（讲评用卷）2024年河南省黑白卷（白卷）·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南省黑白卷（白卷）·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题(每小题3分,共30分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的.1.－3的绝对值是（

）A.3

B.1C.－13 D.－1.A2.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后主视图不变，则移走的小正方体的编号是（

）

A.① B.② C.③ D.④2.D3.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠EOD＝55°，则∠BOD的度数为（

）A.

55° B.

60° C.

65° D.

70°3.D【解析】∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠EOD＝55°，∴∠BOD＝180°－55°－55°＝70°.4.化简1－xx÷x－1A.－x B.xC.x2 D.－x24.A【解析】原式＝1－xx·x5.对于任意正整数a，b定义一种新运算：F(a＋b)＝F(a)·F(b)．比如F(2)＝5，则F(4)＝F(2＋2)＝5×5＝52，F(6)＝F(2＋4)＝5×52＝53，那么F(2024)的结果是（

）A.2024

B.52024C.51012 D.10125.C6.下列说法正确的是（

）A.

神舟十八号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查B.

“清明时节雨纷纷”是随机事件C.

要反映某市一周内每天最高气温的变化情况宜采用扇形统计图D.

若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定6.B【解析】A.神舟十八号载人飞船发射前的零件检查应选择全面调查，A选项错误；B.清明节不一定下雨，B选项正确；C.要反映某市一周内每天最高气温的变化情况宜采用折线统计图，C选项错误；D.两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较大的同学数学成绩波动大，故更不稳定，D选项错误．7.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（

）A.x2－2x＋3＝0

B.x2＋6x＋9＝0

C.4x2＝3x＋2

D.3x2－x＋2＝07.C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A(－2)2－4×1×3＝－8＜0，方程没有实数根×B62－4×1×9＝0，方程有两个相等的实数根×C方程可化为4x2－3x－2＝0，(－3)2－4×4×(－2)＝41＞0，方程有两个不相等的实数根√D(－1)2－4×3×2＝－23＜0，方程没有实数根×8.小王和小李两位同学准备用720元班费给班里买一定数量的篮球，已知甲、乙两个商店某种品牌的篮球标价相同，如下是两位同学了解到的具体情况：下面是两位同学分别列出来的两个方程：小王：720x－2×0.7＝720－48x；小李：其中的x表示的意义为（

）A.

均为篮球的数量B.

均为篮球的单价C.

小王方程中的x表示篮球的数量，小李方程中的x表示篮球的单价D.

小王方程中的x表示篮球的单价，小李方程中的x表示篮球的数量8.C9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，O为AB边的中点，连接OC，OD⊥OC交BC于点D，若cosA＝35，则CD的长为（

A.6

B.25C.203 9.B【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＋∠OCA＝90°，∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠CDO＋∠OCD＝90°，∴∠CDO＝∠OCA，∵O为AB边的中点，∴CO＝AO＝12AB＝5，∴∠OCA＝∠A，∴∠CDO＝∠A，∴cos∠CDO＝cosA＝ODCD＝35，设OD＝3k，CD＝5k，在Rt△COD中，由勾股定理，得(3k)2＋52＝(5k)2，解得k＝54(负值已舍去)，∴CD＝10.如图①，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点P从对角线的交点O出发以每秒1cm的速度匀速运动，在菱形ABCD内部沿某条直线运动到一点，再从该点沿直线运动到点C，图②是点P运动时△CDP的面积y(cm2)随路程x(cm)变化的关系图象，则点P从点O运动到点C的时间为（

）A.

2s B.

4s C.

6s D.

8s10.B【解析】∵点P从点O出发，沿某条直线运动，由图②知，第一段函数图象随着点P的运动路程x增大，△CDP的面积y不变，即点P在过点O且与CD平行的线段上运动，第二段函数图象随着点P的运动路程x增大，△CDP的面积y减小，如解图，过点O作OE∥CD交CB于点E，∵两段函数图象中，点P的运动路程相等，∴点P先在OE上运动，再在EC上运动；∵O为BD的中点，OE∥CD，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE，E为BC的中点．由图②知OE＝a，∴CD＝2a，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝2a，∴CE＝12BC＝a，如解图，过点E作EF⊥CD于点F，∴EF＝CE·sin

60°＝32a，当点P在OE上运动时，y＝12EF·CD＝23，∴12×32a×2a＝23，解得a＝2(负值已舍去)，∴OE＋CE＝2a＝4，∴点P从点O运动到点C解图二、填空题(每小题3分,共15分)11.若代数式x＋1x有意义，则实数x的取值范围11.x≥－1且x≠012.在反比例函数y＝

1＋2mx的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜0＜x2时，有y12.0【解析】由题意得，反比例函数y＝

1＋2mx的图象位于第一、三象限，∴1＋2m＞0，∴m＞－

12，13.色光三原色(RGB)是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示(例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色)，现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为______．13.29【解析】根据题意，画树状图如解图，由树状图知，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种，∴P(可以呈现青色)＝29解图14.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C均在小正方形的格点上(小正方形的顶点称为格点)，则扇形AOC的周长为________．14.210＋102π【解析】如解图，连接OB，AC，由题意可知OA＝OB＝OC＝32＋12＝10，AC＝22＋42＝25，∴OA2＋OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴圆心角AOC所对的弧长为90×π×10180＝102解图15.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，D是边BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为B′，若∠BDB′＝120°，则BD的长为______．15.433或【解析】当∠BDB′＝120°时，分两种情况：①当点B′在BC的下方时，如解图①，设AB′与BC的交点为O，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.由折叠的性质可知∠B′＝∠B＝30°，∵∠BDB′＝120°，∴∠B′DO＝60°，∴∠DOB′＝90°，∴DO＝12B′D＝12BD，∴BO＝BD＋DO＝BD＋12BD＝32BD.∵在Rt△ABO中，BO＝AB·cos

30°＝23，∴32BD＝23，∴BD＝433；②当点B′在BC的上方时，如解图②，由折叠得∠ADB′＝∠ADB＝12∠BDB′＝60°，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝4，∴BD＝ABcos30°＝43解图三、解答题(本大题共8个小题,共75分)16.（1）计算：(－1)2

024＋16＋(12)－1（2）化简：(2x＋2)(2x－2)－(2x－1)2.16.解：(1)原式＝1＋4＋2＝7；(2)原式＝4x2－4－(4x2－4x＋1)＝4x2－4－4x2＋4x－1＝4x－5.17.近年来，人工智能领域技术不断突破，创新成果逐渐融入社会各个领域，深刻改变着人们的日常工作、生活方式，有关人员开展了A，B两款AI机器人使用满意度的评分问卷调查活动，并从中各随机抽取相同数量的问卷，将收集的数据进行整理后分为四个等级(x为满意度评分)：不满意x＜70，良好70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90，部分信息如下：a.A，B两款AI机器人满意度评分条形统计图：b.A款AI机器人评分在70≤x＜80这一组的具体数据是：78，74，79，75，79，78；根据以上信息，回答下列问题：(1)本次抽取的问卷共有______份，A款AI机器人评分的中位数为______分；(2)对A款AI机器人感到满意的人数是否超过一半？(3)在此次问卷调查活动中，若有300人对B款AI机器人进行评分，请估计此次问卷调查活动中对B款AI机器人非常满意的人数；(4)根据以上绘制的条形统计图，你能获得哪些信息(写出一条即可)?17.解：(1)40，78.5；【解法提示】∵对A款AI机器人评分抽取的样本容量为6＋6＋4＋4＝20，∴本次抽取的问卷共有20＋20＝40(份)．∵对A款AI机器人评分的中位数为第10和11个数据的平均数，∴将70≤x＜80这一组的评分按从小到大的顺序排列为：74，75，78，78，79，79，∴第10和11个数据分别为78，79，∴中位数为12×(78＋79)＝78.5(2)由(1)得对A款AI机器人评分的中位数为78.5分，∵78.5分＜80分，∴对A款AI机器人感到满意的人数未超过一半；(3)由条形统计图得，对B款AI机器人评分为非常满意的有2人，∴300×220＝30(人)答：估计此次问卷调查活动中对B款AI机器人非常满意的人数为30人；(4)从满意度为满意的人数看，人们更喜欢使用B款AI机器人(答案不唯一，合理即可).18.如图，已知矩形ABCD，M，N为矩形边上不同的两点(不与顶点重合)，连接MN，线段MN将矩形ABCD分为面积相等的两部分．(1)请用数学中常用的工具：圆规、无刻度直尺，找出一组符合条件的M点和N点(保留作图痕迹，不写作法)；(2)求证：AN＝CM.18.(1)解：如解图①，点M，N即为所求；【作法提示】连接AC，作AC的垂直平分线分别与CD，AB交于点M，N，点M，N即为所求作的点．(提示：连接BD，作BD的垂直平分线也可得到满足题意的点M，N)；【一题多解】如解图②，点M，N即为所求；【作法提示】连接对角线AC，BD交于点O，过点O的直线MN分别与CD，AB交于点M，N，点M，N即为所求作的点．(提示：当过点O的直线分别与AD，BC交于点M，N时，也符合题意)解图①(2)证明：如解图②，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAN＝∠OCM.∵∠AON＝∠COM，∴△AON≌△COM(ASA)，∴AN＝CM.解图②19.某工厂的A，B两个车间同时生产产品，为提高生产效率，将A车间的机器停产一段时间进行升级，升级后A车间机器的生产效率提高为原来的2倍，两个车间分别生产产品的数量y(件)与时间x(h)之间的关系如图所示．(1)求a的值及A车间机器升级后y与x之间的函数解析式；(2)若A，B车间共生产的产品满300件可以打包一箱，则经过多长时间恰好能装满第1箱？(打包时间忽略)19.解：(1)由题图可得，A车间机器原来每小时生产产品的数量为1002＝50(件)∵生产效率提高为原来的2倍，∴A车间机器升级后每小时生产产品100件，∴a－1004－3＝100设A车间机器升级后y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点(3，100)，(4，200)代入，得3k＋b∴A车间机器升级后y与x之间的函数解析式为y＝100x－200；(2)设B车间机器生产产品的数量y与时间x之间的函数解析式为y＝k′x(k′≠0)，将点(6，240)代入，得240＝6k′，解得k′＝40，∴B车间机器生产产品的数量y与时间x之间的函数解析式为y＝40x.当0≤x≤2时，40x＋50x＝300，解得x＝103(不符合题意，舍去)；当2＜x≤3时，100＋40x＝300，解得x＝5(不符合题意，舍去)当x＞3时，100x－200＋40x＝300，解得x＝257，答：经过257

h恰好能装满第120.周末，小琳和几个同学相约到清明上河园游玩，他们计划在入口A处集合后，先去位于入口西南方向的景点B，然后去位于景点B南偏西25°方向的景点C，最后再去景点D，已知景点D位于景点C的正东方向，入口A的正南方向，BC＝300米，CD＝500米．求景点A和景点D之间的距离．(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47)

20.解：如解图，过点B分别作AD，CD的垂线，垂足分别是E，F，则四边形BEDF是矩形，∴BE＝FD，BF＝ED，∵BC＝300米，CD＝500米，由题意，得∠CBF＝25°，∠BAE＝45°，∴在Rt△BCF中，CF＝BC·sin

25°≈126(米)，BF＝BC·cos

25°≈273(米)，∴AE＝BE＝FD＝CD－CF＝500－126＝374(米)，∴AD＝AE＋DE＝374＋273＝647(米)．答：景点A和景点D之间的距离约为647米.解图21.射水鱼(别名高射炮鱼)在水中看到水面上方的猎物A(猎物的大小忽略不计)后，便向猎物射水，当猎物被水射中后射水鱼对其进行捕杀．如图，喷射出的水柱在空中呈抛物线形状，设喷出水柱的竖直高度为y(单位：cm)(水柱的竖直高度是指水柱与鱼嘴B所在水平面的距离)，水柱与鱼嘴B的水平距离为x(单位：cm)，建立如图所示的平面直角坐标系，得到如下数据：x/cm0102030405060…y/cm0183242485048…(1)请结合表中所给数据，求此次射水过程中水柱轨迹所在抛物线的解析式；(2)若猎物A突然受到惊吓，退至(55，45)处，试判断该射水鱼此次射水喷出的水柱能否精准捕杀到猎物A，并说明理由．21.(1)由表格数据可知，当x＝40和x＝60时，y的值相同，则该抛物线的对称轴为直线x＝40＋602＝50，由表格可知当x＝50时，y∴设该抛物线的解析式为y＝a(x－50)2＋50，将(0，0)代入y＝a(x－50)2＋50，解得a＝－150∴此次射水过程中水柱轨迹所在抛物线的解析式为y＝－150(x－50)2＋50(2)不能.理由如下：当x＝55时，y＝－150(x－50)2＋50＝49.5＞45，∴该射水鱼此次射水喷出的水柱不能精准捕杀到猎物A22.陀螺(如图①)是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发展成为全世界备受喜爱的一项运动．玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动陀螺尤为重要，如图②，陀螺的截面图记作⊙O，将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳为AC，点C为接头，绳杆为PC，PC与⊙O相切于点B，发动陀螺时需将手放在优弧A︵处固定陀螺，连接AB，AP，AP交⊙O于点D，连接BD(1)求证：∠ABC＝∠ADB；(2)实践中发现，当AC与⊙O相切于点A，AC⊥PC时，发动陀螺更加稳定，若陀螺半径r＝4cm，∠BAP＝30°，求绳杆CP的长度．22.(1)证明：如解图，连接OA，OB，∵PC与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠OBA＋∠ABC＝90°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵∠ADB＝12∠AOB＝12(180°－2∠OBA)＝90°－∠OBA，∴∠ADB＋∠OBA＝∴∠ABC＝∠ADB；(2)解：如解图，连接OD，

∵AC与⊙O相切于点A，OA是⊙O的半径，AC⊥PC，∠OBC＝90°，∴四边形AOBC是矩形，∵OA＝OB，∴矩形OACB是正方形，△OAB是等腰直角三角形，∴BC＝OA＝AC＝4

cm.∵∠BAP＝30°，∴∠BOD＝2∠BAP＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD为等边三角形，∴AB＝2OB＝2BD，由(1)得，∠ABC＝∠ADB，∴∠ABP＝∠BDP.∵∠P＝∠P，∴△ABP∽△BDP，∴APBP＝ABBD＝21，设BP＝x，则AP＝2x在Rt△ACP中，由勾股定理，得42＋(4＋x)2＝(2x)2，解得x＝4＋43(负值已舍去)，∴绳杆CP的长度为(8＋43)cm.解图23.综合与实践．问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，A′为斜边AC的中点，将与△ABC全等的△A′B′C′绕点A′旋转得到△A′OD.操作发现：(1)如图①，顺时针旋转一定角度，记A′D和A′O分别与BC交于点E，F，当A′D⊥AC时，猜想EF和A′F的数量关系为______，并证明你的猜想；(2)如图②，继续旋转一定角度，当线段A′D经过点B时，连接BO，试判断四边形AA′OB的形状，并证明你的结论；实践探究：(3)在整个旋转过程中，当△A′OD在AC下方，且△A′OD的直角边恰好与AC垂直时，设线段A′O与直线BC交于点G，直线BC交射线DO于点H，连接A′H，请直接写出A′H的长．23.解：(1)EF＝A′F；证