重难点33 立体几何解答题十七大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（原卷版）

高中数学精编资源2/2重难点专题33立体几何解答题十七大题型汇总题型1中位线法证明线面平行 1题型2平行四边形法证明线面平行 4题型3做平行平面证明线面平行 6题型4线线垂直证明线面平行 9题型5面面平行 11题型6线线垂直 13题型7线面垂直 15题型8面面垂直 18题型9向量法证明平行与垂直 20题型10画图问题 23题型11角度问题 26题型12距离问题 28题型13探索性问题 30题型14最值取值范围问题 33题型15交线未知型 36题型16建系有难度型 39题型17几何法的运用 42题型1中位线法证明线面平行通过构造三角形中位线，证明线线平行【例题1】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2,E为PB的中点，F为AC与BD的交点．

(1)证明：EF//平面PCD；(2)求三棱锥E-ABF的体积．【变式1-1】1.（2023秋·四川泸州·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，BD⊥PC，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°,AB=PA=1，PB=2,E是棱

(1)证明PB//平面AEC(2)求三棱锥C-BDE的体积；【变式1-1】2.（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别为CD，PD的中点，AC与BM交于点E，AB=62，AD=6，K为PA上一点，PK=

(1)证明：KE//MN(2)求证：平面PAC⊥平面BMNK.【变式1-1】3.（2023秋·北京·高三北京八中校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C(1)求证：平面A1BC⊥平面(2)求证：B1C//(3)若A1B⊥AC1，【变式1-1】4.（2023秋·上海松江·高三校考阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B(1)证明：EF//平面AD(2)求DP与面MNP所成角的正弦值；【变式1-1】5.（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）在如图所示的四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

(1)证明：PB//平面ACE；(2)若PA=AD=1，AB=2，求平面ABC与平面AEC的夹角的余弦值.题型2平行四边形法证明线面平行1.利用平移法做出平行四边形2.利用中位线做出平行四边形【例题2】（2023·陕西西安·校考一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，BA=BC=BB

(1)证明：EF//平面ACC(2)求直线CE与平面DEF所成角的正弦值.【变式2-1】1.（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90∘，平面PAD⊥底面ABCD,M是棱PC（不与端点重合）上的点，N,Q分别为

(1)证明：BN//平面PCD(2)当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC的夹角的大小为π3【变式2-1】2.（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，CD//EF，DF=2，EF=2CD=2，EN=2NC，(1)求证：MN//平面ACF；(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值.【变式2-1】3.（2023春·山西·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥S-ABCD中．平面SAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC，AS=DS，点E，F分别为AS，CD的中点．

(1)证明：BE∥平面SCD；(2)若AB=1，AS=3，求二面角C-AS-F【变式2-1】4.（2023秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）已知正方体ABCD-A1B1C

(1)证明：AQ//平面PBD(2)求二面角P-BD-C的平面角的余弦值.题型3做平行平面证明线面平行通过构造面面平行，证明线面平行【例题3】（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城拖船中学校考开学考试）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，(1)证明：AE//平面BC(2)求CE与平面BC【变式3-1】1.（2022·四川南充·四川省南充高级中学校考一模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，AD//BC，AF//BE，AD⊥AB，

(1)已知点G为AF的中点，求证：BG//平面DCE(2)求多面体ABCDEF的体积．【变式3-1】2.（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，在圆锥DO中，D为圆锥的顶点，O为底面圆圆心，AB是圆O的直径，C为底面圆周上一点，四边形AODE是矩形．

(1)若点F是BC的中点，求证：DF//平面ACE；(2)若AB=2,∠BAC=∠ACE=π3，求三棱锥【变式3-1】3.（2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习）如图所示，在圆锥DO中，D为圆锥的顶点，O为底面圆圆心，AB是圆O的直径，C为底面圆周上一点，四边形AODE是矩形．

(1)若点F是BC的中点，求证：DF//平面ACE；(2)若AB=2,∠BAC=∠ACE=π3，求直线CD与平面【变式3-1】4.（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且AD=2AB=4,M、N分别为PD、BC的中点，H在线段PC上，且PC=3PH．

(1)求证：MN//平面PAB；(2)当AM⊥PC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值．【变式3-1】5.（2023·甘肃陇南·统考一模）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，

(1)证明：DE//平面ACC(2)若三棱锥A-A1DC的体积为33，求点题型4线线垂直证明线面平行通过两条直线同时垂直同一个平面，证明线线平行，在证明线面平行【例题4】（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，E是空间中一点，且AE⊥平面ABC.

(1)证明：AE//平面BCD；(2)若BD⊥CD,AB=BD=CD，求平面CAE与平面DAE的夹角的余弦值.【变式4-1】1.（2023秋·江苏扬州·高三统考开学考试）如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD，其中△ECD是边长为2的正三角形，△BCD是以∠BDC为直角的等腰三角形．

(1)证明：AB//平面CDE(2)若平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值为21919，求线段【变式4-1】2.（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,△ABC和△ACD均为正三角形，AC=2,BE=3，点M为棱CD

(1)求证：DE//平面ABC；(2)若M为DC中点，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．【变式4-1】3.（2022·新疆·统考三模）多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰长为5的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点．(1)求证：AF∥(2)求多面体ABDEC的体积．题型5面面平行由线面平行推理面面平行【例题5】（2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点.

(1)求证：PE//平面BFG(2)若PD=AB=2，求异面直线PA与BF所成角的余弦值.【变式5-1】1.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA

(1)证明：DE//平面ABC；(2)若BB1=BC【变式5-1】2.（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥S-ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，SA=SD=1，AB=2CD=2BC=2，SB=3，点M为棱CD的中点，点N在棱SA上，且AN=3SN

(1)证明：MN//平面SBC；(2)求直线SC与平面SBD所成角的正弦值．【变式5-1】3.（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

(1)证明：平面ABD∥平面FEC(2)求点F到平面ABD的距离.【变式5-1】4.（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，∠BAD=120°，AB=AD=2，E为PC的中点.

(1)求证：BE∥平面PAD；(2)若PC=PD=23，平面PCD⊥平面ABCD，求二面角B-CP-D题型6线线垂直线面垂直的性质定理，与面面垂直均可判定线线垂直【例题6】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中，CD⊥平面ABC，CD=λAE0<λ<1，侧面ABFE为正方形，AB=BC=2

(1)证明：DM⊥AB；(2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为155【变式6-1】1.（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）如图，在几何体ABCDEF中，平面四边形ABCD是菱形，平面BDEF⊥平面ABCD，DF//BE，且DF=2BE=2，EF=3，BD=22(1)证明：BE⊥AD；(2)若cos∠BAD=【变式6-1】2.（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）如图，在几何体ABCDEF中，平面四边形ABCD是菱形，平面BDFE⊥平面ABCD，DF//BE，且DF=2BE=2，EF=3，BD=22

(1)证明：BE⊥AD(2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直线AE与直线FC所成角的余弦值．【变式6-1】3.（2023秋·广东茂名·高三信宜市第二中学校考阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA=PD,BC∥AD,DC⊥DA,BC=CD=1,AD=2,E,F分别为AD,PC的中点，PE⊥CD.

(1)证明：PE⊥BD；(2)若PC与AB所成角为45∘，求平面FBE与平面BCE【变式6-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别为AD、CD的中点，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折起到△D(1)证明：AC⊥BD(2)若AB=AC=4，AO=2，OD'=题型7线面垂直由线线垂直推理线面垂直【例题7】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱P-ABC中，AB=AC=1，PA=2，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，D为PC上一点，且PD=4CD.

(1)证明：PC⊥平面ABD；(2)若E为PB上一点，DE⊥PB，求三棱锥P-ADE的体积.【变式7-1】1.（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）在正三棱台ABC-A1B1C1中，侧棱长为1，且BC=2B1C

(1)证明：DE⊥平面BCC1B(2)求平面BDE与平面ABC夹角的余弦值.【变式7-1】2.（2023秋·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）如图，在三棱锥S-BCD中，E是BC的中点，△SCD与△SBD均为正三角形．

(1)证明：BC⊥SD．(2)若BE=DE，点F满足SF=DE，求二面角【变式7-1】3.（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，AP=AB，PB=22，平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为CD，PB

(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)求点A到平面PEF的距离.【变式7-1】4.（2023秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2，BC=1，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，PA=PD，M为PC上一点，PM=2MC，PA//平面MBD．(1)求CD的长度；(2)求证：PA⊥平面PBD；(3)求PA与平面PBC所成角的正弦值．题型8面面垂直由线面垂直推理面面垂直【例题8】（2023秋·四川宜宾·高三校考阶段练习）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成.C,E,D,G在同一平面内，且CG=DG

(1)证明：平面BFD⊥平面BCG；(2)若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为105，求平面BFD与平面ABG【变式8-1】1.（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示的几何体是一个圆柱沿轴截面ABCD切开后剩余的一半，AB=1，BC=2，O，O1分别为底面直径BC，AD的中点，G是CB的中点，H是DA

(1)证明：平面DOG⊥平面ABCD；(2)若BH=2，求直线BH与平面DOG【变式8-1】2.（2023秋·广西·高三统考阶段练习）如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠BAD=120°，AB=PA=PB=2，PD=10(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD．(2)求二面角B-PA-D的余弦值．【变式8-1】3.（2023秋·福建福州·高三福建省福清第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形，AD⊥DC,AB∥DC,AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.

(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为33，求平面PAC与平面ACE【变式8-1】4.（2023秋·江西新余·高三新余市第一中学校考开学考试）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD，侧棱PA=PB=PC．

(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若PA=AB=BC，Q是PD的中点，求二面角Q-BC-D的正弦值．题型9向量法证明平行与垂直平行于垂直也可以通过向量法进行证明【例题9】（2023秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2，CC1

(1)求证：C1(2)求平面BB1E(3)求直线AB与平面DB(4)求点B到平面DB【变式9-1】1.（2023秋·山东滨州·高三校联考阶段练习）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，(1)已知点G为AF上一点，AG=AD，求证：BG与平面DCE不平行；(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为55【变式9-1】2.（2023秋·陕西西安·高三阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，且AB⊥BC，M是AC

(1)求证：AN⊥平面(2)求平面ABM与平面A1【变式9-1】3.（2023秋·北京·高三东直门中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，点E、F、G分别为PC、PA、BC的中点.(1)求证：FG//平面PCD；(2)求平面EFG与平面PAD所成锐二面角的余弦值；(3)求直线DE与平面EFG所成角的大小.【变式9-1】4.（2023秋·天津北辰·高三校考阶段练习）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA//DQ，PA=AD=3DQ=3，点E、F分别为线段PB、(1)求证：EF//平面PADQ(2)求直线EF与平面PCQ夹角的正弦值；(3)求点F到面PAC的距离【变式9-1】5.（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB=FC=BC=1，AB=2，G是CF的中点．

(1)证明：BG∥(2)求直线AE与平面BDEF所成角的余弦值．题型10画图问题【例题10】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，O,E分别是BC,PA的中点，平面α经过点O,D,E与棱PB交于点F．

(1)试用所学知识确定F在棱PB上的位置；(2)若PB=PC=3,BC=2AB=2，求EF与平面【变式10-1】1.（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AB=AF=2DE=2，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面

(1)若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及理由；(2)线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面α所成角的正弦值为1010【变式10-1】2.（2023秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，C1

(1)画出直线l的位置，并说明作图依据；(2)正方体被平面DMN截成两部分，求较小部分几何体的体积.【变式10-1】3.（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，O,E分别是BC,PA的中点，平面α经过点O,D,E，且与棱PB交于点F．

(1)试用所学知识确定F在棱PB上的位置；(2)若PB=PC=CD=2，求多面体POCDEF的体积．【变式10-1】4.（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，BC//AD，

(1)证明：PB//平面MAC；(2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，PA⊥AD，PA=AD=2AB=2，求l与平面MAC所成角的正弦值．【变式10-1】5.（2023·广东汕头·金山中学校考三模）如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1AC

(1)在平面BCC1内，过C1(2)若四棱锥B-A1ACC1的体积为23，设平面【变式10-1】6.（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AB=AF=2DE=2，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面α与FC，EC分别交于P，

(1)若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及作法理由；(2)线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面α所成角的正弦值为1010？若存在，求出MB题型11角度问题【例题11】（2023秋·山西运城·高三校考阶段练习）如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，M为侧棱PC的中点.

(1)求异面直线AM与PB所成角；(2)求直线AM与平面BPC所成角的正弦值.【变式11-1】1.（2023秋·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）如图，在三棱锥V-ABC中，VA⊥平面ABC，VA=AB=BC=1，AB⊥BC，M是VB的中点，N为BC上的动点．

(1)证明：平面AMN⊥平面VBC；(2)VC//平面AMN时，求平面AMN与平面ABC【变式11-1】2.（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）如图，已知在三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC=AB=AC,E为BC的中点.

(1)证明：BC⊥AD；(2)若∠ABC=π4，ADEF为平行四边形，求二面角【变式11-1】3.（2023秋·黑龙江大庆·高三大庆市东风中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，BC⊥CD，∠ABC=π4，CD=CE=12BE=1，PA=AD=2

(1)证明：AB⊥PE；(2)求二面角A-EF-D的平面角的余弦值．【变式11-1】4.（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且PA=PB=PC=AC=BC，AC⊥BC，N为AB的中点．

(1)证明:PN⊥平面ABC(2)若M是线段PC上的点，且平面MAB与平面PAB的夹角为45∘．求AM与平面PBC【变式11-1】5.（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形且与

(1)证明：AD⊥BB(2)求平面ABB1A题型12距离问题【例题12】（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4

(1)求点A1到平面BC(2)若直线AA1与BB1距离为4，求【变式12-1】1.（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=2，AB=PC=5

(1)求点B到平面PAC的距离；(2)设点E为线段PB的中点，求二面角A-CE-B的正弦值.【变式12-1】2.（2023秋·山西大同·高三大同一中校考阶段练习）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知

(1)求直线CC1与(2)求点B到平面CDB【变式12-1】3.（2023·江西南昌·校考模拟预测）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为

(1)求A到平面A1(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A【变式12-1】4.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA

(1)求直线BB1与平面(2)证明：直线FC//平面AEC1并且求出直线FC题型13探索性问题【例题13】（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，AD=1,CD=λAD(λ>0)，延长BA到点M，且MA=1．现将△MAD沿着AD折起，到达△PAD的位置，使得PA⊥AB，如图2所示．过棱PD的中点E作EF⊥PC于点F．

(1)若AB=AD，求线段AF的长；(2)若平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为66，求λ【变式13-1】1.（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，

(1)证明：BD⊥CC1(2)棱BC上是否存在一点E，使得二面角E-AD1-D的余弦值为1【变式13-1】2.（2023·浙江·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，E,F分别是线段AD,BD的中点，∠ABD=90

(1)证明：EF⊥平面BCD；(2)是否存在BC，使得平面ACE与平面BCE的夹角的余弦值为13？若存在，求出此时BC【变式13-1】3.（2023秋·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，AD=DC=12AB.以直线AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF(1)求证：DF//平面BCE；(2)在线段DF上是否存在点P，使得直线AF和平面BCP所成角的正弦值为223？若存在，求出【变式13-1】4.（2023秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点P在平面ABCD内的投影落在棱AD上，AD=3．(1)求证：平面PDA⊥平面PDC；(2)若PB=3，PC=6，当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求平面PDC与平面PBC【变式13-1】5.（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）把矩形O1O2FB以O1O2所在的直线为轴旋转180°，得到几何体如图所示.其中等腰梯形ABCD

(1)若P为DE的中点，求证：AP⊥平面BDE；(2)设DP=λDE，λ∈0,1，试确定λ的值，使得直线AP与平面ABG题型14最值取值范围问题【例题14】（2023秋·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2，PA=PD=5

(1)证明：AD⊥PE．(2)若二面角P-AD-B的平面角为2π3【变式14-1】1.（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）如图，A1M为圆柱O1O2的一条母线，且O1O2=2O1A1.过点A1且不与圆柱底面平行的平面α与平面O1A1MO2垂直，轴O1O2

(1)求e的取值范围；(2)当e=55时，求直线MN与平面【变式14-1】2.（2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥BD，BC⊥DC,BC=DC=AD=2，将△ABD沿BD向上折起，使得平面ABD与平面ACD所成的锐二面角的平面角最大．

(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；(2)若DE⊥AC，垂足为E，点F是AB上一点，证明：平面DEF⊥平面ABC．【变式14-1】3.（2023·全国·高三对口高考）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1，(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；(2)求三棱锥P﹣ABC体积的最大值；(3)若BC＝2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.【变式14-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.点A2、B2、C2、D2(1)求多面体A2(2)当点P在棱BB1上运动时（包括端点），求二面角【变式14-1】5.（2023·西藏日喀则·统考一模）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”

如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD；

(1)若AB=1，BC=2，CD=1，试求异面直线AC与BD所成角的余弦值.(2)若BD⊥CD，AB=BD=CD=2，点P在棱AC上运动.试求△PBD面积的最小值.【变式14-1】6.（2023·全国·高三专题练习）如图①所示，长方形ABCD中，AD=2，AB=3，点M是边CD靠近点C的三等分点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，得到图②的四棱锥P-ABCM.(1)求四棱锥P-ABCM的体积的最大值；(2)设P-AM-D的大小为θ，若θ∈0,π2，求平面PAM题型15交线未知型【例题15】（2023秋·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=2，PA=PD=2，平面PAD⊥平面ABCD，若平面PAB与平面PCD相交于直线l，M为CD

(1)证明：直线l⊥平面PAD；(2)若BN=13BP，求直线【变式15-1】1.（2023秋·贵州贵阳·高三统考开学考试）如图，△ABC是正三角形，四边形ABB1A1是矩形，平面ABB1A1⊥平面ABC，CC1(1)设直线l为平面ABC与平面A1B1(2)若三棱锥M-A1B1C1的体积为【变式15-1】2.（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，点D、E

(1)设平面DEF与平面ABC相交于直线m，求证：A1(2)是否存在一点F，使得二面角C-AC1-F的余弦值为1(3)当F为线段BB1的中点时，求点B到平面【变式15-1】3.（2021秋·广东广州·高三西关外国语学校校考阶段练习）如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=2AD=2，矩形ABEF所在的平面垂直于平面ABCD，设平面BDE与平面ADF的交线为（1）求证：l⊥平面ABCD；（2）若AF的长度为32，求二面角E-CD-A【变式15-1】4.（2023·全国·高三专题练习）在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，点D,E分别为AB,AC的中点，如图1，将ΔADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面PDE⊥平面DBCE，连接（1）证明：平面PDE和平面PBC必定存在交线l，且直线DE//l；（2）若F为PB的中点，求证：DF⊥平面PBC；（3）当三棱锥P-DBC的体积为83时，求点B到平面PEC【变式15-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD的底面为梯形ABCD，且AB//CD，又PA⊥AD，AB=AD=1，CD=2，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面

(1)判断直线l和BC的位置关系，并说明理由；(2)若点D到平面PBC的距离为23，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角B-l-D①CD⊥AD；②∠PAB为二面角P-AD-B的平面角．题型16建系有难度型【例题16】（2023·福建龙岩·统考二模）三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面A1

(1)求侧棱AA(2)侧棱CC1上是否存在点E，使得直线AE与平面A1BC所成角的正弦值为【变式16-1】1.（2024秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）如图，在三棱台ABC-A1B1C1(1)证明：B1(2)若棱台的体积为79221，AC=728【变式16-1】2.（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）如图所示，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA//BD，AB=BD=2，AE=1，M为线段

(1)若M为线段AB的中点，证明：ED⊥MC．(2)若AM=3MB，求二面角D-CM-E的余弦值．【变式16-1】3.（2022秋·江苏常州·高三常州市第三中学校联考阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2,D

(1)证明：AD⊥平面BB(2)己知四边形BB1C1C【变式16-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图1，等腰梯形AECD是由三个全等的等边三角形拼成，现将△BCE沿BC翻折至△BCP，使得PD=3

(1)求证：PD⊥BC；(2)在直线PD上是否存在点M，使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为104？若存在，求出PM【变式16-1】5.（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=212，AD=CD=AC=23，E，F分别为AC，CD的中点，点G在PF上，且G(1)证明：GE//平面PBC(2)若PA=PC，PA⊥CD，四棱锥P-ABCD的体积为33，求直线GE与平面PCD【变式16-1】6.（2023·全国·模拟预测）已知菱形ABCD中，AB=BD=1，四边形BDEF为正方形，满足∠ABF=2(1)证明：CF⊥AE；(2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值．题型17几何法的运用【例题17】（2023·四川成都·校联考二模）如图，平面ABCD⊥平面ABS，四边形ABCD为矩形，△ABS为正三角形，SA=2BC，O为

(1)证明：平面SOC⊥平面BDS；(2)已知四棱锥S-AOCD的体积为62，求点D到平面SOC【变式17-1】1.（2023·河南·襄城高中校联考三模）如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1，AA1=3，

(1)求AEAB(2)当正四棱台ABCD-A1B1C【变式17-1】2.（2023·重庆·统考三模）如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为3的等边三角形，球心O到底面的距离为1．(1)求球O的表面积；(2)求二面角B-AC-D的余弦值．【变式17-1】3.（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3,BC=5,∠BCD=60∘,BE=λBC(0<λ<1)，现将△CDE沿DE(1)当λ=35时，求(2)当三棱锥P-ABD的体积为9714时，求【变式17-1】4.（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=6，A1B1=AA

(1)请作出A1B1与平面CDE的交点M，并写出A(2)求直线BM与平面ABC所成角的正弦值.【变式17-1】5.（2024·全国·高三专题练习）如图，在梯形A