

【变式7-113.（2023-上海普陀・统考一模）设小、比、心均为正数且二吗

则使得不等式'1=总成立的％的取值范围为-

【变式7-114.（2023•全国•高三专题练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵

可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐

标系中，点巴上，必1周必先）的曼哈顿距离为%3天r#lK「火.若点汽-2J）,

Q是圆♦：（尸D"（jT）吐1上任意一点，则的取值范围为（）

A.1-2,21B.|2,3fV21c.I-2.3-V21D.|3乜讣②

【变式7-115.（2022•北京・高三强基计划）设a,b,c为正数，且

则86・3+储的最大值为（）

GJ■夕

A.-B.-C."FD.i

题型8三角换元法与向量求最值

向量中的三角换元原理之一，就是源于命上R,实质是圆，所以模定值，可以用

圆的参数方程代换

【例题8]（2023-全国-高三专题练习）已知正方形侬的边长为Z动点/在

以£为圆心且与儿相切的圆上，则历•位的取值范围是—.

【变式8-111.（2020•全国•高三专题练习）如图，扇形的半径为1,圆心角

4AC=120•，点p在弧BC上运动，彘,则3"删最大值为.

AR

【变式8-112.（2022-山东日照・统考一模）在

&檄中，二三,且荻市,初河点M是4故外一点，BM二2cM二2,则

AM的最大值与最小值的差为.

【变式8-1】3.（2023-陕西西安-西安一中校联考模拟预测）已知d械外接

圆的圆心为0,I圈二I闺二8,AO-aAB-b0ER,若

次i+85冷（，。sin4・£cos"）（f行最大值！则参数t的值为.

【变式8-1]4.（2022秋・新疆・高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平

面内，定点满足屈/二屈/二位/二2,苏•辰二币•而二沅・巫:0,

动点£/满足屈/二工所二灰，则应产的最大值人.

【变式8-115.（2022秋・江苏盐城・高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）如图,

扇形AOB的圆心角为K,半径为1.点P是班上任一点，设

⑴记H。）二炉•瓦，求角。）的表达式；

⑵若京r而打侦，求/的取值范围.

【变式8-116.（2022秋・天津宝城•高三校考阶段练习）己知边长为M的正

△ABC,内切圆的圆心为0,过B点的直线1与圆相交于M,N两点，（1）若圆心

0到直线1的距离为1,则I丽：（2）若

而二国+电…E9+R））,则4+4的取值范围为-

【变式8-1）7.（多选）（2023-全国・高三专题练习）正方形ABCD的边长为4,

E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，AP-kABiuAi,则

A.“最大值为1B.万♦瓦最大值是8

C.人最大值为号D.AP'/最大值是火小行

题型9三角换元法与根号型求最值

无理单根号，双根号等等三角换元的数字特征.

1.单根号，一般是齐次关系.

2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x.

3.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约.

【例题9]（2021秋・天津红桥-高三统考期中）设2学（,则--的最小值

是-

【变式9-111.（2020春-上海闵行-高三上海市七宝中学校考期中）若

好47+718-外,则y的取值范围是

【变式9-1]2.（2021秋・江西吉安・高三江西省万安中学校考开学考试）已

知gb,c£[・4,4,则小用的最大值为

【变式9-1]3.（2021秋・上海浦东新・高三上海市建平中学校考阶段练习）

设r,f满足匚储二。则r的取值范围是.

题型10换元法求最值

gixix

【例题10】（2008•重庆•高考真题）函数f（xk77"（。Wx的值域

是

1J11

A.[-77]B.[-r1]

2J22

C.[-P3]D.[-^1]

【变式10-111.（2022春・辽宁沈阳-高三辽宁实验中学校考期中）函数

\_BULXT

XS-Srotrr皿的最大值是（）

33/344戊

A.5B.TC.sD.—

【变式10-112..（2022•安徽合肥•合肥市第六中学校考模拟预测）己知。，

6e（^T）,全in（。+6）=sinosinS,则展‘；人十艺三，的最小值为

（）

6c2L111

A.>T2-1B.v2C.-D.—

【变式10-113.（2020秋•河南新乡•高三校联考阶段练习）函数

片言三仅WxW?的最大值和最小值分别为（）

,C一aC.

A.ZB.3C.3,0D.。

题型11距离与斜率型

【例题11]（2020•江苏盐城•盐城市第一中学校考二模）己知函数

f()=2I(cosQ+sin70-Icos7o+(sina-：尹廿代人

2xl2,若集合

括£月?/。）云同H。，则实数万的取值范围为.

[变式11-1]1.（2023•全国•高三专题练习）函数

=Vicosin"5-的最大值为().

A.乐bB.R3c.如3

【变式UT】2.（2022•全国•高三专题练习）设圆为/+/=7上两点力（

讥立以荫足：0A,0B~1贝ijlx,■公，IMx,■电I的取值范围是

【变式11-113.（2023•全国•高三专题练习）存在实数o使得

'(coso.^cos^a，(sin。-勺?万

则实数n的取值范围

为.

【变式11-1]4.（2023・全国•高三专题练习）已知x£/-，，⑶,yWR.,

则…尸♦的最小值为.

_・所3、

【变式11T】5.（2022•上海-高三专题练习）函数P------—的值域

为

题型12参变分离

9-Xf-3!-3、・

【例题121（2021•全国-高三专题练习）不等式----------------->s】n

对于所有实数x都成立，求夕的取值范围.

【变式12-1]（2021•浙江金华•统考一模）已知函数*x）二三二（I"加最

大值和最小值分别是比凡则力为（）

A.1B.2C.-1D.-2

题型13复合函数型

【例题131（2023•全国-高三专题练习）已知定义在R上的偶函数汽力，当X6I

4cosjrsin（i*yj-1,0WxW三

/（jr）--

时满足（3"!储:，关于，的方程

[汽划；♦然/U）二侑且仅有6个不同实根，则实数如勺取值范围是—.

【变式13-111.（2020•湖南岳阳-高三校考阶段练习）设函数

（注05?的JT£[-66]

“"七一0"（£P,若关于，的方程

以二仇8£㈤有且仅有％个不同的实根，则实数石的取值范围

是

【变式13-1]2.（2022秋・福建福州-高三校联考期中）已知函数

Hx）Msin（u"与⑷。—|0|的部分图象如图所示.

（1）求巴力的解析式；

⑵若不£住金，关于邛勺方程也犷-血U）根二。恰有两个实根，求上的取值

范围.

1.（2023•江西九江•统考一模）己知函数fB）=2cos（3x+◎）（3>6）的最

小正周期为兀，RiJ的图像关于点（白°）对称，灯勿若在/。如上存在

最大值2,则实数4的最小值是——

2.（2022•四川泸州•统考一模）已知函数日口二5m9」，任取f£h,记函

数f（x）在九"力上的最大值为，・，最小值为加，设方/。二及一附则函数力〃J的

值域为（）

AJ-羽BI哼/吗

C.卜哼qD.怪"枭

3.（多选）（2023•海南海口•校考模拟预测）己知函数

打）cos（5T,则以下说法中正确的是（）

A.的最小正周期为勿B.力»的值域为1。刀

c.《"3为奇函数D.若灯”在区间上单调，则己的最大值为三

4.（2023•北京海淀•校考模拟预测）已知点0是边长为4的正方形的中心，

点P是正方形ABCD所在平面内一点，I研二乙若不二4的♦，应.

（1）人的取值范围是;

（2）当▲在〃取得最大值时，I明二

5.（2021・全国-统考高考真题）函数R"二sin/cos：的最小正周期和最大值

分别是（）

A.6和&B.。和2c.6开和&D.6兀和2

6.（2023•全国•统考高考真题）已知实数％3满足，+/-〃-a-4二。则

X-J的最大值是（）

A.1吟B.4C.1+3cD.7

7.（2021•北京・统考高考真题）函数=COSX-COS为是

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

C.奇函数，且最大值为D.偶函数，且最大值为1

8.（2022•全国•统考高考真题）记函数/，fx）=COS（wx+.

的最小正周期为T,若，为的零点，则的最小值为.

参考答案与试题解析

重难点专题17三角函数最值与取值范围问题十三大题型汇总

题型1单调性与最值..................................................14

题型2辅助角公式求最值.............................................20

题型3一元二次函数与最值...........................................24

题型4sinx与cosx和差求最值........................................33

题型5分式型最值....................................................38

题型6绝对值型求最值................................................44

题型7三角换元法求最值..............................................51

题型8三角换元法与向量求最值.......................................57

题型9三角换元法与根号型求最值.....................................67

题型10换元法求最值.................................................70

题型11距离与斜率型.................................................72

题型12参变分离.....................................................78

题型13复合函数型...................................................80

题型1单调性与最值

用正弦型函数的单调性求解对应区间的最值问题

【例题1】（多选）（2022秋・安徽阜阳-高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）

已知函数凡力二?在4上有最大值和最小值，且取得最大值和最小

值的自变量的值都是唯一的，则整数的取值可能是（）

A.-JB.-xC.1D.2

【答案】BC

【分析】利用整体思想与分类讨论思想，结合正弦函数的性质，可得答案.

【详解】当口乂时，所以得

JW3<-

幺”，

当3〃时，3"：£卜3彳，彳），所以-9<431毛一,得

-——<3—

?，

选项BC是范围内的整数.

故选：BC.

【变式1-1]1.（多选）（2023秋•湖南长沙-高三湖南师大附中校考阶段练习）

MB

已知函数犬X）=sing"0）（“）0满足火功二A小〃）二三,且五”在

（X。七+J）上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（）

A.《小9二]B.若心二C,则W力二sin（冗"?

C.H力的最小正周期为4D.N力在92023上的零点个数最少为1012个

【答案】AC

【分析】根据题设及正弦型函数的对称性有,（人’9=1,假设B中解析式成立,

由为N得《9支，进而验证解析式，令〜+°二或开4，

3（31）+7’3.k£2,作差求3,进而求最小正周期，根据所得周

期及正弦型函数的零点性质判断区间零点个数.

【详解】A,由题意H力在―北⑺的区间中点处取得最大值，即'（小七）二乙

正确；

B,假设若3。则简二sin（天"亍）成立，由A知名）二乙

而砥:sin%k

故假设不成立,则错误;

c,真血）二式孙根）二;且凡力在（七打3）上有最大值，无最小值,

令3乃+e=2kN+3,35+D+@=2虹三，k£2,

则两式相减，得3二=即函数的最小正周期7二£二4，故正确；

D,因为7=4,所以函数Hx）在区间他为幽上的长度恰好为506个周期，

当二4,即&二左兀，4£2时，H＞）在区间2。为上的零点个数至少为

506X2-1=1011个,故错误.

故选：AC.

【变式1-112.（2021秋・辽宁大连-高三大连八中校考阶段练习）关于函数

Ax）^sinx-icosj,下列说法正确的是（）

A.是偶函数B.G是的极值点

C.Ax）在＞）上有且仅有外零点D.犬幼的值域是万

【答案】D

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系

可判断B选项；利用函数Hx）在卜9,3）上的单调性结合五0二0可判断C选项;

根据HZ兀）A球五々£0，再分类讨论即可判断D正确.

【详解】对于A选项，函数*力二Sinx-icosi的定义域为儿

贝IJ0-力二sin（-*）*icos（-x）^sinx^xcosx--Y（x）,故函数Hx）为奇函数，

A错；

对于B选项，f（x）-cosx-cosx^xsinx-xsinj,

当时，sinx（C,此时，/（j）此时函数dx）单调递增，

当°<x<%寸，sinxP。此时，f⑶>0,此时函数Hx）单调递增，

所以，C不是函数«力的极值点，13错・；

对于C选项，由B选项可知，函数乂力在（一J，；：上单调递增，且*0二。

所以，函数犬力在卜3,3）上有且只有一个零点，C错；

对于D选项，因为函数Wx）在力上连续,/（%兀）=sin球7-2Mcos2k员>珠兀,

所以当才一，8时，且』ez,Hx）-8,

当A-8时，且女w2,不力一+8,

又二4所以函数真x）的值域为人故D正确.

故选：D.

【变式1-113.（多选）（2020秋・福建厦门-高三厦门双十中学校考阶段练习）

已知函数二平，封，则下列结论正确的有（）

A.犬力在区间小上单调递减

B.若「<与W”,则打，sinx3>x2-sin/j

C.犬力在区间不上的值域为I。力

D.若函数俱x）=xg'（x）+cosu,且烈月）二一［，爪刀）在（。叼上单调递减

【答案】ACD

【解析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，

对于选项A：当x彳）时，可得，（幻《0,可得H力在区间®9）上单调递减;

当％El^"L可得/（外“，可得Hx）在区间及1±单调递减，最后作出判

断;

KXUTtKKXCX;

对于选项B：由a%）在区间（。对上单调递减可得zu；）孙），可得="不

进而作出判断；

对于选项C：由三角函数线可知simr<x,所以=三一二4进

而作出判断；

对于选项D：g'（x）=8'（力"g'a）-siru,可得，詈"Cr）,然后利用导

数研究函数g'（外在区间（。灯上的单调性，可得g'（©Wg（及）=。进而可得出

函数式x）在冗I上的单调性，最后作出判断.

【详解】/（J）-----,不右（。叫

当不.（09时，cosx^tf,由三角函数线可知X<1anj,

所以“'工，gpxcosx<siru,所以尸cosx-sinj<。

所以所以升力在区间（0：）上单调递减，

当¥*[+，*1,cosxI,sinx2《所以xcosx-sinx",/（x）<0,

所以*X）在区间E，a上单调递减，

所以Wx）在区间/上单调递减，故选项A正确；

当0（力时，Hx；）根乃），

sxnxj

所以百即X：,sinj^<x3-sinxj,故选项B错误；

由三角函数线可知sinxC,所以八几"二三二C,

所以当x£（。”]时，H*）£|。力，故选项C正确；

对俱x）=xg'（x）*8S1进行求导可得：

所以有g'（x）二屋（幻+xg（x）-sin），

所以屋（x）=卓二f（x）,所以g'（jr）在区间对上的值域为⑻力，

所以屋（x）?C,g'（x）在区间了I上单调递增，因为屋（“）乂，

从而g'（x）Wg（x）二。所以函数用力在（〃对上单调递减，故选项D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数"X）二丁的性质，可

先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单

调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.

【变式1T】4.（2023•全国•高三专题练习）己知函数

3’0若陪■）"（为且，⑴在区间弓言上有最小值

无最大值，则3-______一

【答案】4或10/10或4

【分析】根据《9）二，（三）可求出f（x）的一条对称轴，根据该对称轴可求出3

的表达式和可能取值，结合y=sinx的图像，根据fGJ在区间（9,W）上有最小

值无最大值判断3的取值范围，从而判断3的取值.

【详解】•・・f（x）满足《7）二,佬），・・・k一二；是f（x）的一条对称轴，

.,.4,3+5=三+kR,：.3+3k,kGZ,

•・•3>o,3=lt4,7,IQ,13,•二

当V）时，6（彳3+1,卷3+彳），

y=sinx图像如图：

要使在区间（9,上有最小值无最大值，则:

此时3=4或10满足条件；

（*ST\5XxJr_JT

区间亢1的长度为："77"7"77"~"7,

当3力时，f（x）最小正周期7二三三•则f（X）在（9,与既有最大值也

有最小值，故加不满足条件.

综上，3=4或10.

故答案为：4或10.

【变式1T】5.（2O23・全国-高三专题练习）若a、b为实数，且己（4函数V=sinJ

在闭区间14方1上的最大值和最小值的差为1,则白一2的取值范围是.

【答案】序"1

【分析】讨论日的取值，结合三角函数的图象，即可求解.

【详解】（i）当函数y二situ在闭区间［,加内无最值，则函数y二situ在句内

单调，

不妨取［。句£（・+，4）,可知ae（-7-。）/e（^7）,夕二sin」在［且耳内

单调递增，

可知sin（"y）-sina=cosa-sina=V^：05（"习，

且4则"；£（一97）,则cos（"：）c住4,

所以sin（6+3-sine=V5oos（8.彳）>1-sinb-sina即sin6（sin（a*-7］,

可得方<

①若b唳,则最大值和最小值的差为:■（・：）=］,符合题意;

②若&£（一3一?,b£（03）,

则sin（3+-sina-ycosa-^sina-cos

因为a£（-不一斗，则"76rH?。），可得cos（a，：）（7,

故sin方一sina-2>sin-y）-siru,可得sin&>sin习，

且"+£（一总?，be7）,则b"&W,可得4

③若a。（-；，。）,6£（"；）,

则sin(a+§-sina-^coss-\sina-cos(a+-)

因为旧£(■三〃贝产匕£(〃：)，可得8S(H：)<乙

故sin方一sina-2>sin(&♦-y)-siru,可得sin&>sin习,

且'£（"+）,则方无心可得b-冷三

综上所述：WWb-a<j,

（ii）当函数V=sim在闭区间|4臼内有最值，不妨取最大值1,最小值为。,

由图象可知：不妨取3二，当b二冗时，方一瞰到最大值几;

当时，b-a取到最小值+；

可得：Wb-aW兀；

综上所述：b-2的取值范围是7rl

【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问

题.它包含以形助数和以数解形两个方面.一般来说，涉及函数、不等式、确定

参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法,运用数形结合法解题•定要

对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误

的选择.

题型2辅助角公式求最值

通过辅助角公式化简成正弦型函数，进而求解对应区间的最值问题

【例题2】（2023•天津东丽•校考模拟预测）已知函数

Hx）=10图象的最小正周期是江，贝ij（）

①Hx）的图象关于点（空，力对称

②将Hx）的图象向左平移土个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称

③Hx）在W?上的值域为LL川

④Hx）在卜%W上单调递增

A.①②④B.①②③C.②④D.②③④

【答案】A

【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出3,即可得

到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断①；由函数图象的平移变换，结合

余弦函数的性质可判断②；根据片的范围和正弦函数的性质直接求解可判断③；

根据正弦函数单调性通过解不等式可判断④.

［详解］因为«功二sinax+cosax;依

:'函数的最小正周期是无，・・・丁二兀二三

...3二2,f（x）-«2in（♦彳），

:'49）=sin（2种6）=sin兀="..用力关于（筌,对称，故①正确.

丁《"力二小3（2"?二为）s2,关于y轴对称，故②正确

当时,有QW2xWn,则兀，所以

一?Wsin（q+F）W」

/.Ax）£|-，两，故③错误.

由解得Y"WxW三

所以界x）的一个单调增区间为|・=，T）,而卜：，&=卜

・・・Hx）在卜上单调递增，故④正确.

故选：A.

【变式2-1】1.（2023•天津・三模）已知*x）二质in3x-8SQj（RP。a）0,

烈x）二次aru,若对Hr；£卜,三必三卜TI使得立与）Wg（r）成立，若真外在

区间也对上的值域为厂上人则实数3的取值不可能是.

A./B.1C."D.j

【答案】D

【分析】由题意首先确定函数H*）的值域，然后数形结合得到关于-的不等式，

求解不等式可得3的取值范围，据此可得选项.

【详解】H3）二脏inax-8sa*二、号+7sin（3*+，），其中t®n@

由题意可知：即：力WZ

则函数*x）的值域为1-22的子集，

设函数式耳的最小正周期为7,升X）在区间I。不上的值域为L七九则：

2W"

B|J：WW*W处,解得gWaW]

结合选项可知实数3的取值不可能是:

故选D.

【点睛】本题主要考查双量词问题的处理方法，三角函数的图像与性质等知识，

意在考查学生的转化能力和计算求解能力

【变式2T】2.（2023秋•江苏南通•高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已

知函数“力;sinycos®"千，”＞。）在9点J上的值域为，一W口

则。的取值范围为

【答案】弓P

【分析[根据给定条件，化简函数fG1再利用正弦函数性质结合已知值域，列

式求解作答.

【详解】依题意，f^Esinox-Fcosax=sinrax-Jj,

由尸e[0^13乂,得-gW冗a一；,

函数六一皿在，一%不上单调递增，函数值集合为，-产/，在/总;，上单

调递减，函数值集合为‘r一0丁〃，」.，

因为函数fGJ在/。兀J上的值域为/-?〃，则有:W兀解得

《WaW：

所以3的取值范围为《"

故答案为：V

【变式2-113.（2023•陕西铜川•统考二模）已知函数

H力二cos（x+V）cos（x+二），若X£卜亍,引，则函数H力的值域为

【答案】|一「不

【分析】利用诱导公式、三角恒等变换化简H》），再应用正弦型函数性质求值域

即可.

详解

H*）Asin,（二cosJT-二sin*）〜兰sinjcos"=sin、=一?sin2"、X

J-COB2X

二一1sin2r-千os2r+¥=-：（；siiiZx.与os2x）若二-：sin（力+亍）埒

xe

Al~7^时7"”卜彳'vl,sin。"？二［多］,得:

&）£冷，旦

［V>7司

故答案为：I-T'不

【变式27】4.（2023•四川达州•统考二模）函数

y二Zsina"为&力在区间也加上的值域为几则siiwa

的取值范围为_

【答案】E71

［分析］化简函数/二北M3刀+后尾00；?一6（3）力得/二3$M（32.”,

其中sin,二三cos'、再利用函数y=3sin（3"2在区间I0M上的值域

字―N・28,

为|0司，可得从而得到

si〃（=-9）WsirwraWsin（彳-2g）,再结合sin。-

8S，二：,利用三

角恒等变换化简即可得出结果.

【详解】由题意可得

y-2sin2Vseos，=—M=2sin3/<3■(氏os'^-1)=2sina"

V5CQSzx=3sin(a"8)

,其中sing二三cos§=：3〉G,

丁函数y二%in(33+与在区间I。加上的值域为k3；2

,«_斤丁."

•:当y二Ssing".)二『时，""'二，即"FT,

当y-5sin(ax+0)=4时，3了十。=8或3了十夕二界一夕，则x=C或

•:WW屏W-1,则号WM*WN-2Q

:・sin8二匹，与二sin，cos0=\•::(自〈:

.：!<28《「0《R-24<4,则°<9-&

-•^in(-y-Wsin2PoWsin(翼-2

又：’si〃（三-9）二85,三，sin（n—2"=sin?e二Zsin@cos°二等,

・：；WsianaW?・：sirwu的取值范围为：EW.

题型3一元二次函数与最值

类比一元二次函数，求解最值

【例题3】（2023•全国-高三专题练习）已知函数f“siM（:打）+4siru,

x£I。，司的值域为3,51,则实数占的取值范围为（）

A.141，予B.EaB丘”]D.

【答案】C

【分析】首先化简函数Hx）的解析式，再利用复合函数的值域，求实数如勺取值

范围.

【详解】9⑴二4cos如inx二一先iM"4sinr+4

--^sinx-i）+5,

设/二sinj,烈抬，函数的对称轴为，:彳

且二式。二T$G）=»g（D二4,

因为函数«力在区间I。目的值域为国⑸，所以？二sin;在区间［00上能取得

‘二：但是，不能小于0,

所以4*W»W冗.

故选：C

【变