《工程力学 》课件第14章

第14章质点运动力学

14.1自然法求点的速度和加速度

14.2直角坐标法求点的速度和加速度14.3质点运动学基本定律14.4质点运动微分方程

14.5动静法思考题

习题

14.1自然法求点的速度和加速度

14.1.1质点运动方程如图14-1所示，设动点M沿已知轨迹运动，在点的轨迹上，任取一点O为原点，将其两侧分别规定为正、负方向，则动点M在轨迹上的位置可用弧长OM=s来确定，s称为动点M的弧坐标，为代数量。当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标s是时间t的单值连续函数，即（14-1）

上式称为动点沿已知轨迹的运动方程。当函数已知时，任一瞬时点在轨迹上的位置即可确定。

图14-1

例14-1

点M沿已知曲线轨迹运动，如图14-2所示。其运动方程为s=t2-2t-1(s的单位为cm，t的单位为s)。试求当t=0、1、2、3s时，点的弧坐标s以及0～3s内动点所走过的路程。

解在轨迹上选O点作为弧坐标的原点，并定出弧坐标的正负方向如图14-2所示，将t=0、1、2、3s分别代入运动方程，便可确定动点在各瞬时的位置。图14-2即各瞬时动点的位置分别为M0、M1、M2、M3，由弧坐标的变化可看出,M0～M1动点沿负方向运动，M1～M3动点沿正方向运动。所以，计算点在0～3s内的路程时应分两段计算，即14.1.2点的速度速度是描述点的运动快慢和方向的物理量，是矢量。设动点M沿已知曲线轨迹运动，如图14-3所示。某瞬时t，动点在M处，弧坐标为s；经过时间间隔Δt后，动点运动至M′处，弧坐标为s+Δs。作矢量MM′，称为动点在时间间隔Δt的位移，则动点在时间间隔Δt内的平均速度即为图14-3平均速度v*为矢量，其大小表示动点运动的平均快慢，其方向与位移MM′的方向一致。当时间间隔Δt→0时，M′趋近于M，平均速度v*趋于一极限矢量，这个极限矢量就是动点在瞬时t的速度，它表明动点在瞬时t运动的快慢和方向，即当Δt→0时，M′趋近于M，此时MM′的极限方向与点M的切线方向重合，表明动点在瞬时t的速度方向沿轨迹上点M的切线方向，

并指向运动的一方。

同时，当Δt→0时，|MM′|≈Δs，故速度的大小为

式中的曲线弧长与弧坐标增量之比的极限

于是速度的大小为

，（14-2）

由此得出结论，动点速度的大小等于弧坐标对时间的一阶导数。当时，点沿轨迹正方向运动；当时，点沿轨迹负方向运动。速度的单位为m/s、km/h等。

14.1.3点的加速度点作变速曲线运动时，不仅速度大小在改变，而且速度方向也在改变。加速度就是用来描述速度大小和方向随时间变化快慢的物理量，是矢量。为便于研究速度矢量的改变，在过轨迹曲线和动点重合的点上建立一坐标系，即自然轴系。如图14-4所示，动点M沿已知轨迹运动。以动点M为坐标原点，以轨迹上M点的切线和法线为坐标轴，并规定切线坐标轴（切向轴）τ以指向弧坐标正的方向为正向，法线坐标轴（法向轴）n以指向轨迹曲率中心为正向。此正交坐标系称为自然坐标系，简称自然轴系。可见,自然轴系随动点M沿已知轨迹运动。图14-4图

图14-5图

下面来研究动点的加速度。设一动点M沿已知平面曲线运动，设在相邻的两个瞬时t与t+Δt，动点的位置分别为M和M′，速度分别为v和v′，如图14-5所示，则速度矢量的改变量为Δv=v′-v,在时间间隔Δt内的平均加速度a*即为当时间间隔Δt→0时，平均加速度a*的极限矢量就是动点在瞬时t的加速度a，即速度矢量的改变，包括速度大小和方向两方面的变化。为了更清楚地看到这两方面的变化，可将Δv分解为两个分量Δvτ和Δvn，Δvτ是由于速度的大小改变所引起的变化量，Δvn是由于速度的方向转过Δφ角所引起的改变量，因此这样，动点的加速度a即表示为

（14-3）

上式表明，加速度可分解为切向加速度aτ和法向加速度an，前者反映速度大小的变化，后者反映速度方向的变化。1.切向加速度aτ

切向加速度分量为aτ的大小为

（14-4）

aτ的方向:当Δt→0时，Δφ→0，Δvτ的极限方向与动点的轨迹曲线在M点的切线方向重合，即aτ的方向沿轨迹的切线方向，故称为切向加速度。当时，沿轨迹切向指向自然轴的正向；时，则指向自然轴的负向。图14-62.法向加速度an

法向加速度分量为an的大小为

（14-5）

an的方向:由图14-5可见，在△MAC中，∠MAC=(π-Δφ)/2，当Δt→0时，Δφ→0，∠MAC=π/2，所以Δvn的极限方向与速度矢量v垂直，即沿轨迹的法线方向，且指向曲线内凹的一侧。故法向加速度恒为正值，其方向沿轨迹的法线方向，指向曲率中心。综上所述，动点作平面曲线运动时，加速度由切向加速度和法向加速度两个分量组成。由于这两个加速度分量在每一瞬时总是相互垂直的，所以动点的全加速度a的大小为

（14-6）

14.1.4点运动的特殊情况

1.匀变速曲线运动点作匀变速曲线运动时，aτ为常数，。若已知运动的初始条件，即当t=0时，v=v0，s=s0，由dv=aτdt和ds=vdt，积分得（14-8）

（14-9）

联立式（12-8）和式（12-9），消去时间t，

可得

（14-10）

2.匀速曲线运动

点作匀速曲线运动时，其速度大小不变，故aτ=0，可知点的加速度为。将aτ=0代入式（14-9），则有

（14-11）

3.匀变速直线运动

点作匀变速直线运动时，其轨迹曲线上各处的曲率半径ρ=∞，因此有，从而得点的加速度为。若已知运动的初始条件，即当t=0时，v=v0，s=s0，由dv=adt

和ds=vdt，积分得（14-12）

（14-13）

（14-14）

4.匀速直线运动

因是直线运动，故an=0；又因是匀速运动，v=常量，故aτ=0。因此全加速度a=0,s=vt。

例14-2

杆AB的A端铰接固定，环M将杆与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为φ=ωt，如图14-7所示。求套环M的运动方程、速度和加速度。

解以套环M为研究对象，已知其运动轨迹是半径为R的圆周。以圆环上点O′为弧坐标原点，顺时针为弧坐标正向，建立弧坐标轴。图14-7(1)建立点M的运动方程。由图中几何关系，

建立运动方程为

(2)求点M的速度。

(3)求点M的加速度。

由式（14-4）得点M的切向加速度为

由式（14-5）得点M的法向加速度为

由式（14-6）得点M的全加速度为

其方向沿MO且指向O，可知套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。

14.2直角坐标法求点的速度和加速度

14.2.1点的运动方程设一动点M相对于直角坐标系Oxy作平面曲线运动，如图14-8所示，某瞬时它的位置可用直角坐标系的两个坐标x、y确定。点运动时，两个坐标x、y都是时间t的单值连续函数，即（14-15）

图14-8上式称为点的直角坐标形式的运动方程。因动点的轨迹与时间无关，故可由两个运动方程消去时间t，

得到轨迹方程

（14-16）

若将运动方程中的时间t看成是参变量，则式（14-16）实际上也是动点轨迹方程的参数方程。

14.2.2点的速度若已知动点M的直角坐标运动方程，则动点M的速度可由它在直角坐标轴上的投影求得。设在瞬时t，点在M处，其坐标为x,y，经过Δt后，点在M′处，其坐标为x′,y′，如图14-9所示，在时间间隔Δt内动点的位移为MM′，沿两个坐标轴的分量为Δx和Δy，并且于是，在时间间隔Δt内的平均速度v*即为

图14-9当时间间隔Δt→0时，动点M在瞬时t的速度v为

即将速度沿直角坐标轴分解为vx和vy两个分量，速度vx、vy的大小分别等于速度v在两轴上的投影，即（14-17）

此式表明，动点的速度在直角坐标轴上的投影等于该点对应的坐标对时间的一阶导数。由此可求出速度v的大小和方向为

（14-18）

式中的α是速度v与坐标轴x所夹的锐角。14.2.3点的加速度同直角坐标法求速度的方法一样，

动点的加速度在直角坐标轴上的投影为

（14-19）

即动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应的速度投影对时间的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导数。有了加速度的两个投影，即可求得加速度a的大小和方向为（14-20）

式中β为加速度a与坐标轴x所夹的锐角。例14-3

用直角坐标法求例14-2中环杆套接装置的小环M的运动方程、速度、加速度。

解

(1)求运动方程。

选直角坐标系Oxy，小环M的运动方程为

(2)求点的速度。

由式（14-17）得速度在x、y轴上的投影

由此得点M的速度大小和方向为

（3）求点的加速度。

由式（14-19）得加速度在x、y轴上的投影

由此得点M的加速度大小和方向为

例14-4

一直杆CD两端分别沿x轴和y轴运动，见图14－10。已知角φ=ωt（ω=常数），MC=a，MD=b，试求杆上点的运动方程、轨迹方程和加速度。解

(1)由几何关系可得点M的运动方程：

将上两式消去时间t，

即得点M的轨迹方程

可见点M的轨迹为椭圆。

图14-10(2)求加速度。先求速度在x、y轴上的投影

则加速度在坐标轴上的投影为

故加速度的大小为

其方向为

,指向第三象限。

14.3质点运动学基本定律

14.3.1牛顿第一定律（惯性定律）牛顿第一定律：质点如不受力或受平衡力作用，将保持静止或匀速直线运动状态。此定律定性地表明力与运动之间的关系，即力是改变质点运动状态的根本原因。质点若不受力或受平衡力，将保持原有的静止或匀速直线运动状态，质点的这种保持其原有运动状态不变的属性，称为惯性。在生产和生活中经常遇到物体惯性的表现。14.3.2牛顿第二定律（力与加速度关系定律）牛顿第二定律：质点受力作用将产生加速度，其方向与力的方向相同，大小与力的大小成正比，与质点的质量成反比。即或

（14-21）

式中F表示作用在质点上的力，如果有几个力共同作用于质点上，则F是这几个力的合力；m表示质点的质量；a表示质点的加速度。该表达式又称质点动力学基本方程，它表明质点的作用力、质量和加速度三者之间的关系是瞬时关系，当有力作用时，对应此力有相应的加速度；当力改变时，加速度随之改变；当力不变时，加速度也不变；当力为零时，加速度也为零。

在地球表面，任何物体都受到重力的作用。在重力G作用下得到的加速度称为重力加速度，用g表示，其方向向下与重力的方向相同，由牛顿第二定律有

或

（14-22）

按国际计量委员会规定的标准，重力加速度的大小为9.80665m/s2，一般取9.8m/s2。实际上在不同地区，g的数值略有变化。在国际单位制(SI)中，质量、长度和时间是基本单位，分别是千克（kg），米（m），秒（s）；力的单位是牛或牛顿（N），是导出单位，由F=ma导出。其关系为14.3.3牛顿第三定律（作用和反作用定律）牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反，并沿同一作用线分别作用在两个物体上。第三定律在静力学中曾经指出，是静力学的公理之一，它不仅适用于平衡物体，而且也适用于任何运动物体。应当注意，以上所述牛顿三定律仅适用于惯性参考系。在一般工程问题中，常取与地球固连的参考系或相对于地球作匀速直线运动的参考系作为惯性参考系。

14.4质点运动微分方程

14.4.1质点运动微分方程的表达形式设质点M的质量为m，它受到几个力F1，F2，…，Fn的作用，其合力FR=∑Fi，如图14-11所示。由式（14-21）得（14-23）

这就是矢量形式的质点运动微分方程。解决工程实际问题时，常用投影形式的运动微分方程。质点的运动微分方程投影式有以下两种。

1．直角坐标形式的运动微分方程

如图14-11所示，建立直角坐标系Oxyz，将式（14-23）向直角坐标轴上投影，即得直角坐标形式的质点运动微分方程

（14-24）

图14-11图14-12

2．自然坐标形式的质点运动微分方程当已知质点运动轨迹时，建立自然轴系Mτn，如图14-12所示，将式（14-23）投影到自然轴系各轴上，即得自然坐标形式的质点运动微分方程

（14-25）

14.4.2质点运动分析的两类问题应用质点动力学基本方程可求解质点动力学的两类问题：

(1)已知质点的运动，求作用力。这是质点动力学的第一类问题。

(2)已知作用力，求质点的运动。这是质点动力学的第二类问题。现举例说明两类基本问题的求解方法与步骤。

图14-13第一类问题：已知运动求力例14-5升降台以匀加速a上升，台面上放置一重量为G的物体，如图14-13(a)所示，求重物对台面的压力。

解取重物为研究对象，把它视为质点，对其进行受力分析，其上作用有G和FN，如图14-13(b)所示。选坐标轴x，列质点运动微分方程故

由此可见，压力由两部分组成：一部分是重物的重量，是当升降台处于静止或匀速直线运动时台面所受的压力，称为静压力；另一部分等于Ga/g，它只在重物作加速运动时才发生，称为附加压力。以上两项合称动压力。当动压力大于静压力时，这种现象称为超重。不难看出，当加速度向下时，动压力为这时动压力小于静压力，这种现象称为失重。超重和失重都是宇宙航行中所需要解决的问题。

例14-6

桥式起重机上的吊车吊着重量为G的物体A，沿桥架以速度v0=4m/s作匀速运动，如图14-14所示。因故急刹车后，重物由于惯性绕悬挂点O向前摆动。已知绳长l=3m，不计绳的自重，求刹车后绳子的最大拉力。

解取重物A为研究对象，其上作用有重力G和绳子的拉力FT，如图14-14所示。吊车急刹车后，重物绕点O摆动，其质心轨迹为一段以O为圆心、l为半径的圆弧。选取自然轴系Aτn，由式（14-25）得(a)(b)

由式(b)即得绳子的拉力为

由式(a)知，重物作减速运动，即摆角φ愈大，重物的速度愈小。因此当φ=0，v=v0时，也就是在刚刹车，重物在铅垂位置时，绳子的拉力最大，其值为由上式可见，起重机刚开始刹车的瞬时，钢丝绳的拉力约是重物静平衡时绳的拉力的一倍半。因此起重机在运行时，应尽量平稳，且运行速度不能太高，尽量避免急刹车，以确保安全。

图14-14

第二类问题：

已知力求运动

例14-7

试求使人造地球卫星绕地球作圆周运动的第一宇宙速度。已知地球半径R=6370km。

解取人造地球卫星为研究对象，其上只作用有重力G，如图14-15所示。由于轨迹已知，选取自然轴系Mτn，列法线方向质点运动方程这就是第一宇宙速度。

图14-15图14-16

例14-8

液压减振器（如图14-16）工作时，活塞在液压缸内作直线运动。若液体对活塞的阻力FR正比于活塞的速度v，即FR=μv，其中μ为比例系数,设初始速度为v0，试求活塞相对于液压缸的运动规律，并确定液压缸的长度值。

解取活塞为研究对象，选水平轴Ox，并取活塞初始位置为原点。活塞在任意位置受到的液体阻力为，负号表示阻力方向与速度方向相反。建立质点运动微分方程令，对等式两边进行积分，且当t=0时，v=v0:因为

再次积分，当t=0时，x=0:可见，经过一定时间后，e-kt趋近于零，活塞的速度也趋近于零。此时x趋于最大值由以上例题可见，对动力学两类基本问题的求解，无论是哪一类，都必须先对质点进行受力分析，分析运动，画受力图，选择适当的坐标系，然后建立相应形式的质点运动微分方程以求解未知量。第二类问题明显要比第一类问题复杂些，因为求质点的运动（速度、运动方程等），从数学角度来看，属于解微分方程的问题。在积分时，要根据题意，合理地运用初始条件确定积分常数，

以使问题得到确切答案。

14.5动

静

法

14.5.1惯性力的概念当物体受到其它物体的作用而引起运动状态发生改变时，由于物体具有保持其原有运动状态不变的惯性，因此对施力物体有反作用力，这种反作用力称为惯性力。例如，在水平直线轨道上，人用水平推力F推动质量为m的小车，使小车获得加速度a，如图14-17所示，由动力学第二定律知，F=ma。同时小车给人手一反作用力FQ，即为小车的惯性力。由作用力和反作用力定律，有图14-17又如质量为m的小球，用绳子系住并在水平面内作匀速圆周运动，如图14-18所示。小球在绳的拉力FT的作用下，产生向心加速度an，同时由于惯性小球给绳以反作用力FTQ，即为小球的惯性力。FT称为向心力，FTQ称为离心力，有综上所述，当质点受到力的作用而产生加速度时，由于惯性，质点必然给施力物体以反作用力，该反作用力即为质点的惯性力。质点惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，它不作用于运动质点本身，而是作用在使质点运动状态发生改变的施力物体上。通常用FQ表示惯性力，则

（14-26）

图14-1814.5.2动静法设有一质量为m的质点，在主动力F和约束力FN的作用下，沿轨迹AB运动，其加速度为a，如图14-19所示。根据牛顿第二定律，有将上式等号右端项移到左端，

则有

式中-ma即为质点的惯性力，用FQ表示，于是

（14-27）

图14-19

例14-9

小物块A放在车的斜面上，斜面倾角为30°，如图14-20(a)所示。物块A与斜面的摩擦系数f=0.2。若车向左加速运动，试问物块不致沿斜面下滑的加速度a。图14-20

解以小物块A为研究对象，视其为质点。物块A的受力图如图14-20(b)所示，其上作用有重力G、法向反力FN和摩擦力Ff。物块随车以加速度a运动时，其惯性力大小为。将此惯性力以与a相反的方向加到物块上。取直角坐标系，建立平衡方程即

（1）

即

由式（1）、

（2）联立解得

故欲使物块不沿斜面下滑，

必须满足a≥3.32m/s2。

例14-10如图14-21(a)所示，一架飞机以匀加速度a沿着与水平线成仰角β的方向作直线起飞，此时飞机内挂有一质量为m的小球，其悬线与铅垂线成偏角α。试求此瞬时飞机的加速度a与悬线张力FT。图14-21

解取小球为研究对象。小球具有与飞机相同的加速度a，其惯性力大小为FQ=ma，方向与加速度a的方向相反。这时惯性力FQ、重力mg和绳子的拉力FT在形式上构成平衡力系，如图14-21(b)所示。取直角坐标系Oxy，列平衡方程联立解上述方程组，得飞机的加速度a与悬线张力FT的大小为思

考

题

14-1点作曲线运动时，动点的弧坐标、位移和路程三者之间有何不同？

14-2判断下述结论是否正确：

(1)v=0，则a必等于零；

(2)a=0，则v必等于零；

(3)若v与a平行，则点的轨迹必为直线。

14-3点作曲线运动时，试就下列三种情况画出加速度的方向（思考题14-3图）。(1)点M1作匀速运动;(2)点M2作加速运动;(3)点M3作减速运动。

思考题14-3图

14-4判别点在下列情况下，作何种运动。

(1)aτ=0，an=0；(2)aτ=0，an≠0；(3)aτ≠0，an=0；(4)aτ≠0，an≠0。

14-5思考题14-5图中动点沿曲线轨迹运动，试指出哪些是加速运动，哪些是减速运动，哪些是不可能出现的运动。思考题14-5图

14-6点M沿螺旋线自外向内运动，运动规律为s=kt(k为常量)，如思考题14-6图所示。问点M的加速度是越来越大还是越来越小？点运动的速度是越来越快还是越来越慢？思考题14-6图

14-7在铁路拐弯处，两直线需用一光滑曲线连接起来，试解释为什么不能用一圆弧段直接连接。

14-8已知月球表面重力加速度值约为地球表面重力加速度的1/6。试问，体重600N的人在月球上的体重将为多少？他在月球上的质量又为多少？

14-9质点的运动方向是否一定与质点所受合力的方向相同？某瞬时，质点产生的加速度大，是否说明该瞬时质点所受的作用力也大？

14-10物块重力G=400N，静摩擦系数fs=0.15，作用于物体上的水平力F=50N，如思考题14-10图所示。求物块惯性力的大小和方向。思考题14-10图

习

题

14-1动点按的规律沿直线运动，式中x以m计，t以s计。试求：（1）最初3s内的位移；（2）改变运动方向的时刻和所在位置；（3）最初3s内经过的路程；（4）t=3s时的速度和加速度；（5）点在哪段时间内作加速运动，在哪段时间内作减速运动。

14-2如题14-2图所示，半径为R=50cm的飞轮绕轴O逆时针转动，其半径OM与水平线之间的夹角（t以s计，以rad计）。试求点M的运动方程和速度。

14-3如题14-3图，曲柄OA以绕O轴转动，OA与MB在A处铰接。OA=AB=30cm，AM=10cm，初始时OA处于水平位置。求连杆上点M的运动方程和轨迹方程。题14-2图

题14-3图

题14-4图

14-4水平杆AB在半径等于r的固定圆环平面中，以匀速v沿垂向保持平行移动，设初瞬时小圈M在大圆环的最高点M0，此后向圆环右方运动。如题14-4图所示。试求套杆和圆环上的小圈M的运动方程。

14-5列车以54km/h的初速度，沿半径R=1km的弯道匀变速行驶，已知在30s内的行程为600m。试求列车在30s末的速度和加速度。

14-6题14-6图所示半圆形凸轮以匀速水平向左运动，使活塞杆AB沿铅垂方向运动。已知开始时，活塞杆A端在凸轮的最高点。凸轮半径R=8cm。求杆端A点的运动方程和t=4s时的速度和加速度。

题14-6图

14-7在题14-7图所示曲柄滑块机构中，曲柄OA=r，其初始位