福建省泉州市晋江市磁灶片区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市晋江市磁灶片区八年级（上）期中数学试卷及解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．（4分）下列各数中是无理数的是（）A． B． C． D．2．（4分）5的算术平方根等于（）A． B． C． D．253．（4分）下列各式中，计算结果等于a9的是（）A．a3+a6 B．a3•a6 C．（a3）2 D．a18÷a24．（4分）下列选项中，可以用来说明命题“若x2＞9，则x＞3”是假命题的反例是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝﹣45．（4分）计算（﹣3x）2•2x正确的是（）A．6x3 B．12x3 C．18x3 D．﹣12x36．（4分）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x7．（4分）若二次三项式x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．±38．（4分）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（）A．20° B．40° C．70° D．90°9．（4分）下列命题中，是假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余 B．全等三角形的对应边相等 C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D．对顶角相等10．（4分）边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a+b＝12，ab＝22．则图中阴影部分的面积为（）A．28 B．39 C．61 D．68二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）比较大小：4．（填“＞”、“＜”或“＝”）12．（4分）若x、y满足，则代数式x2﹣4y2的值为．13．（4分）因式分解：x2+2x+1＝．14．（4分）若（2x﹣3）（5﹣2x）＝ax2+bx+c，则a+b+c＝．15．（4分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，见图，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是．16．（4分）已知实数a，b满足，则的取值范围为．三、计算题：(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．（8分）计算题：（1）；（2）（8m3n2﹣4m2﹣2m）÷（﹣2m）．18．（10分）因式分解：（1）x3﹣16x；（2）3x2﹣12xy+12y2．19．（8分）已知：5a＝3，5b＝9．（1）求52a的值；（2）求55a﹣2b的值．20．（8分）如图，点B，F，C，E在一直线上，∠B＝∠E，BF＝EC，AB＝DE．求证：AC∥DF．21．（8分）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．22．（8分）已知3x+1的算术平方根是4，x+y﹣17的立方根是﹣2，求x﹣y的平方根．23．（10分）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4•an，所以an＝5．（1）若am＝2，a2m+n＝24，请你也利用逆向思考的方法求出an的值．（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：小贤的作业计算：89×（﹣0.125）9．解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：．②计算：52023×（﹣0.2）2022．24．（12分）借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．初步应用（1）如图1，大正方形的面积可以看作是边长为（a+b）的正方形面积，还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的面积的和，即S1，S2，S3，S4的和，从而得到乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．仿照图1，构造图形并计算（a+b+c）2．经验总结完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．（2）如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝13，求△BCD的面积．应用迁移（3）已知x、y、z满足x+y+z＝8，xyz＝12，x2+y2+z2＝26，求x2y2+y2z2+x2z2的值．25．（14分）（1）阅读下面材料，并完成填空．对于命题“等腰三角形的两个底角相等”，我们可以演绎推理来说明该命题是真命题，具体如下．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．证明：画∠BAC的平分线AD，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC（已知），∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），AD＝AD（公共边）．∴△ABD≌△ACD（）．∴∠B＝∠C（）．（2）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE．①求证：△DAC≌△EAB；②求证：AD⊥CD；③如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM+∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE之间的数量关系，并写出证明过程．

2024-2025学年福建省泉州市晋江市磁灶片区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．（4分）下列各数中是无理数的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．是无理数，故本选项符合题意；C．＝，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．＝﹣2，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；故选：B．2．（4分）5的算术平方根等于（）A． B． C． D．25【答案】B【分析】直接根据算术平方根的概念判断即可．【解答】解：5的算术平方根等于，故选：B．3．（4分）下列各式中，计算结果等于a9的是（）A．a3+a6 B．a3•a6 C．（a3）2 D．a18÷a2【答案】B【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘、除法运算法则，幂的乘方运算法则，对四个选项逐一计算即可．【解答】解：A．a3与a6不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；B．a3•a6＝a3+6＝a9，故选项B符合题意；C．（a3）2＝a6，故选项C不符合题意；D．a18÷a2＝a18﹣2＝a16，故选项D不符合题意．故选：B．4．（4分）下列选项中，可以用来说明命题“若x2＞9，则x＞3”是假命题的反例是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝﹣4【答案】D【分析】根据有理数的乘方、有理数的大小比较法则解答．【解答】解：当x＝﹣4时，x2＝16＞9，而﹣4＜﹣3，∴“若x2＞9，则x＞3”是假命题，故选：D．5．（4分）计算（﹣3x）2•2x正确的是（）A．6x3 B．12x3 C．18x3 D．﹣12x3【答案】C【分析】先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可．【解答】解：（﹣3x）2•2x＝9x2•2x＝18x3．故选：C．6．（4分）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x【答案】C【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【解答】解：A、是多项式乘法，故选项错误；B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故选项错误；C、提公因式法，故选项正确；D、右边不是积的形式，故选项错误．故选：C．7．（4分）若二次三项式x2+kx+9是完全平方式，则k的值是（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．±3【答案】C【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．【解答】解：∵x2+kx+9＝x2+kx+32，x2+kx+9是完全平方式，∴kx＝±2•x•3，解得k＝±6．故选：C．8．（4分）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠A′CB＝20°，则∠BCB′的度数为（）A．20° B．40° C．70° D．90°【答案】C【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB＝∠A′CB′，所以∠BCB′＝∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠BCB′＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝70°．故选：C．9．（4分）下列命题中，是假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余 B．全等三角形的对应边相等 C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D．对顶角相等【答案】C【分析】利用直角三角形的性质、全等三角形的性质、全等三角形的判定及对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题，不符合题意；B、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；C、两边及夹角分别相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，符合题意；D、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意．故选：C．10．（4分）边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a+b＝12，ab＝22．则图中阴影部分的面积为（）A．28 B．39 C．61 D．68【答案】B【分析】用含有a、b的代数式表示阴影部分的面积，再将其变形为[（a+b）2﹣3ab]，整体代入计算即可．【解答】解：由题意得，S阴影部分＝S大正方形ABCD+S小正方形DEFG﹣S△ABC﹣S△AFG＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab，∵a+b＝12，ab＝22．∴原式＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]＝×（144﹣66）＝×78＝39．故选：B．二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）比较大小：＜4．（填“＞”、“＜”或“＝”）【答案】见试题解答内容【分析】直接利用实数比较大小的方法分析得出答案．【解答】解：∵＝4，∴＜＝4，∴＜4．故答案为：＜．12．（4分）若x、y满足，则代数式x2﹣4y2的值为﹣6．【答案】见试题解答内容【分析】根据方程组中x+2y和x﹣2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．【解答】解：∵x﹣2y＝﹣2，x+2y＝3，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝3×（﹣2）＝﹣6，故答案为：﹣6．13．（4分）因式分解：x2+2x+1＝（x+1）2．【答案】（x+1）2．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，故答案为：（x+1）2．14．（4分）若（2x﹣3）（5﹣2x）＝ax2+bx+c，则a+b+c＝﹣3．【答案】见试题解答内容【分析】由多项式乘以多项式的运算法则，可求得（2x﹣3）（5﹣2x）＝﹣4x2+16x﹣15，又由（2x﹣3）（5﹣2x）＝ax2+bx+c，即可求得a，b，c的值，继而求得答案．【解答】解：∵（2x﹣3）（5﹣2x）＝10x﹣4x2﹣15+6x＝﹣4x2+16x﹣15，（2x﹣3）（5﹣2x）＝ax2+bx+c，∴a＝﹣4，b＝16，c＝﹣15，∴a+b+c＝﹣3．故答案为：﹣3．15．（4分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，见图，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是﹣6051．【答案】﹣6051．【分析】利用杨辉三角的规律可得第二项即为符合条件的项，依此规律解答即可．【解答】解：由题意得：展开式的第二项为2017＝﹣6051x2015，∴展开式中含x2015项的系数是﹣6051．故答案为：﹣6051；16．（4分）已知实数a，b满足，则的取值范围为≤M≤．【答案】≤M≤．【分析】由两个等式可求出a+b、ab的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．【解答】解：∵①，②，①﹣②得：ab＝1﹣M，①+②得：2a2+2b2＝1+M，即a2+b2＝，∴a2+b2+2ab＝+2（1﹣M），∴a+b＝±（M≤），∴a，b是关于方程x2±x+1﹣M＝0的两个实根，由Δ＝﹣4（1﹣M）≥0，解得M≥，故M的取值范围是≤M≤．故答案为：≤M≤．三、计算题：(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．（8分）计算题：（1）；（2）（8m3n2﹣4m2﹣2m）÷（﹣2m）．【答案】（1）1+；（2）﹣4m2n2+2m+1．【分析】（1）先根据算术平方根、立方根、绝对值的运算法则计算，再合并即可；（2）根据整式的除法法则计算即可．【解答】解：（1）＝4﹣3+＝1+；（2）（8m3n2﹣4m2﹣2m）÷（﹣2m）＝8m3n2÷（﹣2m）﹣4m2÷（﹣2m）﹣2m÷（﹣2m）＝﹣4m2n2﹣（﹣2m）﹣（﹣1）＝﹣4m2n2+2m+1．18．（10分）因式分解：（1）x3﹣16x；（2）3x2﹣12xy+12y2．【答案】（1）x（x+4）（x﹣4）；（2）3（x﹣2y）2．【分析】（1）先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．【解答】解：（1）x3﹣16x＝x（x2﹣16）＝x（x+4）（x﹣4）；（2）3x2﹣12xy+12y2＝3（x2﹣4xy+4y2）＝3（x﹣2y）2．19．（8分）已知：5a＝3，5b＝9．（1）求52a的值；（2）求55a﹣2b的值．【答案】（1）9；（2）3．【分析】（1）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘将原式变形为（5a）2，再代入计算即可；（2）根据同底数幂相除，底数不变，指数相减将原式变形为55a÷52b，再根据幂的乘方法则变形为（5a）5÷（5b）2，最后代入计算即可．【解答】解：（1）∵5a＝3，∴52a＝（5a）2＝32＝9；（2）∵5a＝3，5b＝9，∴55a﹣2b＝55a÷52b＝（5a）5÷（5b）2＝35÷92＝243÷81＝3．20．（8分）如图，点B，F，C，E在一直线上，∠B＝∠E，BF＝EC，AB＝DE．求证：AC∥DF．【答案】证明过程见解析．【分析】证明△ABC≌△DEF（SAS），由全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，由平行线的判定可得出结论．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF．21．（8分）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．【答案】24．【分析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．【解答】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2＝2a2﹣6ab，当a＝﹣3，时，原式＝＝24．22．（8分）已知3x+1的算术平方根是4，x+y﹣17的立方根是﹣2，求x﹣y的平方根．【答案】±1．【分析】利用算术平方根及立方根定义求出x与y的值，代入计算即可确定出x﹣y的平方根．【解答】解：根据题意得：3x+1＝16，x+y﹣17＝﹣8，解得：x＝5，y＝4，则x﹣y＝5﹣4＝1，1的平方根为±1．所以x﹣y的平方根为：±1．23．（10分）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即am+n＝am•an，所以20＝4•an，所以an＝5．（1）若am＝2，a2m+n＝24，请你也利用逆向思考的方法求出an的值．（2）下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：小贤的作业计算：89×（﹣0.125）9．解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：an•bn＝（ab）n．②计算：52023×（﹣0.2）2022．【答案】（1）an＝6；（2）①逆用积的乘方，其公式为：an•bn＝（ab）n；②5．【分析】（1）根据所给的解答方式进行求解即可；（2）①根据解答过程进行分析即可；②利用所给的方式进行求解即可．【解答】解：（1）∵am＝2，∴a2m+n＝24，∴a2m×an＝24，（am）2×an＝24，22×an＝24，∴4an＝24，∴an＝6；（2）①逆用积的乘方，其公式为：an•bn＝（ab）n，故答案为：an•bn＝（ab）n；②52023×（﹣0.2）2022＝5×52022×（﹣0.2）2022＝5×（﹣0.2×5）2022＝5×（﹣1）2022＝5×1＝5．24．（12分）借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．初步应用（1）如图1，大正方形的面积可以看作是边长为（a+b）的正方形面积，还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的面积的和，即S1，S2，S3，S4的和，从而得到乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．仿照图1，构造图形并计算（a+b+c）2．经验总结完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．（2）如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝13，求△BCD的面积．应用迁移（3）已知x、y、z满足x+y+z＝8，xyz＝12，x2+y2+z2＝26，求x2y2+y2z2+x2z2的值．【答案】（1）图形见解答部分；（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）3．（3）169．【分析】初步应用：根据图1，构造边长为a+b+c的正方形，再利用两种方法表达正方形的面积即可；经验总结：从数形两个方面进行计算即可．应用迁移：根据（1）中给出的公式，令a＝xy，b＝yz，c＝xz，对式子进行整理即可．【解答】解：（1）根据题意可构造图形如下，∵大正方形的面积可以看作是边长为（a+b+c）的正方形面积，还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的面积的和，即S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9的和，∴（a+b+c）2＝S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8+S9＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，由于AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝13，∴a+b＝5，a2+b2＝13，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即25＝13+2ab，∴ab＝6，∴阴影部分的面积为ab＝3，即△BCD的面积为3．（3）由（1）知，（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz，∵x+y+z＝8，x2+y2+z2＝26，∴2xy+2xz+2yz＝（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）＝82﹣26＝38，∴xy+yz+xy＝19．令a＝xy，b＝yz，c＝xz，∴（xy+yz+xz）2＝x2y2+y2z2+x2z2+2xyz2+2x2yz+2xy2z，∵xyz＝12，∴x2y2+y2z2+x2z2＝（xy+yz+xz）2﹣24（x+y+z）＝192﹣24×8＝169．25．（14分）（1）阅读下面材料，并完成填空．对于命题“等腰三角形的两个底角相等”，我们可以演绎推理来说明该命题是真命题，具体如下．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．证明：画∠BAC的平分线AD，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC（已知），∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），AD＝AD（公共边）．∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）．（2）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE．①求证：△DAC≌△EAB；②求证：AD⊥CD；③如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM+∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE之间的数量关系，并写出证明过程．【答案】（1）SAS，全等三角形对应角相等；（2）①②证明过程见解答；③∠DAE+2∠ADM＝180°，证明过程见解答．【分析】（1）由全等三角形的判定定理和性质可得出答案；（2）①延长DF至Q，使F