新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题32 圆锥曲线中的轨迹问题(解析版)

专题32圆锥曲线中的轨迹问题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在【解析】∵SKIPIF1<0表示为SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离之和为5，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0点的轨迹为椭圆.故选：B.2．已知点F1（SKIPIF1<0，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是（

）A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线【解析】依题意得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点P的轨迹为双曲线的右支；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故点P的轨迹为一条射线.故选：D.3．若动点P到定点SKIPIF1<0的距离与到直线SKIPIF1<0的距离相等，则点P的轨迹是（

）A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线【解析】动点SKIPIF1<0满足抛物线定义，则其轨迹为抛物线.故选：A.4．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（

）A．焦距为SKIPIF1<0的椭圆 B．焦距为SKIPIF1<0的椭圆C．焦距为SKIPIF1<0的双曲线 D．焦距为SKIPIF1<0的双曲线【解析】设动点SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，表示焦距为SKIPIF1<0的双曲线.故选：D5．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若SKIPIF1<0，则动点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【解析】解：建立以SKIPIF1<0所在的直线为x轴，以线段SKIPIF1<0的中垂线为y轴的直角坐标系，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设M的坐标为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故动点M的轨迹是双曲线.

故选：D.6．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0均相切，则圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0的轨迹中包含了哪条曲线（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【解析】由圆SKIPIF1<0可得，圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；由圆SKIPIF1<0可得，圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以两圆内含，又SKIPIF1<0.设圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0.由题意结合图象可得，圆SKIPIF1<0应与圆SKIPIF1<0外切，与圆SKIPIF1<0内切.则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根据椭圆的定义可得，圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0的轨迹为椭圆.故选：B.7．正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0内一动点，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成角相等，则动点SKIPIF1<0的轨迹为（

）A．圆的一部分 B．直线的一部分 C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分【解析】正方体如图所示，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．在平面SKIPIF1<0内，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设正方体棱长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆位于正方形内的部分.故选：A8．如图，直三棱柱SKIPIF1<0的所有棱长均相等，P是侧面SKIPIF1<0内一点，若点P到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，则点P的轨迹是（

）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分【解析】如图，作SKIPIF1<0，做SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.因几何体为直三棱柱，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又由题可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面EPD，SKIPIF1<0平面EPD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则平面EPDSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因平面SKIPIF1<0平面EPDSKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由题又有SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为点P到直线SKIPIF1<0距离.故点P到定点SKIPIF1<0距离等于点P到直线SKIPIF1<0距离，则点P轨迹为抛物线的一部分.故选：D二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为平面内一动点，且SKIPIF1<0，则下列说法准确的是（

）A．当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0的轨迹为一直线B．当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0的轨迹为一射线C．当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0的轨迹不存在D．当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0的轨迹是双曲线【解析】对于A选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0的垂直平分线，A对；对于B选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹是一条射线，且射线的端点为SKIPIF1<0，方向为SKIPIF1<0轴的正方向，B对；对于C选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹是一条射线，且射线的端点为SKIPIF1<0，方向为SKIPIF1<0轴的负方向，C错；对于D选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0的轨迹是以点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为左、右焦点的双曲线的右支，D错.故选：AB.10．关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0表示的轨迹可以是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线【解析】当SKIPIF1<0时，该方程表示的轨迹是直线SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，该方程表示的轨迹是直线SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，原方程可化为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，该方程表示的轨迹是双曲线；当SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时方程为SKIPIF1<0，该方程表示圆；综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.故选：BC.11．以下关于圆锥曲线的说法，不正确的是（

）A．设A，B为两个定点，k为非零常数，SKIPIF1<0，则动点P的轨迹为双曲线B．过定圆O上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若SKIPIF1<0，则动点P的轨迹为椭圆C．过点SKIPIF1<0作直线，使它与抛物线SKIPIF1<0有且仅有一个公共点，这样的直线有2条D．若曲线C：SKIPIF1<0为双曲线，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】对于A，根据双曲线的定义，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则动点P的轨迹是双曲线，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时轨迹不存在，当SKIPIF1<0时，P点的轨迹是两条射线，A错误；对于B，如图：

不妨设圆O的半径为r，SKIPIF1<0，圆O的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然根据条件P是AB的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，B错误；对于C，如图：

过点SKIPIF1<0可以做出三条与抛物线SKIPIF1<0只有一个交点的直线，其中，MA和MO是过M点的两条切线，MB是平行与x轴的直线，C错误；对于D，显然方程SKIPIF1<0表示双曲线的充分必要条件是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，D正确；故选：ABC.12．下列命题中正确的是（

）A．若平面内两定点SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的动点SKIPIF1<0的轨迹为椭圆B．双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0有且只有一个公共点C．若方程SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线，则SKIPIF1<0D．过椭圆一焦点SKIPIF1<0作椭圆的动弦SKIPIF1<0，则弦SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹为椭圆【解析】对于A，根据椭圆定义，若平面内两定点SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的动点SKIPIF1<0的轨迹为椭圆，故A错误；对于B，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0有且只有一个公共点，故B正确；

对于C，若方程SKIPIF1<0表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线，则SKIPIF1<0，方程组无解，故C错误；对于D，不妨设椭圆方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直时，设弦SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，与椭圆方程SKIPIF1<0联立可得SKIPIF1<0，所以动弦SKIPIF1<0的中点横坐标为SKIPIF1<0，中点纵坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直时，弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，综上弦SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹为椭圆，故D正确.

故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知点ASKIPIF1<0，BSKIPIF1<0，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是SKIPIF1<0，则动点P的轨迹C的方程为.【解析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故动点P的轨迹C的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，14．折纸是很多人喜爱的游戏，通过自己动手折纸，可以激发和培养审美情趣，锻炼双手，开发智力，提高实践技能．一张圆形纸片的半径为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，在圆周上任取一点SKIPIF1<0，将圆形纸片折起，使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，折痕记为直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0．将此操作多次重复，则SKIPIF1<0点的轨迹是（填“圆”、“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”）【解析】在圆周上任取一点SKIPIF1<0，将圆形纸片折起，使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，折痕记为直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意可知，圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0的轨迹为椭圆.15．已知点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.则点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为；【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又由SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<016．已知点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离比它到x轴的距离大SKIPIF1<0．则点P的轨迹C的方程为；【解析】依题意，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，则SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0②，两边平方得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，②转化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时①转化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点的轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知动点SKIPIF1<0到原点SKIPIF1<0的距离与它到点SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0，记动点M的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于E，F两点，求SKIPIF1<0的取值范围（O为坐标原点）【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0．所以曲线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立直线与圆的方程，SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.18．如图所示，以原点SKIPIF1<0为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设SKIPIF1<0为大圆上任意一点，连接SKIPIF1<0交小圆于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴的垂线，两垂线交于点SKIPIF1<0．

(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)点SKIPIF1<0分别是轨迹SKIPIF1<0上两点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的取值范围．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是参数），消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的斜率不存在时，易得SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的斜率都存在时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.19．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离比它到SKIPIF1<0轴的距离多1，记点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0.(1)求轨迹为SKIPIF1<0的方程(2)设斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0恰好有一个公共点时SKIPIF1<0的相应取值范围.【解析】（1）设SKIPIF1<0是轨迹SKIPIF1<0上的任意一点，因为点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离比它到SKIPIF1<0的距离多SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）在点轨迹SKIPIF1<0中，记SKIPIF1<0，因为斜率SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，不妨设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，可得直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0恰好有一个公共点SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，不妨设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0恰好有一个公共点，则满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，综上，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0恰好有一个公共点.20．已知圆SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的右侧，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离比它到的圆心SKIPIF1<0的距离小1．(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)过圆心SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0及直线SKIPIF1<0的方程．【解析】（1）SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，可得半径SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，因为动点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的右侧，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离比它到的圆心SKIPIF1<0的距离小1，所以点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离与到定直线SKIPIF1<0的距离相等，SKIPIF1<0由抛物线的定义得SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0；（2）如图所示：由圆SKIPIF1<0的半径为1，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与抛物线只有1个交点，不合题意；所以直线SKIPIF1<0的斜率不为SKIPIF1<0，可设直线SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．21．在平面直角坐标系中，已知两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且SKIPIF1<0．(1)求动点M的轨迹SKIPIF1<0；(2)设过SKIPIF1<0的直线交曲线SKIPIF1<0于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．【解析】（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意知－4＜x＜4．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故动点M的轨迹SKIPIF1<0为SKIPIF1<0．（2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下：当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此知SKIPIF1<0．将y＝kx＋1代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①条件SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0．显然SKIPIF1<0不在直线y＝kx＋1上，∴SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0．将式①代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意．因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．22．在直角坐标平面内，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0