2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1随机事件与概率10.1.3古典概型学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE1-10.1.3古典概型[目标]1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会用列举法计算一些随机事务所含的样本点个数及事务发生的概率；3.驾驭利用概率的性质求古典概型的概率的方法．[重点]古典概型的概率及其概率计算.[难点]应用列举法求古典概型的概率．要点整合夯基础学问点古典概型[填一填]1．古典概型的特点①有限性：试验的样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．2．古典概型的概率公式对任何事务A，P(A)＝eq\f(事务A包含的样本点个数,样本空间Ω包含的样本点个数).[答一答]1．在区间[2013,2014]上任取一个实数的试验，是不是古典概型？提示：不是，因为在区间[2013,2014]上任取一个实数，是无限的．不符合试验结果有有限个的古典概型特点．2．掷一枚不匀称的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？提示：不是．因为骰子不匀称，所以每个样本点出现的可能性不相等，不满意等可能性．3．如何用集合的观点理解古典概型的概率公式？提示：在一次试验中，等可能出现的n个结果可以组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素．各个基本领件都对应着集合I的只含1个元素的子集，包含m个结果的事务A就对应着集合I的包含m个元素的子集A′.从集合的角度看，如图所示，事务A的概率就是子集A′的元素个数card(A′)与集合I的元素个数card(I)之比，即P(A)＝eq\f(cardA′,cardI)＝eq\f(m,n).典例讲练破题型类型一古典概型的推断[例1]推断下列试验是不是古典概型：(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取1球，视察颜色后放回，直到取出红球；(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中随意抽取1名担当学生代表；(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．[分析]运用古典概型的两个特征逐个推断即可．[解](1)每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球．明显，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即全部可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．(2)从5名同学中随意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事务．因此该试验不是古典概型．1.古典概型的推断方法：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是全部的试验都是古典概型.2.下列三类试验都不是古典概型：1样本点个数有限，但不等可能；2样本点个数无限，但等可能；3样本点个数无限，也不等可能.[变式训练1]下列试验中是古典概型的是(B)A．在相宜的条件下，种下一粒种子，视察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机地投一个点，视察该点落在圆内的位置D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环解析：由古典概型的两个特征易知B正确．类型二简洁的古典概型的问题[例2]有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率；(2)从这些一等品中，随机抽取2个零件，①用零件的编号列出样本空间；②求这2个零件直径相等的概率．[分析]首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，推断事务是否为等可能事务，并用字母A表示所求事务；再次，求出事务的样本空间Ω包含的样本点个数n及事务A包含的样本点个数m；最终，利用公式P(A)＝eq\f(A包含的样本点个数,样本空间Ω包含的样本点个数)＝eq\f(m,n)，求出事务A的概率．[解](1)由题表知一等品共有6个，设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事务A，则P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)①一等品的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个一等品中随机抽取2个，样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．②将“从一等品中，随机抽取的2个零件直径相等”记为事务B，则B包含的样本点有(A1，A4)，(A1，A6)，(A4，A6)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)，共6个，∴P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).依据古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的样本点个数,样本空间Ω包含的样本点个数)＝eq\f(m,n)进行解题．[变式训练2]将一枚质地匀称的正方体骰子先后抛掷两次视察出现点数的状况．(1)一共有多少个不同的样本点？(2)点数之和为5的样本点有多少个？(3)点数之和为5的概率是多少？解：(1)将一枚质地匀称的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6个样本点，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(个)不同的样本点．(2)点数之和为5的样本点有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个．(3)正方体骰子是质地匀称的，将它先后抛掷两次所得的36个样本点是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事务A)的样本点有4个，因此所求概率P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).类型三较困难的古典概型问题[例3]在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：(1)他获得优秀的概率为多少；(2)他获得及格及及格以上的概率为多少．[分析]这是一道古典概率问题，须用列举法列出样本点个数．[解]设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，则从这5道题中任取3道回答，该试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点． (1)记“获得优秀”为事务A，则随机事务A中包含的样本点个数为3，故P(A)＝eq\f(3,10).(2)记“获得及格及及格以上”为事务B，则随机事务B中包含的样本点个数为9，故P(B)＝eq\f(9,10).解决有序和无序问题应留意两点1关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有依次的，也可以看作是无依次的，其最终结果是一样的.但不论选择哪一种方式，视察的角度必需一样，否则会产生错误.2关于有放回抽样，应留意在连续取出两次的过程中，因为先后依次不同，所以a1，b，b，a1不是同一个样本点.[变式训练3]甲、乙两个匀称的正方体玩具，各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，将这两个玩具同时掷一次．(1)若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少？(2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果？其中数字之和为12的有多少种状况？数字之和为6的共有多少种状况？分别计算这两种状况的概率．解：(1)甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故样本点总数为6×6＝36(个)．其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定．故共有6×1＝6(种)不同的结果，即概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)两个玩具的数字之和共有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种不同结果．出现数字之和为12的只有一种状况，故其概率为eq\f(1,36).出现数字之和为6的共有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)五种状况，所以其概率为eq\f(5,36).课堂达标练经典1．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为(A)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析：把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的样本点共有16个，其中2个球同色的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率为P＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).2．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参与，若每人必需参与并且仅能参与一个学习小组(两人参与各小组的可能性相同)，则两人参与同一个学习小组的概率为(A)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：甲、乙两人参与学习小组，若以(A，B)表示甲参与学习小组A，乙参与学习小组B，则一共有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种情形，其中两人参与同一个学习小组共有3种情形，依据古典概型概率公式，得P＝eq\f(1,3).3．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为(C)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,6) D.eq\f(5,36)解析：抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，依据古典概型的概率公式，得P＝eq\f(1,6).4．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为eq\f(1,5).解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的全部选法为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15种，2名都是女同学的选法为(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).5．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本量与总体中的个体数的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2，所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的全部样本空间Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}，共15个