新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题24 圆锥曲线与外心问题(解析版)

专题24圆锥曲线与外心问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高且SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴正方向如图建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，而直线SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的外心，故选：A.2．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过其左焦点SKIPIF1<0作直线l交椭圆SKIPIF1<0于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．4 D．以上都不对【解析】根据题意可得SKIPIF1<0，显然直线SKIPIF1<0的斜率存在，故可设其方程为SKIPIF1<0，联立椭圆方程可得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则其坐标为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0轴垂直平分SKIPIF1<0，故可设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0直线方程为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C.3．已知双曲线M：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），SKIPIF1<0的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】离心率为SKIPIF1<0，则有：SKIPIF1<0又有：SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，此时两条渐近线垂直，即SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0均与SKIPIF1<0轴的夹角均为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的中点若双曲线M经过点SKIPIF1<0，根据双曲线的对称性可知：当且仅当SKIPIF1<0轴时，且点SKIPIF1<0为双曲线的顶点此时有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为12，则有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故双曲线的实轴长为：SKIPIF1<0，故选：C4．在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：SKIPIF1<0的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，△PF1F2的外心M的坐标为SKIPIF1<0，△PF1F2的面积为2SKIPIF1<0a2，则双曲线C的渐近线方程为（

）A．y＝±x B．y＝SKIPIF1<0x C．y＝SKIPIF1<0x D．y＝±SKIPIF1<0x【解析】由△PF1F2的外心MSKIPIF1<0，知：SKIPIF1<0，∴在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故∠F1PF2＝SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴由题意知：SKIPIF1<0，故双曲线的渐近线方程为：SKIPIF1<0．故选：D．5．已知坐标平面SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左、右焦点，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的左支上，SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．5【解析】不妨设点SKIPIF1<0在第二象限，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线知直线SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入双曲线的方程可得SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在第三象限时，同理可得SKIPIF1<0.故选：C.6．设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右焦点，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【解析】由题,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线,因为点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,设双曲线的左焦点为SKIPIF1<0,则点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点,则在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是直角三角形,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,由双曲线定义可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,整理可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故选:D7．已知点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0上有两个动点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，始终使SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0的外心轨迹为曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0在一象限内的动点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0并化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①将SKIPIF1<0、SKIPIF1<0代入①可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的外心轨迹方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：C.8．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点SKIPIF1<0恰为椭圆SKIPIF1<0的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点SKIPIF1<0的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限，SKIPIF1<0的外心Q恰好落在y轴上，则直线l的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由椭圆SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故椭圆E的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，椭圆E的上焦点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故双曲线SKIPIF1<0，设双曲线的焦距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当直线l斜率不存在时，直线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，AB边上中垂线为x轴，若SKIPIF1<0外心Q落在y轴上，则SKIPIF1<0，但此时SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则不符合题意；当直线l斜率存在时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0消去y可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为A，B位于双曲线C的右支，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设AB的中点SKIPIF1<0，则Q在AB的中垂线上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），综上所述：直线方程为SKIPIF1<0．故选：D．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．在平面直角坐标系xOy中，过点SKIPIF1<0的直线l与抛物线C：SKIPIF1<0交于A，B两点，点SKIPIF1<0为线段AB的中点，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的为（

）A．N为SKIPIF1<0的外心 B．M可以为C的焦点C．l的斜率为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0可以小于2【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则N为SKIPIF1<0的外心，A正确；易得直线SKIPIF1<0斜率不为0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则焦点为SKIPIF1<0，B错误；由SKIPIF1<0作差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，C正确；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，D错误.故选：AC.10．已知SKIPIF1<0的三个顶点SKIPIF1<0均在抛物线SKIPIF1<0上，则下列命题正确的有（

）A．若直线BC过点SKIPIF1<0，则存在点A使SKIPIF1<0为直角三角形；B．若直线BC过点SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0使抛物线SKIPIF1<0的焦点恰为SKIPIF1<0的重心；C．存在SKIPIF1<0，使抛物线SKIPIF1<0的焦点恰为SKIPIF1<0的外心；D．若边AC的中线SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0三点坐标分别为SKIPIF1<0，A选项，直线BC过点SKIPIF1<0，设BC方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去x得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而点O在抛物线上，故A正确；B选项，直线BC过点SKIPIF1<0，设BC方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去x，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的焦点恰为SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将A点坐标代入抛物线方程，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故B正确；C选项，设以抛物线焦点SKIPIF1<0为圆心的圆半径为r，其方程为SKIPIF1<0，与抛物线方程联立得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，不存在SKIPIF1<0，使抛物线SKIPIF1<0的焦点恰为SKIPIF1<0的外心，故C不正确；D选项，AC的方程为SKIPIF1<0，代入抛物线方程得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设AC中点SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入抛物线方程得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D不正确.故选：AB.11．设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为抛物线上异于顶点的一点，且SKIPIF1<0在准线上的射影为SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（

）A．点SKIPIF1<0的中点在SKIPIF1<0轴上B．SKIPIF1<0的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上C．当SKIPIF1<0的垂心在抛物线上时，SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0的垂心在抛物线上时，SKIPIF1<0为等边三角形【解析】对于A选项，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，所以，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，A对；对于B选项，由抛物线的定义可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰三角形，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的重心、垂心、外心、内心都在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相切，B错；对于C选项，设点SKIPIF1<0为第一象限内的点，若SKIPIF1<0的垂心SKIPIF1<0在抛物线上时，设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0的坐标代入抛物线方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，由题意可知，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C对；对于D选项，当SKIPIF1<0的垂心在抛物线上时，点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0轴，则SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0为直角三角形，D错.故选：AC.12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴及双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线的三个不同交点构成集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若SKIPIF1<0的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为重心、SKIPIF1<0为外心、SKIPIF1<0为垂心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，此时双曲线的离心率SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为重心、SKIPIF1<0为垂心、SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0不成立；若SKIPIF1<0为重心、SKIPIF1<0为垂心、SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，此时双曲线的离心率SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为重心，SKIPIF1<0为垂心、SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，此时双曲线的离心率SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0为重心、SKIPIF1<0为垂心、SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时双曲线的离心率SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为重心，SKIPIF1<0为垂心、SKIPIF1<0为外心，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0都不成立.综上所述：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．设椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点．设过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线交SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0的值为．【解析】由题意知，直线SKIPIF1<0的斜率存在，且不为0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，∴SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0的垂直平分线的交点，SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．14．在直角坐标系xOy中直线SKIPIF1<0与抛物线C：SKIPIF1<0交于A，B两点．若D为直线SKIPIF1<0外一点，且SKIPIF1<0的外心M在C上，则M的坐标为．【解析】联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设线段AB的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段AB的中垂线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或4，从而SKIPIF1<0的外心M的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．15．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0的横坐标为0，则直线SKIPIF1<0的方程为.【解析】由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由直线与双曲线右支交于两点可得

SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的垂直平分线上，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.16．已知点SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点SKIPIF1<0恰好为SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，则C的离心率为.【解析】取SKIPIF1<0的中点为C，连接BC、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如图所示：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又C为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0为等腰三角形且SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0恰好为SKIPIF1<0的外心，所以点SKIPIF1<0在直线BC上，且SKIPIF1<0，由双曲线的定义知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，同时除以SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去).四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知抛物线E：SKIPIF1<0的焦点为F，准线为l，过焦点SKIPIF1<0的直线交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，(1)若SKIPIF1<0垂直l于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求AF的长SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0为坐标原点，求SKIPIF1<0的外心C的轨迹方程.【解析】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，易得OA､OB的中垂线方程分别为SKIPIF1<0，联立可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外心C的轨迹方程为SKIPIF1<0.18．已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知SKIPIF1<0的内切圆半径的最大值是SKIPIF1<0椭圆的离心率是SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）过SKIPIF1<0作斜率不为0的直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0轴的直线交椭圆于另一点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）由题意知∶SKIPIF1<0，∴a=2c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设△SKIPIF1<0的内切圆半径为r，则SKIPIF1<0.故当SKIPIF1<0面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，把a=2c，SKIPIF1<0代入，解得∶a=2，SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0（2）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB为SKIPIF1<0，代入椭圆方程得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此可得SKIPIF1<0所以AB的中点坐标为(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)因为G是△ABQ的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段BQ的垂直平分线的交点，由题意可知B，Q关于y轴对称，故SKIPIF1<0，AB的垂直平分线方程为SKIPIF1<0令y=0，得SKIPIF1<0，即G(SKIPIF1<0，0)，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0=SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为定值，定值为4.19．已知抛物线C：SKIPIF1<0，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线SKIPIF1<0过抛物线C焦点F且垂直于x轴时，SKIPIF1<0面积为2．（1）求抛物线C标准方程；（2）若直线SKIPIF1<0为抛物线C的两条切线，设SKIPIF1<0的外心为M（点M不与焦点F重合），求SKIPIF1<0的所有可能取值．【解析】（1）当直线SKIPIF1<0过抛物线焦点F且垂直于x轴时，A，B两点横坐标为SKIPIF1<0，代入抛物线方程，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故抛物线C标准方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0，同理直线SKIPIF1<0，联立得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的中垂线方程分别为：SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的所有可能取值为1．20．已知从曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，实轴长为SKIPIF1<0、一条渐近线方程为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程．【解析】（1）由题意，则SKIPIF1<0，由渐近线方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故双曲线SKIPIF1<0.（2）已知SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，直线方程为SKIPIF1<0，将其代入双曲线方程，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0为等腰三角形，SKIPIF1<0边上中垂线为SKIPIF1<0轴，若外心SKIPIF1<0的横坐标SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但此时，，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则不符合题意；②当直线SKIPIF1<0斜率存在时，设SKIPIF1<0，联立可得SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0位于双曲线SKIPIF1<0的右支，则直线SKIPIF1<0与渐近线方程SKIPIF1<0应满足SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中垂线上，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.21．在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③SKIPIF1<0(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；(2)若点P（2，0）与（1）中轨迹上的点E，F三点共线，求SKIPIF1<0的取值范围【解析】（1）设C（x，y），G（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），M（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），因为M是△ABC的外心，所以SKIPIF1<0所以M在线段AB的中垂线上，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF