辽宁省大连市高新区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年辽宁省大连市高新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．方程的根是（）A． B． C．， D．，3．在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是（）A． B． C． D．4．如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．40°5．方程的根的情况是（）A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根

C．没有实数根 D．无法判断6．将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是（）A． B．

C． D．7．如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，点D落在AB边上，则的度数是（）A．30° B．25° C．20° D．15°8．参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A． B． C． D．9．如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则AD长为（）A．8B．6C．4D．无法计算10．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知，则脚手架高DE为（）A．7米B．6米C．5米D．4米二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11．关于x的一元二次方程的一个根是2，则a＝______．12．如图，在平面直角坐标系中，将绕点O按顺时针方向旋转90°，得，则点的对应点的坐标为______．13．某地有一座圆弧形拱桥如图所示，桥下水面宽度，半径，则该圆弧形拱桥的高度CD为______m．14．如图，，，，与关于点C成中心对称，则AB的长是______．15．如图，在正方形ABCD中，点B、D的坐标分别是、，点C在抛物线的图象上，则b的值为______．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（本小题10分）（1）解方程：；

（2）已知二次函数的图象经过，，求二次函数的表达式．17．（本小题8分）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感．

（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？18．（本小题8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．（1）将以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的，并直接写出点A的对应点的坐标；

（2）将向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度得到，画出，并直接写出点A的对应点的坐标；

（3）将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______．19．（本小题8分）如图，一条单向通行且一排道的隧道，它的截面由抛物线和长方形构成．在长方形OCBA中，OC长为6m，AO长为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面5m，以OC为x轴，OA为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若一辆货车高4m，宽3m，这辆货车能否从该条隧道通过？为什么？20．（本小题8分）2023年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个蓉宝吉祥物．

（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；

（2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？21．（本小题8分）

如图，在中，，以AC为直径的交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是的切线；

（2）若，，求EC长．22．（本小题12分）如图1，在中，，，点D在AC边上，点E在BC延长线上，且，连接DE，将绕点C逆时针旋转，连接BD，AE，直线BD与直线AE交于点F．

（1）如图2，求证：；

（2）在图2中，连接CF，求证：；

（3）若，，

①如图3，当点F与点D重合时，求的面积；

②如图4，当点F与点E重合时，直接写出的面积．

23．（本小题13分）在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”．

例如：点与点互为“等和点”．

（1）点与点互为“等和点”，求b的值；

（2）点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值；

（3）直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象点E在图象上，点F在图象上．

①若，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标；

②若在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围．答案和解析1．【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：C．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．【答案】D【解析】解：由题知，

因为，所以或，

则，．

故选：D．

利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．

本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．3．【答案】A【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是．

故选：A．

关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案．

本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键．4．【答案】C【解析】解：为所对的圆周角，为所对的圆心角，

．

故选：C．

直接利用圆周角定理求解．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．【答案】B【解析】解：，，，

，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

分析：

把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．

本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．6．【答案】B【解析】解：将抛物线向上、向左各平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式是：，即．

故选：B．

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．【答案】A【解析】解：在中，，，，

将绕点C逆时针旋转得到，，

是等边三角形，

，．

故选：A．

根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，得到是等边三角形，求得，由此即可求解．

本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．8．【答案】C【解析】解：根据题意，得，

故选：C．

根据参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，列一元二次方程即可．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．9．【答案】C【解析】解：设，

与它的内切圆分别相切于点D、E、F，

，，，

则，

周长为20，

，即：，

解得：，即．

故选：C．

设，根据切线长定理得出，，，则，由周长为20，代入求出a即可．

本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出，，，用了方程思想．10．【答案】B【解析】解：四边形DEFG是矩形，

，，

，抛物线关于y轴对称，

设点G的纵坐标为3a，则点G的横坐标为a，即点G的坐标为，

点G在抛物线上，，

解得：，（舍去），

点G的纵坐标为6，，．

故选：B．

根据及抛物线的对称性，判断出用未知数表示的点G的坐标，代入抛物线解析式可得未知数的值，进而可得DE的长．

本题考查二次函数的应用．根据题意判断出在二次函数图象上的点G的坐标是解决本题的易错点．11．【答案】6【解析】解：把代入方程，得，

解得．

故答案为：-2．

把代入方程得：，然后解关于a的方程即可．

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．【答案】【解析】解：绕点O按顺时针方向旋转得到，，

点的坐标为．

故答案为：．

根据旋转的性质可得答案．

本题考查坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．13．【答案】4【解析】解：，，，

在中利用勾股定理，得，

，．

故答案为：4．

根据垂径定理求出AD，在中利用勾股定理求出OD，从而求出CD．

本题考查垂径定理，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键．14．【答案】【解析】解：与关于点C成中心对称，

，，，

在中，，

．

故答案为：．

利用中心对称的性质得出，，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案．

此题主要考查了中心对称以及勾股定理，正确得出DC，DE的长是解题关键．15．【答案】【解析】解：作轴，于M，于N，

四边形ABCD是正方形，，，

，，

，，

，，

设，点B、D的坐标分别是、，

则且，

解得：，，，

点C在抛物线的图象上，

，，

故答案为：．

作轴，于M，于N，利用三角形全等的即可得出C点坐标，进而求解．

此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特点，得出D点坐标是解题关键．16．【答案】解：（1），，

，，，

所以，；

（2）根据题意得，解得，

所以二次函数解析式为．【解析】（1）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；

（2）把两个已知点的坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c，从而得到二次函数解析式．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了配方法解一元二次方程、二次函数图象上点的坐标特征．17．【答案】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x个人被感染，第二轮传染中有个人被感染，

根据题意得：，

解得：，（不符合题意，舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了8个人；

（2）根据题意得：（人），

，

如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800．【解析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x个人被感染，第二轮传染中有个人被感染，根据“某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

（2）利用经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数×（1＋每轮传染中平均一个人传染的人数），即可求出经过三轮传染后患流感的人数，再将其与800比较后，即可得出结论．

本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．【答案】（2，-1）【解析】解：（1）如图，即为所求．

由图可得，点的坐标为（3，2）．

（2）如图，即为所求．

由图可得，点的坐标为（1，-4）．

（3）分别连接，，，相交于点P，

则绕点P旋转可以得到，

旋转中心的坐标为（2，-1）．故答案为：（2，-1）．

（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．

（2）根据平移的性质作图，即可得出答案．

（3）分别连接，，，相交于点P，则绕点P旋转可以得到，即可得出答案．

本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．19．【答案】解：（1）由题意，设抛物线的方程为，

又点在抛物线上，可有，解得．

．

（2）由题意，由（1）令，则有．

或．

，

该货车可以通过．【解析】（1）依据题意，设抛物线的方程为，又点在抛物线上，从而，求出a即可判断得解；

（2）依据题意，由（1）令，则有，可得或，进而可以判断得解．

本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，确定抛物线解析式为解题关键．20．【答案】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m，

依题意，得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：每次上涨的百分率为20％．

（2）由题意，设每个售价为x元，

每天的利润．

当时，每天的最大利润为9000．

网店每个应降价元，即网店每个应降价10元．

答：网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元．【解析】（1）依据题意，设每次上涨的百分率为m，再由题意列出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）依据题意，设每个售价为x元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可列出关于x的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．

本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．21．【答案】（1）证明：连接CD，OD，如图，

是的直径，，，

在中，E为BC的中点，

，，，

，，

，，

，

即，

为半径，，是的切线；

（2）解：，，

在中，，，，

设，则，

由勾股定理可得：，即，

解得，，，，

同理在中，设，则，

由勾股定理可得：，即，

解得，即．【解析】（1）连接CD，OD，结合圆周角定理和直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得，从而可得，然后根据切线的判定定理分析证明；

（2）结合含的直角三角形性质及勾股定理分析计算求解．

本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质及解直角三角形等知识．正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．【答案】（1）证明：，，，，

，即，

，；

（2）证明：如图1，在BF上截取，连接CG．

由（1）得，，，

又，，

，，

，

即，

是等腰直角三角形，

根据勾股定理得，，

，

，，；

（3）解：①由（1）得，，，

，，，

，，，

，

根据勾股定理得，，

同理，，，

设，则．

由（1）得，，

在中，，，

解得，（舍去），

．

如图2，过C作于H．

，，，

；

②．

同理，，

，，．．

设，则，，

在中，，

，（舍去）．

．

过C作于M，

．

，

，．

．【解析】（1）证明，得出；

（2）在BF上截取，连接CG．证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则可得出结论；

（3）①由等腰直角三角形的性质及勾股定理求出AD的长，如图2，过C作于H．由三角形面积可得出答案；

②设，则，得出，由勾股定理求出AE的长，由三角形面积可得出答案．

本题是几何变换综合