《目标跟踪系统中的滤波方法》课件第9章

第9章非线性滤波算法在目标跟踪中的应用

9.1基于高斯粒子滤波的机载GMTI雷达跟踪9.2基于边缘粒子滤波的目标跟踪算法9.3基于求积分卡尔曼滤波的交互式多模型算法9.4小结9.1基于高斯粒子滤波的机载GMTI雷达跟踪

9.1.1概述

在现代战争中，海陆空三军联合的立体化作战网络能够最大程度地发挥战斗实体的威力。利用直升机或者无人驾驶战斗机对地面目标进行识别、定位和跟踪在联合作战过程中起着重要作用，它能够迅速准确地识别目标，对敌方目标进行定位或者跟踪，从而实现精确打击。本节讨论机载地面移动目标指示(GroundMovingTargetIndicator，GMTI)雷达跟踪过程中的非线性滤波问题。针对机载GMTI雷达非线性滤波问题，常规的解决方法是采用扩展卡尔曼滤波(EKF)或者不敏卡尔曼滤波(UnscentedKalmanFilter，UKF)。这两种算法的运算速度虽然相对较快，但是现代战争需要更精确的滤波结果。为了进一步提高滤波的精确程度，文献[1]将粒子滤波算法(ParticleFilter，PF)[2-4]应用到机载GMTI目标跟踪过程中。该文献实验结果表明，为了使常规粒子滤波算法的误差性能高于EKF和UKF，需要参与滤波的粒子数要超过10000个，时间复杂度很高。文献[5]提出了不敏粒子滤波算法(UnscentedParticleFilter，UPF)，其滤波误差比常规粒子滤波算法低，但是时间复杂度仍然很高。针对机动目标的机载GMTI雷达跟踪问题，文献[6]提出了一种变结构模型的粒子滤波器，文献[7]提出了交互式多模型方法(InteractiveMultipleModel，IMM)，其中交互式多模型方法在机载GMTI雷达跟踪过程中的运算误差较低，但是时间复杂度相对较高。此外还有学者对机载GMTI雷达的数据融合问题展开了研究[8,9]。文献[10]针对状态变量在处理过程中服从高斯分布的情况，提出了高斯粒子滤波(GaussianParticleFilter，GPF)算法。文献[11]将高斯粒子滤波算法应用到机动目标跟踪过程中。文献[12]采用信息距离度量方法分析了应用于高斯分布的EKF、UKF和高斯粒子滤波算法，结果表明：高斯粒子滤波算法比EKF、UKF具有更高的滤波精度；与常规粒子滤波算法相比，在使用同样的粒子数参与滤波的情况下，能取得更好的滤波效果。鉴于高斯粒子滤波具有上述优点，本节假定目标状态向量服从高斯分布，将高斯粒子滤波算法应用到机载GMTI雷达跟踪中，取得了较好的效果。计算机仿真结果表明GPF的性能优于常规PF。9.1.2机载GMTI雷达

机载GMTI雷达通过安装在飞机上的雷达装置对地面移动目标进行跟踪。其测量分量包括方位角α、径向距离r和径向距离的导数r三个分量。假定目标在地面匀速运动，而机载GMTI雷达传感器在离地面H公里处匀速运动。若x

k=[ξxk

ξyk

ξxkξyk]T表示目标在k时刻的状态向量，则目标运动的离散动态方程为

xk+1=Φkxk+wk

(9-1)

其中：Φk表示目标的状态转移矩阵；wk表示方差为Qk的零均值高斯噪声。若Tk=tk－tk－1表示时间采样间隔，则···其中q1、q2表示x或y方向的功率谱密度。

GMTI雷达测量向量为y=[r

α

r]T，其测量方程为

zk=h(xk，sk)+vk

(9-2)·其中：sk=[skx

sky

skz]T表示k时刻传感器所处位置；vk=[vkr

vkα

vkr]T表示k时刻的量测噪声。假设传感器位置sk不存在误差，且vk是零均值独立高斯噪声，其协方差矩阵为·各个量测分量方程为(为了书写方便，省略下标k)(9-3)(9-4)(9-5)9.1.3算法描述及步骤

机载GMTI雷达跟踪系统目标运动模型如式(9-1)所示，测量方程如式(9-2)所示。滤波问题就是给定状态向量的初始分布p(x0)，根据不同时刻的量测向量，计算相应时刻的状态估计值。

滤波过程分为预测阶段和更新阶段。假定状态向量在k－1时刻的后验分布为p(xk－1|yk－1)，则一步预测概率密度函数为(9-6)由于状态向量服从高斯分布p(xk－1|y0:k－1)~N(xk－1;μk－1,Σk－1),上式可近似为(9-7)式(9-7)可以通过MonteCarlo近似方法计算。首先针对k－1时刻状态向量的后验密度函数抽样，即(9-8)然后计算一步预测的概率密度函数为(9-9)由于状态转移概率密度函数p(xk|xik－1)可以通过式(9-1)获得，从而计算出每一个粒子的状态转移值xik。此时，概率密度函数p(xk|y0:k－1)的均值和方差计算如下(9-10)因为状态向量分布服从高斯分布，即p(xk|y0:k－1)≈N(xk;μk，Σk),所以利用k时刻的观测向量更新后的状态向量概率分布为－－(9-11)式(9-11)中的积分往往难于直接计算，通过带有权值的M个粒子近似该后验分布，即(9-12)如果粒子从提议分布π(xk|y1:k)中获得，则权值wik为(9-13)然后对权值归一化，即(9-14)最终的状态向量的估计值及其协方差计算如下(9-15)重要性提议分布π(·)的选择和常规粒子滤波算法类似，其中最简单的重要性提议分布为(9-16)也可以采用EKF或者UKF算法获得k时刻的状态更新值μk|k及其协方差Σk|k,从而获得更为准确的重要性提议分布p(xk|y0:k－1)=N(xk;μk|k，Σk|k)。综上所述，基于高斯粒子滤波算法的GMTI雷达跟踪步骤如下:

输入：状态向量均值μk－1和方差Σk－1，量测值yk;

输出：k时刻的状态向量均值μk和方差Σk;

Step1：利用式(9-8)采样，获得粒子集{xik－1}Ni=1；

Step2：计算每个粒子的一步预测，得到粒子集{xik}Ni=1;

Step3：利用式(9-10)计算一步预测的均值μk及其协方差Σk；－－－－－－

Step4：把式(9-16)作为重要性函数进行采样，获得粒子集{xik}Ni=1；

Step5：利用式(9-13)计算每个粒子相应的权值，利用式(9-14)对权值进行归一化，得到粒子集相对应的权值集{wi}Ni=1；

Step6：利用式(9-15)计算k时刻的均值μk和协方差Σk。9.1.4仿真实验及结果分析

目标运动方程和GMTI测量方程为式(9-1)和式(9-2)，图9.1为机载雷达地面指示跟踪示意图。实验中其它参数设置为：T=1秒；x(t0)=[100

200

9.62

5.56]T；q1=q2=0.1；GMTI雷达关于径向距离r、方位角α、径向距离导数r的测量误差标准差分别为σr=20米、σα=0.001弧度、σr=1米/秒。另外，初始状态和初始协方差的求解方法参见文献[1]。

固定500个粒子参与滤波，MonteCarlo仿真50次，仿真总步数为500步。状态估计的均方根误差计算公式为··(9-17)图9.1机载雷达地面指示跟踪示意图其中，xj表示第j次MonteCarlo循环中状态向量估计值，xj表示状态向量的真实值。均方根误差如图9.2(a)和(b)所示。在滤波的初始阶段，如图中1～100步，与PF相比，GPF的均方根误差性能改善很多，但是在150步以后，两种滤波算法的误差性能基本相当。图9.3给出了目标运动轨迹和滤波轨迹。图9.4给出了用几种算法滤波所需要的时间。可以看出，虽然GPF算法的时间复杂度比EKF、UKF算法高很多，但是与粒子滤波算法相比，其时间复杂度低将近30%。^图9.2均方根误差图9.3目标真实轨迹和滤波轨迹图9.4耗费时间对比为了说明GPF算法在滤波过程中误差收敛速度快的特点，采用EKF、UKF以及使用不同粒子数的PF和GPF算法，进行100步滤波，采用MonteCarlo方法仿真50次。各种滤波算法的均方根误差以及误差标准差结果如表9.1所示。从中可以看出，当粒子数目不断增大时，PF和GPF两种滤波算法的均方根误差和标准差不断减小；PF算法在使用大约超过

10000个粒子的情况下，误差性能优于EKF和UKF；GPF算法在使用超过5000个粒子的情况下，误差性能优于EKF和UKF。并且，在使用同样粒子数的条件下，GPF的均方根误差及其标准差比PF的均方根误差及其标准差小。表9.1数据表明，在处理高斯分布的机载GMTI雷达目标跟踪过程中，GPF是一种比PF更有效的非线性滤波算法。9.2基于边缘粒子滤波的目标跟踪算法

9.2.1概述

粒子滤波(ParticleFilter，PF)算法[2-4]思想是采用随机采样的方法获取粒子，然后用大量粒子来近似状态变量的后验分布。该算法在强非线性系统中能够取得较好的滤波结果。该算法最大的问题是时间复杂度高。粒子滤波算法在目标跟踪中的应用，已经有很多成果供借鉴[13-16]。为了进一步提高粒子滤波算法在目标跟踪过程中的精度，许多学者采用改进的或者新型的粒子滤波算法

[17-18]。在这些研究工作中，通常以增加较大的时间复杂度来提高或者保证粒子滤波结果的精确程度。本节的目标同样是为了提高目标跟踪过程中粒子滤波算法的滤波性能。在目标跟踪过程中，状态向量往往包括位置、速度、加速度，而传感器量测值往往只和其中的一部分量有关系。将状态向量中和量测值有关的部分作为非线性子向量，而与量测值无关的部分作为线性子向量，然后采用边缘粒子滤波算法进行滤波。该方法的特点是在计算量增加不大的条件下大幅度提高滤波结果的精度。仿真结果表明，在使用同样粒子数的条件下，边缘粒子滤波算法的误差性能比标准粒子滤波算法的性能好，边缘粒子滤波

算法的时间复杂度比标准粒子滤波算法的时间复杂度仅高6%左右；在粒子数较小的情况下，标准粒子滤波算法结果可能已经发散，而边缘粒子滤波算法结果仍能够保持较好的滤波精度。9.2.2问题描述

在目标运动过程中，根据不同的目标运动特点建立相应的运动模型[19-20]。其中一类简单的模型是匀加速(ConstantAcceleration，CA)模型。假定目标在二维空间中运动，目标状态向量为

则目标匀加速运动模型的离散时间方程为(9-18)其中，T为采样时间间隔，wk为均值为0、方差为Q的过程噪声，该噪声是直接作用在加速度分量的噪声。假设在目标跟踪过程中，传感器的量测值为目标的径向距离r和偏转角θ。其量测方程为(9-19)由于在量测方程中，只用到了状态向量的两个位置分量，而剩余的4个分量，包括速度分量和加速度分量都与量测值无关。因此，可以将状态变量xk看做线性子向量和非线性子向量两个部分，即xk=[xlk

xnk]T，则式(9-18)可以转换为(9-20)

此时，式(9-21)采用卡尔曼滤波算法，式(9-20)采用粒子滤波算法。在线性高斯系统条件下，卡尔曼滤波是最优的。在用粒子刻画状态向量的分布时，低维空间需要的粒子数少，而高维空间需要的粒子数多。因此，在相同粒子数条件下，边缘粒子滤波算法的误差性能比标准粒子滤波算法高。(9-21)9.2.3算法描述及步骤

边缘粒子滤波算法[21-22]的思想是：将状态向量划分为线性子向量和非线性子向量两个部分，线性子向量采用卡尔曼滤波，而非线性子向量采用标准的粒子滤波。在粒子数相同的条件下，边缘粒子滤波算法可以大幅度提高滤波精度。这是因为在边缘粒子滤波算法中，卡尔曼滤波算法可以获得线性高斯条件下的最优状态估计，而此时粒子滤波算法所处理的非线性状态子向量维数有所降低，从而能够较大幅度地提高滤波性能。

假定状态向量xk=[xnk

xlk]T，其中，xlk表示线性状态子向量，xnk表示非线性状态子向量。此时，系统过程噪声可以做如下划分系统的动态方程和量测方程分别为(9-23)(9-22)(9-24)其中，wk和ek分别为过程噪声和量测噪声。由于xnk和xlk相互独立，根据贝叶斯定理得(9-25)其中，

。假定p(xlk|Xnk，Yk)是线性高斯系统，因此采用卡尔曼滤波可以获得最小方差意义下的最优估计，而p(Xnk|Yk)是非线性系统，采用粒子滤波可进行状态估计。

对于线性状态子向量，更新概率密度分布为

。其中(9-26)线性状态子向量的一步预测概率密度为p(xlk+1|Xnk+1，Yk)=N(xlk+1|k，Pk+1|k)。其中^(9-27)(9-28)式(9-27)和式(9-28)所涉及的一些参数定义如下详细证明过程参见文献[21]。非线性状态子向量的处理采用粒子滤波方法，状态更新概率密度函数和一步预测概率密度函数分别为9.2.4仿真实验及结果分析

仿真实验采用二维空间中的目标跟踪场景。假设目标做匀加速运动，动态方程和量测方程分别如式(9-18)和式(9-19)所示。实验过程中的参数设置为：T=1s；过程噪声方差为Q=diag([1

1

1

1

0.01

0.01])；量测噪声方差为R=diag([100

1e－6])；状态向量初值为x0=[0

0

0

0

0

0]T；状态向量初始协方差为P0=diag([100

100

10

10

1

1])；对目标连续跟踪50秒；MonteCarlo仿真次数为M=50。

实验一边缘粒子滤波算法与标准粒子滤波算法性能比较

为了比较标准粒子滤波算法与边缘粒子滤波算法在目标跟踪过程中不同时刻的性能，两种算法均使用相同粒子数进行滤波。实验中粒子数设定为N=2000。计算滤波结果的均方根误差。均方根误差计算公式为(9-31)仿真结果如图9.5所示。图9.5(a)表明，从时刻8开始，边缘粒子滤波的位置误差低于标准粒子滤波的位置误差；图9.5(b)表明，从时刻15开始，边缘粒子滤波的速度误差低于标准粒子滤波的速度误差；加速度分量的误差情形与图9.5(a)和(b)类似，限于篇幅，结果没有列出。这说明边缘粒子滤波在滤波的前期阶段，表现出的误差性能不如标准粒子滤波，但是在滤波的后期，边缘粒子滤波算法表现出优越的误差性能，各个分量的误差都低于标准粒子滤波算法。出现这种现象的原因是因为在仿真过程中，标准粒子滤波算法的噪声各分量相互独立，而边缘粒子滤波算法使用的线性子向量和非线性子向量不是相互独立的。这一现象也表明边缘粒子滤波算法在噪声相关情况下具有较强的鲁棒性。图9.5不同时刻的均方根误差为了考察边缘粒子滤波和标准粒子滤波的时间复杂度，对上述滤波过程两种算法的运行时间进行统计。统计结果表明，边缘粒子滤波和标准粒子滤波在实验过程中滤波一次需要的时间分别是8.13秒和7.67秒，即边缘粒子滤波算法的时间复杂度要比标准粒子滤波算法的高一些。

实验二在粒子数不同的情况下两种粒子滤波算法误差性能分析

为了考察边缘粒子滤波算法在粒子数不同的情况下的误差性能，计算分别采用不同的粒子数情况下的滤波误差，其中粒子数依次选取为PN={600，700，…，2000}。此时的均方根误差计算为(9-32)仿真结果如图9.6所示。图9.6(a)和(b)表明，随着粒子数的增加，边缘粒子滤波各个分量的均方根误差尽管呈缓慢减小趋势，但是减小的幅度很小，也就是说，均方根误差表现较为平稳，并且没有出现滤波结果发散的现象。随着粒子数的增加，标准粒子滤波各个分量的均方根误差大体上呈减小趋势，然而其中有滤波发散的现象，如当粒子数为600、700、900、1200时，甚至当粒子数达到1600时，在MonteCarlo仿真过程中都出现了发散的现象，因此，在这些时刻对应的均方根误差为无穷大，在图9.6中无法显示这些均方根误差值为无穷大时的误差轨迹。需要指出的是，加速度分量误差情况和图9.6(a)、(b)类似，限于篇幅，相应结果没有列出。实际上，随着MonteCarlo仿真次数的增加，只要粒子数不是足够多(例如粒子数要大于10000个)，在使用标准粒子滤波时，就有可能出现滤波结果发散的现象。相对而言，边缘粒子滤波比较稳定，在粒子数较少的情况下滤波结果不会发散，而且滤波误差较为稳定。如图9.6所示，在整个粒子数从600增加到2000的过程中，边缘粒子滤波算法没有出现滤波结果发散的情形。实际上，使用更少的粒子数，例如当粒子数取200到600之间时，边缘粒子滤波结果仍然是收敛的。进一步的仿真实验结果表明，边缘粒子滤波算法在滤波过程中没有出现发散的现象，当然，此时滤波结果误差会变大。图9.6在不同粒子数的条件下的均方根误差9.3基于求积分卡尔曼滤波的交互式多模型算法

9.3.1概述

卡尔曼滤波针对的是模型单一的线性系统滤波问题。在机动目标跟踪系统中，系统动态模型难以用单一模型来描述，此时需要使用其它方法获得更准确的状态估计，其中，多模型算法是一类有效的滤波算法。在过去的三十年中，人们对多模型算法进行了深入研究，取得了许多重要成果[23-25]。从最开始的静态多模型和动态多模型，一直到变结构多模型，多模型算法经历了三代变迁，其中的交互式多模型算法(InteractingMultipleModel，IMM)与其它多模型算法相比，运算效率相对较高，估计精度相对较好，因此受到了广泛关注[23-26]。对于非线性系统，需要使用非线性滤波方法。常用的方法是扩展卡尔曼滤波，该方法需要计算非线性方程的雅可比矩阵，在强非线性系统中具有较高的线性截断误差。文献[27]在不敏变换的基础上，提出了基于不敏卡尔曼滤波的IMM算法(InteractingMultipleModelBasedonUnscentedKalmanFilter，IMM_UKF)。该算法可以避免计算非线性方程的雅可比矩阵，具有较高的滤波精度。针对非高斯非线性系统，文献[28]在粒子滤波(ParticleFilter，PF)算法的基础上，提出了基于PF的IMM算法，取得了更高的滤波精度。此外，文献[29]在不敏粒子滤波算法的基础上，给出了基于UPF的IMM算法(InteractingMultipleModelBasedonUnscentedParticleFilter，IMM_UPF)。然而，由于IMM算法本身的时间复杂度与模型个数成正比，时间复杂度很高，故而其实用性受到限制。近年来，人们对求积分卡尔曼滤波(QuadratureKalmanFilter，QKF)算法有较多关注，围绕该算法有一系列的研究工作[30-33]。该算法是一种较新型的非线性滤波算法，与UKF算法类似，都是确定点采样方法，不需要计算非线性函数的雅可比矩阵。QKF选取的采样点可以根据求积分点个数的不同而不同，故而能够取得比UKF稍好的滤波精度。QKF算法的缺点是：如果求积分点选取过多，时间复杂度就会增大。本节将QKF算法应用到交互式多模型算法中，提出了一种基于求积分卡尔曼滤波的交互式多模型算法(InteractingMultipleModelBasedonQuadratureKalmanFilter，IMM_QKF)。该算法可以处理非线性多模型滤波问题，具有和UKF_IMM算法类似或更高的滤波精度，为交互式多模型算法在机动目标跟踪中的应用提供了新的实现途径，具有一定的参考价值。9.3.2求积分卡尔曼滤波

假定非线性系统的动态方程和测量方程如下

xk=fk(xk－1)+vk-1

(9-33)

zk=hk(xk)+nk

(9-34)

其中，f和h表示状态转移函数和量测函数，如果两个函数中有非线性函数，则称系统为非线性系统。vk和nk分别表示过程噪声和量测噪声，噪声序列均假定为零均值高斯分布，方差分别为Qk和Rk，且相互独立。如果状态向量初值及其协方差已知，则使用测量值可以进行每一步的状态向量估计。

假定在k－1时刻的后验概率密度p(xk－1|z1:k－1)已知，根据状态转移方程，状态向量的一步预测概率密度p(xk|z1:k－1)可以通过如下积分计算

(9-35)当接收到一个新的量测zk时，使用贝叶斯定理，后验概率密度可以用下式表示(9-36)对式(9-35)和式(9-36)递推求解获得状态估计的方法就是最优贝叶斯滤波。然而，非线性滤波系统中，通常情况下难以获得式(9-35)和式(9-36)的解析形式，只能获得近似解。求积分卡尔曼滤波方法就是一种求积分的数值解法，可以用来求解式(9-35)和式(9-36)。下面介绍求积分数值解法。考虑积分g(x)和另外一个函数W(x)可使用下列形式进行积分(9-37)其中，函数W(x)可以看做一个权值函数，其值恒为正。可以使用下面的数值解法近似该积分，即(9-38)其中，m表示求积分点的个数，ξl是第l个积分点，ωl表示相应的权值。假定J是一个对称的三对角矩阵，其对角线元素全为0，并且Ji，i+1=，1≤i≤(m－1)，则求积分点表示为ξl=

εl，此处ε

l是J的第l个特征值，其相关权值计算为ωl=(vl)21，其中(vl)1是矩阵J正则化后的第l个特征向量的第一个元素。假如状态向量的维数大于1，即p(x)=N(x;0，Inx)，其中Inx表示维数为nx×nx的单位矩阵。因为状态向量的各个分量相互独立，故上述求积分公式可以由一维扩展为多维。具体过程为

(9-39)其中，。通常情况下，概率密度函数

各分量之间相互关联。为了改善此时的积分结果，使用解耦技术。下面介绍解耦过程。首先，对下列协方差矩阵进行分解(9-40)然后，实施线性变换(9-41)则新向量具有单位方差。接着求g(x)的期望(9-42)9.3.3算法描述及步骤

考虑一个待估计系统。系统当前模型来自于具有n个模型的集合，该模型集为M={M1，M2，…，Mn}。假定模型Mj的先验概率μj0=P{Mj0}以及模型Mi和模型Mj之间的转换概率pij=P{Mjk|Mik－1}均已知，其中i=1，…，n，j=1，…n。实际上，可以将其看做概率转移矩阵已知的一阶马尔可夫链，因此，具有上述假设的系统通常称为马尔可夫链。最优多模型算法要求对所有可能的模型序列进行滤波，即：对于n个模型，在k时刻需要nk个滤波器来处理第k个量测。最优多模型算法的时间复杂度太高，实际应用中经常使用次优多模型算法，交互式多模型算法就是其中使用较为广泛的一种次优算法。基于求积分卡尔曼滤波算法和交互式多模型算法过程相同，都是依据一个有限状态离散时间马尔可夫链进行模型切换的，所不同的是，针对非线性系统的处理上使用了求积分卡尔曼滤波。该算法由三个阶段组成：交互、滤波和组合。首先计算模型之间的交互概率，并计算与该模型匹配的混合输入；接着针对不同模型使用不同的滤波器，从而获得n个当前时刻的状态估计；然后对这n个滤波器结果加权，从而获得最终的状态向量及协方差估计，其中权值是通过模型概率和滤波过程中量测值相对各个模型的似然量计算获得的。下面给出每个阶段的计算步骤。

Step1：交互阶段。计算模型Mi和模型Mj之间的交互概率μi|jk为

(9-43)其中，μik－1是k－1时刻模型Mi的概率，cj是一个归一化因子。每个滤波器的混合输入用下式计算－(9-44)(9-45)式中mik－1和Pik－1分别表示k－1时刻模型i的状态估计值及其协方差。

Step2：滤波阶段。采用求积分卡尔曼滤波算法获得每个非线性模型的状态估计值及其协方差mik，Pik，i=1，…，n。当然，若是线性模型，则使用卡尔曼滤波算法即可。在滤波过程中还需计算当前时刻量测相对每个滤波器的似然值，即

Λik=N(vik;0，Sik)

(9-46)

其中vik表示使用模型i滤波过程中计算所得的量测值的残差，Sik表示该量测值残差的协方差。在时刻k，每个模型Mi的概率用下式计算(9-47)式中c表示归一化因子。

Step3：组合阶段。通过加权方法计算最终状态估计及其协方差，即(9-48)(9-49)9.3.4仿真实验及结果分析

1.实验模型

针对二维空间中的单个机动目标进行跟踪滤波。为了捕捉目标转弯运动，通常的建模方式是采用转弯模型[19]。该模型的思路是将目标转弯率参数作为状态向量的一部分，与目标的位置和速度分量一起参与滤波。该模型状态向量表示为

，状态转移方程为(9-50)仿真200步，目标的运动过程如下：①目标从原点开始以速度(x0，y0)=(1，0)运动；②在第4秒，目标以角速度=1左转；③在第9秒，目标停止转弯，并沿直线运动2秒；④在第11秒，目标以角速度=－1开始右转；⑤在第16秒，目标停止转弯，并沿直线运动4秒。上述运动轨迹如图9.7中目标真实轨迹所示。

假定传感器直接对目标位置进行观测，观测噪声假定为零均值加性高斯噪声，其方差为σ2r=0.05。滤波过程中，我们使用下面的模型:

(1)单模型卡尔曼滤波方法。具有过程噪声方差为q1=0.05的标准维纳过程