2024-2025学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）点P（3，﹣4）到原点的距离为（）A．5 B．4 C．3 D．﹣33．（3分）将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40°5．（3分）如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，则∠A＝（）A．90° B．85° C．95° D．105°6．（3分）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，直角顶点B落在EF上，则∠CBF的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°7．（3分）如图放置的五块拼图中，①②③为正方形，④⑤为等腰直角三角形．若正方形③的面积为2（）A．4 B．6 C．8 D．128．（3分）若P（﹣2a+1，a+1）关于y轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（）A． B． C． D．9．（3分）如图1，长方形地砖ABCD中有两个全等的正方形①和②，点E，BC上，且E，M，H分别在CD，AB上，BC＝14．将两块完全相同的地砖如图2的方式拼接在一起，则阴影部分的面积为（）A．62 B．52 C．97 D．8710．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F在边AC上运动，作FG⊥AE，交AE于点H，连结HD，DF⊥AC．有以下结论：①∠AGH＝∠CAE+∠C；②HF＝HE；④S△AHF＝S△AHD+S△FHD.其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）“x减去1大于3”用不等式可表示为．12．（4分）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题．13．（4分）若关于x的不等式组的解集为x≥﹣4，则a的取值范围是．14．（4分）若点A（m﹣1，2m+1）到x轴和y轴的距离相等，则m＝．15．（4分）如图1，正方形ABCD被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形EFGH．若在正方形EFGH中，恰有MG＝2HM，则．16．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点E和F分别在线段AD和线段BD上，连结BE，且满足BF＝CE．若BC＝5，EF＝3．三、解答题（共66分）17．（6分）解下列不等式．（1）；（2）．18．（6分）解下列不等式组．（1）；（2）．19．（9分）如图，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形成为格点图形，请按要求在给定网格中完成以下作图：（1）在图1中，画出△ABC的中线CE；（2）在图2中，找到格点D，使得△ABD与△ABC全等（标出一个即可）；（3）在图3中，仅用无刻度的直尺作出△ABC的高BH（保留作图痕迹）．20．（8分）已知关于x，y的方程组．（1）若方程组的解x，y满足﹣1＜x﹣2y＜0，求k的取值范围．（2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为921．（8分）如图，在△ABD中，BE⊥AC于点E，∠1＝∠2＝α．（1）求证：△AGE是直角三角形．（2）若∠D＝α，BC＝GF＝2，求α的值和AB的长度．22．（8分）“蛟蛟”、“川川”作为我校的吉祥物，深受广大同学们的喜爱．校运会筹备过程中，体育组老师计划以“蛟蛟”、“川川”的形象定制徽章作为纪念品．已知定制1件“蛟蛟”徽章与2件“川川”徽章共需要70元（1）“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为多少元？（2）体育组老师计划购买“蛟蛟”徽章和“川川”徽章共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买“蛟蛟”徽章多少件？23．（10分）若点P（x1，y1）、点Q（x2，y2）满足|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|＝m（m＞0），则称点P与点Q互为“m系矩点”，如点P（1，2）（2，3）互为“1系矩点”．如图，已知A（2，1），B（2，﹣3）．（1）下列选项中，是A（2，1）的“2系矩点”的有．①（2，3）②（0，﹣1）③（4，3）④（0，3）（2）若点A为C（﹣1，t）的“m系矩点”，则t＝，m＝．（3）若点M的纵坐标为2，且在线段AB上存在点M的“m系矩点”，求m的取值范围．24．（11分）等边△ABC中，点D，E分别在边AB，以点D为中心将DE逆时针旋转60°，得到DF，设AD＝kBE．（1）当k＝1时，如图1，点F在AC上．求证：CF＝BE；（2）当k＝2时，如图2，连接CF；（3）当时，如图3，连接AF，当AF+BF取得最小值时，＝．

2024-2025学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．故选：B．2．（3分）点P（3，﹣4）到原点的距离为（）A．5 B．4 C．3 D．﹣3【解答】解：OP＝＝5，即点P（3，﹣2）到原点的距离为5．故选：A．3．（3分）将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：不等式组的解集为2＜x≤2，在数轴上表示为：故选：C．4．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40°【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°满足∠8+∠2＝90°，满足题意；B、∠1＝40°，那么∠8≠∠2．”；C、∠1＝50°，那么∠4≠∠2．”；D、∠1＝40°，那么∠4≠∠2．”；故选：A．5．（3分）如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，则∠A＝（）A．90° B．85° C．95° D．105°【解答】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝50°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°．故选：C．6．（3分）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，直角顶点B落在EF上，则∠CBF的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°【解答】解：∵∠DFE＝45°，∠A＝30°，∴∠ABF＝∠DFE﹣∠A＝15°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°﹣15°＝75°．故选：D．7．（3分）如图放置的五块拼图中，①②③为正方形，④⑤为等腰直角三角形．若正方形③的面积为2（）A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：如图所示： ∵正方形③的面积为2，∴AC2＝8，∵⑤是等腰直角三角形，∴AC＝BC，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC8＝4，∴正方形②的面积为4．故选：A．8．（3分）若P（﹣2a+1，a+1）关于y轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：∵点（﹣2a+1，a+5）关于y轴的对称点在第一象限，∴点P在第二象限，∴，解得a＞．故选：D．9．（3分）如图1，长方形地砖ABCD中有两个全等的正方形①和②，点E，BC上，且E，M，H分别在CD，AB上，BC＝14．将两块完全相同的地砖如图2的方式拼接在一起，则阴影部分的面积为（）A．62 B．52 C．97 D．87【解答】解：如图所示，过点G作HL∥AB交AD、L，过点M作KJ⊥HL于点J，过点F作FI∥AB交AD于点I，如下图所示：由题可知AD＝14，AB＝8＝IF，KC＝JL＝1．易证明△DEN≌△HGE≌△JMG≌△KNM，∴DN＝HE＝GJ＝MK，DE＝HG＝MJ＝KN，∴DK＝DH＝HJ＝KJ＝8，∵EG＝GF，HG∥IF，则由三角形中位线逆定理知HG为△EFI的中位线，∴HG＝＝6，∴①号正方形周围的四个全等的小直角三角形面积之和为＝24，记S＝S①号正方形周围的四个全等的小直角三角形+S矩形KJLC＝24+7×7＝31，则将两块完全相同的地砖如图2的方式拼接在一起后阴影部分的面积为8S＝62．故选：A．10．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点F在边AC上运动，作FG⊥AE，交AE于点H，连结HD，DF⊥AC．有以下结论：①∠AGH＝∠CAE+∠C；②HF＝HE；④S△AHF＝S△AHD+S△FHD.其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°，∴∠GAH+∠AGE＝90°，∴∠AGH＝∠AED，∵∠AED＝∠CAE+∠C，∴∠AGH＝∠CAE+∠C，故①正确；若HF＝HE，∵HD＝HF，∴HD＝HE，∴∠HDE＝∠HED，∵AD⊥BC，∴90°﹣∠HDE＝90°﹣∠HED，即∠HDA＝∠HAD，∴HA＝HD，∴HF＝HA，∴∠EAC＝45°，则∠BAC＝90°，∴仅当∠BAC＝90°时，有HF＝HE；设∠HFD＝α，∵HD＝HF，∴∠HFD＝∠HDF＝α，∴∠DHG＝2a，∵DF⊥AC，∴∠AFH＝90°﹣α，又∵AE⊥FG，∠HAF＝90°﹣∠HFA＝α，∴∠DHG＝2∠HAF，故③正确；如图所示，延长FG交AB于点M，∵AE平分∠BAC，AE⊥FG，∴∠MAH＝∠FAH，∠AHM＝∠AHF＝90°，又∵AH＝AH，∴△AHM≌△AHF（ASA），∴MH＝HF，∴S△AMH＝S△AFH，HF＝HD，∴MH＝HD，∴∠HMD＝∠HDM，∵∠MHD＝∠GHD＝2α，∴，∴MD∥AC，∴S△MDF＝S△MDA，∴S△MDF﹣S△MDG＝S△MDA﹣S△MDG，即S△AMG＝S△GDF，∴S△AHF＝S△AHM＝S△AMG+S△AGH＝S△GDF+S△AGH＝S△AHD+S△FHD，即S△AHF＝S△AHD+S△FHD，故④正确，故正确的有①③④，故选：C．二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）“x减去1大于3”用不等式可表示为x﹣1＞3．【解答】解：用不等式表示“x减去1大于3”是x﹣5＞3，故答案为：x﹣1＞6．12．（4分）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题“面积相等的两个三角形全等”．【解答】解：命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题“面积相等的两个三角形全等”，故答案为：“面积相等的两个三角形全等”．13．（4分）若关于x的不等式组的解集为x≥﹣4，则a的取值范围是a＜﹣4．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣5，解不等式②得：x＞a，∵不等式组的解集为x≥﹣4，∴a＜﹣4，故答案为：a＜﹣5．14．（4分）若点A（m﹣1，2m+1）到x轴和y轴的距离相等，则m＝﹣2或0．【解答】解：∵点M到两坐标轴的距离相等，∴|m﹣1|＝|2m+3|，即m﹣1＝2m+4或1﹣m＝2m+4，解得m＝﹣2或m＝0．故答案为：﹣3或0．15．（4分）如图1，正方形ABCD被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形EFGH．若在正方形EFGH中，恰有MG＝2HM，则．【解答】解：设HM＝m，则MG＝2HM＝2m，如图5，GH＝MG﹣HM＝2m﹣m＝m，∴S正方形PQGH＝m2，如图5，∵GH＝HM+MG＝m+2m＝3m，∴S正方形EFGH＝（3m）2＝9m8，∴S正方形ABCD＝9m2+m7＝10m2，∴＝＝，故答案为：．16．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点E和F分别在线段AD和线段BD上，连结BE，且满足BF＝CE．若BC＝5，EF＝36．【解答】解：如图，AH⊥BC，过点E作EI∥BC交AB于点I．∵EI∥BC，∴，∠EBC＝∠IEB，又∵AB＝AC，∴EC＝IB＝BF，AE＝AI．在△BFE和△BIE中，BF＝BI，BE＝BE．∴△BFE≌△BIE（SAS）．∴∠FEB＝∠IEB，∴∠FEB＝∠EBC，∴EG＝BG．∵∠DFE＝∠FBE+∠FEB＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠DEF＝90°﹣∠DFE＝90°﹣∠ABC＝∠BAH＝∠CAH，∴EG∥AH，∴EG⊥BC．易得四边形EGHJ为矩形，AJ为等腰△AEI的中线．∴GH＝EJ＝＝＝．∴BG＝BC﹣CG＝BC﹣（HC﹣GH）＝BC﹣（﹣GH）＝2﹣1＝4．∴S△EFB＝EF•BG＝．故答案为：6．三、解答题（共66分）17．（6分）解下列不等式．（1）；（2）．【解答】解：（1），x+x≥5，x≥5，x≥6；（2），3﹣（4x﹣5）≤3（x﹣4），3﹣2x+6≤3x﹣6，﹣7x﹣3x≤﹣6﹣6﹣5，﹣5x≤﹣14，x≥．18．（6分）解下列不等式组．（1）；（2）．【解答】解：（1），解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x＞﹣2，∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤5；（2），解不等式①得：x≥6，解不等式②得：x＞，∴原不等式组的解集为：x＞．19．（9分）如图，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形成为格点图形，请按要求在给定网格中完成以下作图：（1）在图1中，画出△ABC的中线CE；（2）在图2中，找到格点D，使得△ABD与△ABC全等（标出一个即可）；（3）在图3中，仅用无刻度的直尺作出△ABC的高BH（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）如图1中，线段CE即为所求；（2）如图2中，△ABD即为所求（答案不唯一）；（3）如图6中，线段BH即为所求．20．（8分）已知关于x，y的方程组．（1）若方程组的解x，y满足﹣1＜x﹣2y＜0，求k的取值范围．（2）若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9【解答】解：（1），②﹣①得：2x﹣4y＝﹣6k﹣10，∴x﹣2y＝﹣k﹣5，∵﹣4＜x﹣2y＜0，∴﹣7＜﹣k﹣5＜0，解得：﹣5＜k＜﹣4；（2），解得：，分两种情况：当x为腰，y为底边时，∵等腰三角形的周长为9，∴2x+y＝5，2（k﹣1）+k+5＝9，解得：k＝3，∴x＝5，y＝5，∵2+6＝4＜5，∴不能构成三角形；当y为腰，x为底边时，∵等腰三角形的周长为8，∴2y+x＝9，7（k+2）+k﹣1＝4，解得：k＝2，∴x＝1，y＝3，∵1+4＝8＞4，∴能构成三角形；综上所述：k的值为2．21．（8分）如图，在△ABD中，BE⊥AC于点E，∠1＝∠2＝α．（1）求证：△AGE是直角三角形．（2）若∠D＝α，BC＝GF＝2，求α的值和AB的长度．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△CBE中，EF是斜边BC上的中线，∴EF＝CF＝BF＝BC，∴∠FEB＝∠8，∵∠CEF+∠FEB＝∠CEB＝90°，∴∠CEF+∠2＝90°，∵∠CEF＝∠AEG，∠1＝∠3，∴∠AEG+∠1＝90°，∴∠AGE＝90°，∴△AGE是直角三角形；（2）解：∵∠1＝∠2＝α，∠D＝α，∴∠ACB＝∠D+∠1＝2α，∵∠CEB＝90°，∴∠ACB+∠8＝90°，∴2α+α＝90°，∴α＝30°，在Rt△BCE中，BC＝2，∴CE＝BC＝1，由勾股定理得：BE＝＝，∵EF＝CF＝BF＝BC＝1，∴GE＝GF﹣EF＝4，在Rt△AGE中，∠1＝α＝30°，∴AE＝2GE＝8，在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝．22．（8分）“蛟蛟”、“川川”作为我校的吉祥物，深受广大同学们的喜爱．校运会筹备过程中，体育组老师计划以“蛟蛟”、“川川”的形象定制徽章作为纪念品．已知定制1件“蛟蛟”徽章与2件“川川”徽章共需要70元（1）“蛟蛟”徽章和“川川”徽章的单价分别为多少元？（2）体育组老师计划购买“蛟蛟”徽章和“川川”徽章共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买“蛟蛟”徽章多少件？【解答】解：（1）设“蛟蛟”徽章的单价为x元/件，“川川”徽章的单价为y元/件，根据题意，得，解得．答：“蛟蛟”徽章的单价为30元/件，“川川”徽章的单价为20元/件；（2）设“蛟蛟”徽章购买了m件，则“川川”徽章购买了（200﹣m）件，根据题意，得30m+20（200﹣m）≤5000．解得m≤100．所以m的最大值为100．答：最多能购买“蛟蛟”徽章100件．23．（10分）若点P（x1，y1）、点Q（x2，y2）满足|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|＝m（m＞0），则称点P与点Q互为“m系矩点”，如点P（1，2）（2，3）互为“1系矩点”．如图，已知A（2，1），B（2，﹣3）．（1）下列选项中，是A（2，1）的“2系矩点”的有②③④．①（2，3）②（0，﹣1）③（4，3）④（0，3）（2）若点A为C（﹣1，t）的“m系矩点”，则t＝4或﹣2，m＝3．（3）若点M的纵坐标为2，且在线段AB上存在点M的“m系矩点”，求m的取值范围．【解答】解：（1）①∵|2﹣2|≠|6﹣1|，∴点（2，4）不是点A（2；②∵|2﹣2|＝|﹣1﹣1|＝4，∴点（0，﹣1）是点A（6；③∵|4﹣2|＝|6﹣1|＝2，∴点（8，3）是点A（2；④∵|3﹣0|＝|3﹣5|＝2，∴点（0，5）是点A（2；故答案为：②③④；（2）∵点A为C（﹣1，t）的“m系矩点”，∴|7+1|＝|t﹣1|＝m，∴m＝5，t＝4或﹣2，故答案为：8或﹣2，3；（3）设点E为线段AB上点M的“m系矩点”，∴设点E的坐标为（4，t）（﹣3≤t≤1），∴|t﹣8|＝m，当t＝﹣3时，m＝5，当t＝7时，m＝1，∴m的取值范围为1≤m≤6．24．（11分）等边△ABC中，点D，E分别