重难点22 解三角形大题十四大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（原卷版）

高中数学精编资源2/2重难点专题22解三角形大题十四大题型汇总题型1正余弦定理的应用 1题型2余弦定理求最值与取值范围 2题型3正弦定理求最值与取值范围 4题型4不对称结构的最值取值范围问题 5题型5三角形中线问题 7题型6三角形角平分线问题 8题型7三角形高线垂线问题 10题型8普通多三角形问题 12题型9四边形问题 13题型10面积最值取值范围问题 15题型11与三角函数结合 16题型12三角形个数问题 18题型13证明问题 19题型14实际应用题 21题型1正余弦定理的应用1.若式子含有a，b，c的2次齐次式，优先考虑余弦定理，"角化边"2.面积和a，b，c2次齐次式，可构造余弦定理【例题1】（2022秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，acos(1)求A；(2)若a=2，△ABC的面积为3，求b、c.【变式1-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，向量m=(sinA,(1)求角C的大小；(2)若sinA,sinC,【变式1-1】2.（2023秋·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，内角A，B，C满足sin(1)求a的值；(2)求sin(2C-【变式1-1】3.（2023秋·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考阶段练习）在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcos(1)求角B；(2)若b=5，△ABC的内切圆半径r=34，求【变式1-1】4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2acos(1)求角A；(2)若a=7，且△ABC的内切圆半径r=3，求△ABC的面积S【变式1-1】5.（2021秋·北京·高三景山学校校考期中）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若(b+c-a)(sinA+sin(1)求角B的大小；(2)在①a,b,c成等差数列，②a,b,c成等差数列，③a2题型2余弦定理求最值与取值范围”齐次对称结构”余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；【例题2】（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足：a(1)求角A；(2)若△ABC的外接圆半径为233，求【变式2-1】1.（2024·陕西宝鸡·校考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos(1)求角A；(2)若△ABC的面积为1，求a的最小值.【变式2-1】2.（2023秋·河北·高三校联考期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且2acos(1)求C的值．(2)若△ABC的面积为1，求△ABC的周长的最小值．【变式2-1】3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考开学考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a-bcos(1)求角C；(2)若c=2，求△ABC的面积的最大值．【变式2-1】4.（2023·江西景德镇·统考三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知tanB+(1)求角B；(2)若△ABC是钝角三角形，且a=c+2，求边c的取值范围.题型3正弦定理求最值与取值范围采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；【例题3】（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c且sin2(1)求角A；(2)若a=43，求△ABC【变式3-1】1.（2023秋·山西运城·高三统考阶段练习）在①b2+c在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．(1)求角A；(2)若a=43，求△ABC【变式3-1】2.（2023·全国·高三专题练习）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知a=23且cos(1)求角A的大小；(2)若b=22，求△ABC(3)求b+c的取值范围．【变式3-1】3.（2023秋·广东·高三统考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=(1)求角C的大小；(2)若△ABC是锐角三角形，且其面积为3，求边c的取值范围.【变式3-1】4.（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知c(1)求A；(2)若a=6，求△ABC周长的取值范围.【变式3-1】5.（2024秋·山东临沂·高三校联考开学考试）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=(1)若B=π3，求(2)求C的最大值．【变式3-1】6.（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asin(1)求角A；(2)若△ABC为锐角三角形，求4sin题型4不对称结构的最值取值范围问题巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.【例题4】（2022·全国·高三专题练习）在①2sinA-sinB=2sin问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若c=2，求2a-b的取值范围．【变式4-1】1.（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，已知a=1,m=1,-(1)若△ABC的面积为34，求b+c(2)求c-2b的取值范围.【变式4-1】2.（2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且43(1)求cosB(2)求b2【变式4-1】3.（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，且c=2a-b(1)求角B的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，求a2【变式4-1】4.（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+bc(1)求角A的大小；(2)若D为BC上一点，∠BAD=∠CAD，AD=3，求4b+c的最小值.【变式4-1】5.（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，面积为S，已知b2(1)求A的值；(2)若BC边上的中线AD=1，求△ABC【变式4-1】6.（2023秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p=2b,2c-a，q=1,cos(1)求B的大小；(2)求aca+c【变式4-1】7.（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，sinB⋅(1)若A=π3，求(2)求cosA+题型5三角形中线问题1.可以利用向量法2.倍长中线：中线可延长，补成对称图形3.中线可借助补角.【例题5】（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，cosA(1)求A的大小；(2)若a=7，c=3，D为BC的中点，求AD【变式5-1】1.（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足a+c=b3(1)求B；(2)若b=3，且△ABC的面积为3，BD是△ABC的中线，求BD的长.【变式5-1】2.（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinC-A(1)证明：ba(2)点D是线段AB的中点，且CD=6,AD=2，求【变式5-1】3.（2023秋·贵州贵阳·高三统考开学考试）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．①2acosB+b-2c=0；②cosC在以上三个条件中选择一个，并作答．(1)求角A；(2)已知△ABC的面积为3，AD是BC边上的中线，求AD的最小值．【变式5-1】4.（2023秋·广东揭阳·高三校考阶段练习）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos(1)求角A；(2)若sinBsinC题型6三角形角平分线问题角平分线如图，在△ABC中，AD平分BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c技巧1：内角平分线定理：AB技巧2：等面积法S∆A技巧3：边与面积的比值：AB技巧4:角互补：∠ABD+∠ADC=π⟹cos在△ABD中，cos在△ADC中，cos【例题6】（2022秋·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知asin(1)求角B；(2)若b=6，D为AC边上一点，BD为角B的平分线，且BD=4，求△ABC的面积.【变式6-1】1.（2023·河北唐山·模拟预测）在△ABC中，AB=3,AC=2,D为BC边上一点，且AD平分∠BAC．(1)若BC=3，求CD与AD；(2)若∠ADC=60°，设∠BAD=θ，求tanθ【变式6-1】2.（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，AD=2．(1)若△ABC的面积S=2,∠ADB=π(2)若D为∠BAC的角平分线与边BC的交点，c=2,C=π【变式6-1】3.（2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2(1)求角C；(2)若b=2，角C的平分线CD=3，求△ABC【变式6-1】4.（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考一模）在①c=12；②a问题：已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，D是AC边的中点，a=BD=4(1)求b的值；(2)若∠BAC的平分线交BC于点E，求线段AE的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．题型7三角形高线垂线问题【例题7】（2023秋·山东泰安·高三统考阶段练习）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A=(1)求sinC(2)若D是BC上一点，AC⊥AD，求△ABD的面积.【变式7-1】1.（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）如图，在△ABC中，AC⋅

(1)求BC的长；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积；(3)求sinB+2C【变式7-1】2.（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，∠B=π4，满足

(1)求sinC(2)点D在BC上，AD⊥AC，AD=6【变式7-1】3.（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知H为锐角△ABC的垂心，AD,BE,CF为三角形的三条高线，且满足9HD⋅HE⋅HF=HA⋅HB⋅HC.(1)求cosA(2)求cos∠CAB⋅【变式7-1】4.（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sin2B+2sin2C+2sinBsinC+cos2B+C(1)求角A的大小；(2)若b=2,c=4，求AE的长.【变式7-1】5.（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足asin(1)求A；(2)若D在BC上，a=2，且AD⊥BC，求AD的最大值．题型8普通多三角形问题高的处理方法：1.等面积法：两种求面积公式如S=2.三角函数法：在Δ【例题8】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2acos(1)求A；(2)若D是BC上的一点，且BD:DC=1:2,AD=2，求a的最小值．【变式8-1】1.（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a，b，c，且有：sinA(1)求角B的大小；(2)设AC=9，若点M是边AC上一点，且AM=12MC，AM=MB【变式8-1】2.（2023·河南驻马店·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且5cos(1)求sinB(2)若a=5,c=2,D是线段AC上的一点，求BD的最小值．【变式8-1】3.（2023·河南·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(b-a(1)求A；(2)点D在线段AC上，且AD=13AC，若△ABD的面积为3【变式8-1】4.（2024秋·江西·高三校联考阶段练习）在△ABC中，A+B=11C，AB=6(1)若cosA=45(2)若A=2C，D为AB延长线上一点，E为AC边上一点，且AE=3，DE=7，求【变式8-1】5.（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB(1)求角B的大小；(2)若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，∠EDF=π3，b=c=4.设∠BDE=α，△DEF的面积为S，求题型9四边形问题四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形.如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件【例题9】（2023秋·海南省直辖县级单位·高三校考开学考试）如图，已知平面四边形ABCD存在外接圆（即对角互补），且AB=5，BC=2，cos∠ADC=(1)求△ABC的面积；(2)若DC=DA，求△ADC的周长.【变式9-1】1.（2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠A=135°，AB=2，∠ABD的平分线交AD于点E，且BE=22

(1)求∠ABE及BD；(2)若∠BCD=60°，求△BCD周长的最大值．【变式9-1】2.（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=23，∠BAC=30°

(1)若CD=3，求BD(2)若∠CBD=30°，求tan∠BDC【变式9-1】3.（2023秋·湖南永州·高三校联考开学考试）如图，△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC外一点D（D与△ABC在同一平面内）满足∠BAC=∠DAC，AB=CD=2，sin∠ACB+

(1)求B；(2)若△ABC的面积为2，求线段AD的长.【变式9-1】4.（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）如图，△BCD为等腰三角形，BC=3，点A，E在△BCD外，且DE=4，∠BCD=∠CDE=∠BAE=

(1)求BE的长度；(2)求AB+AE的最大值．题型10面积最值取值范围问题【例题10】（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=4，且a-bsin(1)求cosC(2)求△ABC面积的最大值.【变式10-1】1.（2023秋·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bcos(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【变式10-1】2.（2023秋·河南焦作·高三统考开学考试）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD=90°，D=60°，AC=4，CD=3.

(1)求cos∠CAD(2)若AB=5【变式10-1】3.（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b．c．已知asin(1)求A；(2)若a=3，求△ABC【变式10-1】4.（2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2asin(1)求sin2A(2)若a=2，求△ABC面积的最大值.题型11与三角函数结合【例题11】（2023春·海南海口·高三统考期中）已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<(1)求fx(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=π3，a=fA，且△ABC的面积为3【变式11-1】1.（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知向量m=cosx,sinx，(1)求函数fx(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若fA=2，b+c=22，△ABC的面积为1【变式11-1】2.（2023秋·广东佛山·高三校考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，fx=4cos(1)求角A；(2)若点D在BC上，满足BC=3DC，且AD=7，AB=【变式11-1】3.（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知函数fx=2sinωx+φω>0,(1)求函数fx(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若afC2+π6+c=2b，【变式11-1】4.（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知fx(1)求fx(2)在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c．若fA=3【变式11-1】5．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π在一个周期内的图象如图所示，将函数

(1)求gx(2)在△ABC中，若gA=-3，AB=2，AC=5题型12三角形个数问题【例题12】（2022秋·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：43S-b2=c2-a【变式12-1】1.（2022·河南开封·统考三模）已知△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=4.(1)求AC；(2)若D为BC边上一点，给出三种数值方案：①AD=3；②AD=15；③AD=21.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数（不需说明理由），并求三种方案中，当△ABD【变式12-1】2.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA=3(1)求a；(2)请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由.条件：①S=312a2+注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式12-1】3.（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为△ABC的内心，记△OBC，△OAC，△OAB的面积分别为S1，S2，S3，已知(1)在①acosC+ccosA=1；②4sinBsin(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.题型13证明问题【例题13】（2024秋·福建漳州·高三统考开学考试）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(1)求A；(2)若D为边BC上一点，且BD=13BC，AD=【变式13-1】1.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos(1)证明：b=acos(2)若cosB=34，c=2【变式13-1】2.（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）在△ABC中，∠BAC=60°，△ABC的面积为103，D为BC的中点，DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F

(1)求△DEF的面积；(2)若AD=1292，求【变式13-1】3.（2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, (1)证明：cosC=(2)若b2=ac，求【变式13-1】4.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3acosB=2c，(1)证明：tanA=2(2)若a2+b【变式13-1】5.（2023·四川成都·校联考模拟预测）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin(1)求证：sinB，sinA，(2)求tanA【变式13-1】6.（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．

(1)试证明：BD(2)若P为重心，AD=5,BE=4,CF=3，求△ABC的面积．题型14实际应用题【例题14】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处（BD平行于地平面），已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为α（tanα=2

(1)设平面β过BD且平行于地平面，点C到平面β的距离为h米，求BC与CD的长（用h表示）；(2)已知cos∠BCD=【变式14-1】1.（2023秋·山东日照·高三统考开学考试）为美化校园，某学校将一个半圆形的空地改造为花园.如图所示，O为圆心，半径为aa>0米，点A，B，P都在半圆弧上，设∠NOP=∠POA=θ，∠AOB=2θ，且0<θ<

(1)若在花园内铺设一条参观线路，由线段NA，AB，BM三部分组成，则当θ取何值时，参观线路最长？(2)若在花园内的扇形ONP和四边形OMBA内种满杜鹃花，则当θ取何值时，杜鹃花的种植总面积最大？【变式14-1】2.（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=313km，且∠AOM=β.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=

(1)求大学M与站A的距离AM；(2)求铁路AB段的长AB.【变式14-1】3.（2023·全国·模拟预测）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察．滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE．然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

(1)在某次测量中，AE=40，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．(2)在杆AB上有两点A1，A2满足AA1=12AA2．当横档CD的中点E位于【变式14-1】4.（2023·广东汕头·金山中学校考三模）为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到∠ACB=∠DCB，∠ACD为钝角，AC=5，AD=7，sin∠ADC=

(1)求sin∠ACB(2)若测得∠BDC=∠BCD，求待测径长AB．1.（2023·江西·校联考模拟预测）已知△ABC中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，bsin(1)求∠A；(2)若BC边上一点D，满足BD=2CD且AD=3，求△ABC2.（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为(1)求a+cb(2)若a<b且三个内角中最大角是最小角的两倍，当