高三数学试题汇编（第3期）专题08 立体几何 理

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题08立

体几何理

一.基础题

1.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】〃八八是不同的直线，a、。、y

是不同的平,面，有以F四命题：

①若a〃4a〃7,则/〃7;②若a_LQ，m〃a,则m_L〃；

③若〃2_l_a，加〃/，则a_L£;④若m〃小〃u。，则m//a.

其中真命题的序号是()

A.0@B.①④C.(2X3)D.②④

【答案】A

【解析】时于②，也也可能在平面尸内或平行，故错；时于④，力也可能在平面a内，故

错；故真命题为①③，答案为A.

2.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】对于平面a和共面的两直线

"7、〃，下列命题中是真命题的为

A.若m_La,mA.n,则〃〃aB.若mHa,nHa,则血/〃

C.若机ua,nila,则〃?〃〃D.若〃？、〃与。所成的角相等，则相〃〃

【答案】C

【解析】考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断.

3.12012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】如图，若一个空间几何体的三

视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1,则该几何体的表面积为（）

【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥

底面是一个边长为1的正方形，故底面积S底=1—

侧面有两个直角边长为1的等腰直角三角形，和两个边长分为1,沈，正的直角三

角形组成，故S*2X1X1X1+2X」X1X&=1_/^

22

・•・该几何体的表面积S=SMS*2+加

故选D

4.12012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】已知m、n是两条不同

直线，a、B是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）

A.若a_LB,n_LB,m〃n,则m〃.a

B.若a_LB,anB=n,m±n,则m_La或m±B

C.若anB=n,m〃n,11Qa,mQB,则m〃a且ni〃B

D.若m不垂直于平面a,则m不可能垂直于平面a内的无数条直线

【解析】A・n_L。，.•・w7a或nua,则m〃a或mua,故A错•：

B.'.'a±p,anp=n,m_Ln,若有mua或mu。，则或m_Lct,故B错；

C.*.*an(3=n,m//n,m—a,又,.,ari|J=n,m〃n,mH。，「.m〃仇即m"a

且m〃。，故C正确；

D.由线面垂直的定义知，既使m不垂直干平面a,则m仍可能垂直于平面a内的无

数条直线，故D错.

故答案为C.

5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知以〃是两条不同直线，是三个不同

平面，下列命题

中正确的有.

①若机IIa,nIIa,则〃zIIn.②若a_Ly,夕_Ly,则a〃.

③若mHa,mH。,验aHB.④若m±a,n±a,则〃zUn

【答案】④

【解析】均为直线，其中〃平行a,次,〃可以相交也可以异面，故①不正确；

m-a,nJLa则同垂直于一个平面的两条直线平行；④正确.

6【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】下列命题中,m,n两条不同的直线，a,£,y

表示三个不同的平面.

①若m±a,n\\a,则mIn；②若aJ_J_y,则a||/7；③若m||a,n||a,则右||n；

①若。||4,/?||/,6_1_。则〃2_17,正确的命题是(C)

A.①③B.②③C.①④D.@®

【解析】：②中平面a、£即可平行，也可相交；③中直线〃八〃平行、相交和异面皆可

7.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】在空间，下列命题正确的是

()

A.平行直线在同•平面内的射影平行或重合B.垂直于同•平面的两条直线平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行D.平行于同一直线的两个平面平行

【答案】B

【解析】A中的射影也有可能是两个点，错误。C中两个平面也可能相交，错误。D中的

两个平面也有可能相交，错误。所以只有B正确。

8.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】己知直线L_L平面a,直线mU

平面比则“/〃加”是邛”的

（A）充要条件1B）必要条件（C）充分条件（D）既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】本题考查立体几何中的线面关系。口山’时，除了可能/〃叫也可能相交或为异

面直线。

9.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）一个几

何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为（）

正（X）祝！90

为祝四

A.73B.93C.73D.93

个41rl

【答案】C

【解析】三视图复原的几何体，下都是放倒的四棱柱,

底面是直角梯形，边长分别为：3,2,1,V2；

高为：1；上部是正方体，

也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，

所以几何体的体积为：3xF-lxi3=1

22

故选C.

10.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（5分）已知某个几何体的三

视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（）

D.83

互cm

正视图侧视图

【答案】A

【解析】根据三视图的定义，可知正视图为一个正方形以及内部的一个三角形；侧视图和正

视图一样，故答案为A.

2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012-2013学年第一学期统一检测题】

已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,则这个几何体的

A.8cw3B.12cv/z3C.24anD.72cnt

【答案】B

【解析】三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为6高为4的等腰

三角形，三棱锥的高为3,所以，这个几何体的体积〃=2x1x6x4x3=12

3.12012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知以下三视图中有三个同时

表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是（

俯视图俯视图

俯视图俯视困

【答案】D

【解析】三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；

且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2的棱锥

A与C中俯视图正好旋转ISO%故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中

三角形斜边颈斜方向相反，满足实际情况，故A,C表示同一棱锥

设A中观察的正方向为标准正方向，以C表示从后面观察该棱锥

B与D中俯视图正好旋转180%故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边

何斜方向相同，不满足实际情况，故B,D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱

锥，

根据B中正视图与A中侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边

观察该棱锥

故选D

4.【广州市2013届高三年级1月调研测试】已知四棱锥P-A3CD的三视图如图1所

示，

则四棱锥。一48CD的四个侧面中面积最大的是

A.3B.2&C.6D.8

侧视图

图।

【答案】C

【解析】三棱锥如图所示，PM=3,5APDC=-X4X>/5=2V5,

Sv8c=S",m=gx2x3=3,S”八8=gx4x3=6

5.12012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】设某几何体的三视图

如图（尺寸的长度单位为：m）,若该儿何体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积等

于m?（答案用含有五的式子表示）

【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱

底面的半径r满足2r=.时=6

sin60

则『3

棱柱的高为S

则球心到底面的距离d=4

则球的半径R=7A^2=5

故此球的表面积S=4nR:=100n

故答案为：lOOn

6.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知一个空间几何体的三视图如图所示，根

据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为

俯视图

A10+46+4&R10+26+4&c.14+2百+4&D,14+4^/3+472

【答案】B

•A。、、、

【解析】B

根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥

其中ABCD是直角梯形，AB±AD,AB=AD=2,BC=4,即PA_L平面ABCD,PA=2,且8=272,,

PD=142,PB=1石-PC=276，底面梯形的面积为Q+”=6,

DPC中的高DO=-函）［=6,「所o

所以S皿="灰巾=邛,所以该几何体的总面积为

6+2+2+2后+40=10+2招+40,选B.

7.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，

其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为

-1yT

正视图。

3

4

D.

俯视图，

【答案】c

【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视

图的高为立，高为JL所以侧视图的面积为Lx走

2224

选C.

8.【北京市东城区2013屈高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体

的表面积为

【答案】75-4^

【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4,

,底面梯形的上底为4,下底为5,腰8=疔工=次,所以梯

形的面积为5=(4+：一二三,梯形的周长为3十4十5+而=函+12,所以四个侧

面积为(J6+12)x4=4jl^+48,所以该几何体的表面积为

4画+48+2x^-=75+4而.

9.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图，某三棱锥的三视图都是直角边为五的

等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是

(A)V3(E)2百(01(D)2

【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形,

所以四个面中面积最大的为ABC。，且ABC。是边长为为2的

正三角形，所以Sms=；乂2义2乂4=币，选A.

10.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】三楂锥。-A8C及其三视图中的主视图和

左视图如图所示.则楂“D的长为.

【答案】4&

【解析】取配的中点，连结BE,DE由主视图可知

EE_AC：BE_DE.DC-ABC且

DC=BE=273:AE=EC=2.所以

BC=4BE、EC：=,(2舟+2、=灰=4,即

BD=jBC：+DC：=Jf+41=岳=4>/2-

11.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】设团，〃是不同的直线，夕是不同的平

面，下列命题中正确的是（）

A.若m//a,nt0,m工n,则a_L/?

B.若_L民加_L〃，则a〃£

C.若P，m/In,则a_L/?

D.若m」/a,nA.B，m//n,则a//6

【答案】C

【解析】C中，当mlla、m〃n,所以，〃//a,或〃ua,当〃_L。，所以a_L£,所以正

确。

12.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】一个几句体的三视图如图所示，该几何体

的表面积是

(A)16+4亚(B)12+4&(C)8+40(D)4+40

【答案】B

【解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形,

棱柱的高为2,所以该几何体的底面积为2xLx2x2=4,侧面积为

一7

(2+2+272)x2=8+472,所以表面积为8+箱+4=12+44，选B.

13.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示.该四面体的六

条极的长度中，最大的是()

(A)2^5(B)276(C)2币(D)4&

【答案】C

【解析】由三视图可知该四面体为V-.iBC,其中

EC=CB=2,HE=N0FC=2,J£_8£/C一括E.所以六条棱中，最大的为

VA或者”3.AC2=AEZ+£C:=(2V3):+22=16,所以

I：r=JC:+rC:=16+2:=20,此时IN=回=2#.

AB?=H+EB2=QW>+41=28,所以4=后=2，>2在，所以棱长最大

的为2，，选C.

14.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体ABCD-AqCA中，

点、仁6分别是线段AB,80(不包括端点)上的动点，且线段片鸟平行于平面A4OR,

则四面体qP2ABi的体枳的最大值是

62

【答案】A

【解析】过鸟做鸟。_1_底面于0,连结则Oq_L4?,即为三棱锥鸟一片入片的

高，设A[=x，0<x<l，则由题意知。4〃4。，所以有空二驾，即。4二1一工。

ADAB

三角形Sg相=白，所以四面体4片的体积为

1X1x(1-x)=1x(1-x)<|(11*V)2=,当且仅当x=

即X=J时，取等号，所以四面体46AA的体积的最大值为(，选A.

4I

DiG

15、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的

体积是()

【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2,底面三角形的高为3,底面边

长为3,所以底面积为，x4x3=6,所以该儿何体的体积为，x6x2=4,选B.

23

16.【安徽省2013届高三开年第一考】一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正

视图、侧视图、俯视图均是边长为2的正方形，如图所示，该多面体的表面积是（)

A.12+4&B.8+2、行C.12+2V3D.8+4石

【答案】A

【解析】由三视图可得，多面体如图所示，其面积为

S=12+4G，选A

17.[2013安徽省省级示范高中名校高三联考】如图，L,M,N分别为正方体对应棱的中点,

则平面LMN与平面PQR的位置关系是

A.垂直B.相交不垂直C.平行D.重合

【答案】C

【解析】如图，分别取另三条棱的中点儿用0将平面工•延

展为平面正六边形的BNCL,因为PQ〃AL,PR〃AM,

且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面尸然//平面

的B\CL，即平面口N〃平面PQR.

18.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1

中，E、F是AB的三等分点，G、H是CD的三等分点，M、N分别是BC、EH的中点，则四棱

锥Al-FMGN的侧视图为

【答案】C.

【解析】（略）.

19.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知命题：“如果"工人）'〃z,则/‘z"

是假命题，那么.字母乂）'*在空间所表示的几何图形只可能是（）

A.全是直线B.全是平面C.x,z是直线y是平面D.x,y是平面，z是直线

【答案】D

xA.y

【解析】•・•当x,y是平面,7.是直线时.・)'/〃推不.•.选D

20.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】一空间几何

体的三视图如图所示，图中各线段旁的数字表示该线段的长度，则该

几何体的体积为

(A)30(B)27(C)35(D)36

【答案】A

【解析】本题考查立体儿何的三视图，需要空间想象力。原儿何体是：

下面棱长为3的正方体，上面是高为2(高线也是一侧棱，且垂足是棱的中点)的三棱锥。

21.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测睑试卷】如图.

单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在平面A1BC1上，则三棱锥

P-ACD1的体积为

【答案】-

6

【解析】平面48G〃平面「•尸到平面的距离等于平面与平面MCA

间的距离，等于"D=包,而Sgn=工切「8.51160。=也,

••・三棱锥P-HC4的体积为lx史x史=L.

3236

22.12012-2013学年云南省昆明市高三(上)摸底调研测试】己知A,B,C,D四点在半径

为叵的球面上，且AC二BD二万，AD=BC=5,AB=CD,则三棱锥D-ABC的体积是一

2

【解析】由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC,如图所示

222

a+b+c=29

22

设长方体的长宽高分别为a,b,c,则a+b=13

a2+c2=25

/.a=3,b=2,c=4

，三棱锥D・ABC的体积是2X3X4-4x1x1x2X3X4=20

32

故答案为；20.

23.[2012-2013学年江西省南昌市调研考试】如图是一个几何体的三视图，根据图中的数

据，可得该几何体的体积是_________.

[【解析】：还原该几何体的立体图形如下图，再将其切割为两个相同四楂锥和一个三棱柱,

便可求得体积为2乙

/:/_____________________

0.5205

④平行六面体的四个侧面两两全等，但侧棱与底面不垂直时，棱柱为斜四棱柱，故错

误；

⑤当三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但

不是正三棱锥，故错误：

故答案为：①

三.拔高题

1.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】一个几何体的三视图如

口口

正视EB«(左)a®

O

图所示，则该几何体的表面积为一.

【答案】75-4^10

【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4,

,底面梯形的上底为4,下底为5,腰。。=行1二次,所以梯

形的面积为S尸：;3；梯形的周长为3+4+5+而=而+13所以四个侧

面积为G^+12)x4=446+48,所以该几何体的表面积为

4闻+48+2x^-=75+4闻.

2.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】(本小题共14分)

如图.，在菱形A3CD中，ND4B=60'，E是A3的中点，加4_1_平面48。。,

且在矩形ADM0中，AO=2,AM=—

7

(I)求证：AC.LBN；

(ID求证：AN//平面MEC；

(III)求二面角时—£C—。的大小.

AEB

解：(I)连结则AC_L8O.

由已知£WJ_平面ABCD,

因为£wno3=o,

所以ACJ•平面NOB.............2分

又因为BNu平面NDB,

所以4CJL8N...............4分

(II)CM与BN交于F,连结EV.

由已知可得四边形3CNM是平行四边形，

所以网是AN的中点.

因为E是A3的中点，

所以AN//EF..................7分

又跖u平面MEC,

4Vz平面MEC,

所以A7V〃平面MEC...............9分

(III)由于四边形.龙8是菱形，上是的中点，可得。

如图建立空间直角坐标系。一号z,则。(0：0：0),E(Jl0：0),C(0:2s0),

CE=(^r-2.0),百=(0「L乂).

io分

设平面.WEC的法向量为n=(x,ysz).

,|CE-H=0.

则一­

旧/.〃=0.

[y/3x-2y=0,

所以卜‘.2j下o.

令x=2.

所以〃12分

又平面ADE的法向量机=(0,0,1),

所以cos<m,n>=

M同2

所以二面角M—EC—。的大小是60。.14分

3.[2012-2013学年河南省中原名校高三(±)第三次联考](12分)如图一，平面四边形

ABCD关于直线AC对称，ZA=60°,NC=90°,CD=2.把AABD沿BD折起(如图二)，使二

面角A-BD-C的余弦值等于近.对于图二，完成以下各小题：

3

(I)求A,C两点间的距离；

(II)证明：ACJ_平面BCD；

(III)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.

解：3）取BD的中点E,连接AE,CE,

由AB=AD,CB=CD,得：AEJLBD,CE±BD

・•.NAEC就是二面角A-BD-C的平面角，

••cos/AEC二弯（2分）

在△ACE中，AE=V6，CE=V2

AC:=AH:-CE:-2AH*CH«cosZAHC

=6+2-2乂显又如建二4

o

/.AC=2（4分）

（II）由AC二AD二3D二2&，AC=BC=CD=2

AC*-BC~=AB*!AC*-CD*=AD~,

•••/ACB=NACD=90°（6分）

.'.AC±BC,AC1CD,

又BCnCD=C.*.AC±¥ffiBCD.（S分）

（III）由（I）知BDJ_平面ACEBDu平面ABD

・•・平面ACE_L平面ABD（10分）

平面ACEG平面ABD=AE,

作CF_LAE交AE于F,则CF_L平面ABD,NCAF就是AC与平面ABD所成的角，（12分）

,,sinNCAF=sin/CAE二（14分）

At=f3

A

4.[2012-2013学年江西省南昌市调研考试】(本小题满分12分)

如图，边长为a的正方体ABC。—4gG9中，E为CG的中点。

(1)求直线AE与平面所成角的正弦值;

(2)求点E到平面AQB的距离。

【解析】：以DA、DC、1明所在的直线分别为x轴、y轴.、z轴，建立空间直角坐标系如图,

则D(0,0,0),A(a,0,0).B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,a,—),Ai(a,0,a).3分

2

(1)设直线4f与平面为加方所成的角为a.

因为AC_L平面位所以平面加£的法向量为

AC=(一a,。,0)，又AE=(-。,a--).

2

AC^E=2a22>/2

♦cos<AC,AE>=

lAC\-\XE\~

所•以sina=2^Z

6分

3

(2)设5二(x,)，,l)为平面4阳的法向量，DR=(a,()M),D5=(aM,0)

,/n•DA^=6,n•DB=6：.x=-\,y=\....................................8分

—‘・Cl

«=(-1,1,1)又。E=(O,a,]),11分

即点E.到平面A,DB的距感为J上3a....................................12分

2

5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】如图，在长方体488—4860中，

AD=AA]=\AB=2,点E在棱A8上移动.

⑴证明：Di£1

(2)当七点为AB的中点时，求点E到平面的距离；

71

(3)AE等于何值时，二面角"-EC一0的大小为4?

【解析】

⑴证明：如图，连接印,依题意有：在长方形4从皿中，A0=e=1,

四边形440。n\DVAD

X=>4。！.平面AA8

乂ABL平面AADR=>AB1A}D•nAQ_L"E

REu平面AR8

AD(yAB-A

4分

(2)解:AC=JAB、+BC?=>/5,AE=AB/2=1,

EC=\IBE2+BC2=5/2

1+2—5

cosZAEC=

2x1x62

EB

=>sinZAEC=—

2

S,wr=-xlx>/2x—=-

6分

匕*22

T£c=gxlxg=:AD=A//U1+DA=42RC=8C；+CC；=也

•，，

=>sinZD^AC=

10.M'DC2102

设点E到平面ACD]的距离为“，・・.%-.'

3263

1

・•・点到平面）的距离为3.

EAC8分

(3)解：过。作DF-EC交EC于F,连接A户.由三垂线定理可知，,“口】为二面

角。「EC-笛的平面角.

NDFD.1=-ZD1.DF=-八八1一八二1

...4,2,AD=1=DF=1.................................］吩

sinzDCF=—=-=zPCF=-ZBCF=-

DC26,・・.3..............................12分

tan—==BE=y/3仄

3BC,A£=AB-BE=2-

71

故,4£=2_JJ时，二面角A-EC-Q的平面角为.......................14分

6.[2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】.（本小题满分12分）

在正四棱锥V-ABCD中，P,Q分别为棱VB,VD的中点，点M在边BC

上，且BM:BC=1：3,AB=2/3，VA=6.

(I)求证CQJLAP;

（II）求二面角B-AP-M的余弦值.

设正方形A8C7）的中心为。，N为A3的中点，R为的中点，分别以ON,OR,OV

所在直线为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，.

在及△「OB中，可得。〃=亚，

则1（0。亚）：洌JIJloj,

.'.CQ-AP,艮口。。_1_/尸;…6分

\n^AP=0\a-3b-y[i0c=0

（II）设平面B4P的法向量为3=（4,〃,c）,由〈一得，

[nx-AB=0[b=0

故叫=（Vio,O,l）.同理可得平面APM的法向量为%=（3,1,0）,

设二面角B-AP-M的平面角为夕，则cos。=黑黑=之疝.…12分

|nj|n211

7.[2013安徽省省级示范高中名校高三联考】（本小题满分13分）

如图，三棱柱ABC-ABC的侧棱AAi_L平面ABC,ZkABC为正三角形,

且侧面AA.C.C

是边长为2的正方形,E是A,B的中点,F在棱CG上。

（I）当G/=；CF时，求多面体ABCFAi的体积；

（II）当点F使得AF+BF最小时,求二面角A-AF-B的余弦值。

解析：(I)-CiF=-CF,AC=CQ=2^CF=-,S^mFC=-

LJJ

由已知可得A48C的高为且等于四棱锥8-AACF的高.

「•/AMT=-x—xV3=—V3，即多面体A8CFA的体积为空氐

“一位AS339

(II)将侧面BCG与展开到侧面AACG得到矩形ABB\A，连结AB,交GU于点F，此时

点F使得A/+BF最小.此时FC平行且等于A4的一半，F为C】C的中点.……7分

以AC,A4分别为)，轴，z轴，过点A且与AC垂直的直线为x轴建立空间直角坐标系，则

4(),0,0),8(6,1,0),A(0,0,2)/((),2,1),

显然平面AAiF的法向量为I=(1,(),());

设平面A,FB的法向量为a=(%Fz),

・••襦=(6,1,—2),中二(0,2,—1),・・・七:。,令…得5⑵

设二面角A-A尸一8为",则cos，=¥2=

I〃iI,I%I4

8.【广州市2013届高三年级1月调研测试】(本小题满分14分)

如图4,已知四棱锥P-ABCD,底面A8CD是正方形，P2面A8CD

点M是CO的中点，点N是依的中点,连接AM,AN,MN.

(1)求证：MN〃面PAD；

图4

(2)若MN=5,AD=3,求二面角N・AM-B的余弦值.

(本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象

概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法)

(1)证法1：取Q4的中点E,连接DE,EN,

•:点N是PB的中点,

・•・EN//AB,EN=-AB................1分

2

•・•点M是CO的中点，底面A3CD是正方形，

・•・DM//AB,DM=-AB................2分

2

・•・EN//DM,EN=DM.

・•・四边形EDMN是平行四边形.

:.MNHDE、..................3分D

•・•£>£u平面尸AD,MN0平面PAD,

：・MN〃面PAD...................4分

证法2：连接并延长交4。的延长线于点E,连接庄,

・・•点M是C力的中点，

・•・DM//AB,DM=-AB,...............1分

2

・••点M是跖的中点...........2分

•・•点N是心的中点,

・•・MN//PE.3分

•・・2石€1面24。，的2平面姑。,

・•・MN〃面PAD.4分

证法3：取A8的中点心连接NE,ME,

・・•点M是CO的中点，点N是心的中点,

ME//AD,NE”PA.

•・•ADu面尸4。，MEz平面PAD，

・・・ME7/面PAO.................1分

•・・Q4u面PAO,NEa平面PA。，

:・NE〃面PAD.................2分

VAMu面上CD,

:・NE_AM.................6分

过E作EF_WU,垂足为F,连接NF,

•/XEr\EF=E,AEu面.VEF,EFu面JVEF,

.•・，力/—面、*\..........7分

■:NFu面NEF,

：.AM±NF.................8分

.・.NNFE是二面角N-AM-A的平面角...........9分

在KtANEM中，MN=5,ME=AD=3,得NE=7w2-ME2=4,

................10分

在RtZXMEA中，AE=得AM=yjME2+AE2=—,

22

“_AEgME_3石

匕卜=--------=-----

AM5

22

在NE产中,NF=yjNE+EF=,12分

5

EF_3屈

cos?NFE13分

而一89

8的余弦值为宏画.

・•・二面角N-AM-14分

89

解法2：:'E〃上T，&八面一立CD,

在RtZX'EU中，\F=5,ME=.AD=3,得\五=y/sfXz-MEZ=4,

.................5分

以点H为原点，.必所在直线为X轴，所左直线为J轴，a产所在直线为Z轴,

建立空间直角坐标系A-xyz,6分

则4(0,0,0),3/3,ioSE\a0Lv0,14

,Z17IZI17

，

/.EX=(0,0,4)，AN=|0,^,4.8分

设平面AMN的法向量为〃=(x,y,z),

由nAM=0,〃AN=0,

r3八

3x+—y=0,

得

3

—y+4z=0.

2'

3

令x=l,得y=-2,z=—.

*4

3

・•・〃=1,-2,-是平面AMN的一个法向量.

<4，

XE7V=（0,0,4）是平面AA仍的一个法向量，12分

/右An.EN3牺

'4印砌89

・・・二面角N-AM-8的余弦值为拽3...........14分

89

9.[2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】如图，在梯形ABCD中，AB〃CD,

AD=DC=CB=rl,ZABC=60°,四边形ACFE为矩形，平面ACFE_L平面ABCD,CF=1.

（I）求证：BCJ_平面ACFE；

（II）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为。（0W90°）,

试求cos0的取值范围.

【解析】（I）证明：在梯形ABCD中，

•「AB/CD,AD=DC=CB=LNABC=60°,

AB=2

.•.AC:=.AB-BC2-2AB・BC・cos60J3

AB-=AC--BC-

ABC±AC

「平面ACFE_L平面ABCD,平面ACFEG平面ABCD=AC,BCu平面ABCD

・・・BC_L平面ACFE

（II）由（I）可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直

角坐标系，

令FM=人（0＜入＜遥）,则C（0,0,0）,A