广东省 广州市越秀区育才中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案）

第1页/共1页2023育才初三上12月月测一、单项选择题（每小题3分，共30分）1.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是（）A. B. C. D.3.已知且对应中线之比为，则与的周长之比为A. B. C. D.4.下列事件为必然事件的是（）A.掷一枚硬币，正面朝上 B.位似的两个三角形的对应边互相平行C.等边三角形的中心角是 D.弦是直径5.广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（）A. B. C. D.6.设是一元二次方程的两根，则（）A. B. C.2 D.7.关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（）A.抛物线的开口向上 B.当时，y随x的增大而减小C.对称轴是直线 D.抛物线与y轴交于点8.如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（）A. B. C. D.9.函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（）A B. C. D.10.如图，半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共18分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．12.一个不透明袋中装有若干个红球和10个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中红球约为_________个．13.圆心角是120°扇形，弧长为，则这个扇形的面积为__________．14.如图，中，．则的内切圆半径_______．15.如图，在圆内接正六边形中，、交于点，已知半径为3，则的长为__________．16.如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连分别交，于点，，过点作，垂足为P，AH交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有_________．（填序号）三、解答题（共72分）17.解方程：（1）．（2）．18.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，先从B点出发与成角方向走到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走到C处，在C处转，沿方向再走到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么河宽是多少米？19.如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为、（1）画出绕点顺时针旋转后得到的图形；（2）在轴的左侧以为位似中心画出的位似三角形，使新图与原图的相似比为．20.广州的白云山、越秀山、莲花山和大夫山被誉为广州四大名山，不仅风景秀美而且有丰厚的历史底蕴，是广州市民喜欢游玩之地．小明、小丽两家人决定周末去游玩，并用抽卡片的方式从白云山、越秀山、莲花山和大夫山（分别记为、、、）选出一个景点．他们准备了张不透明的卡片，正面分别写上、、和．卡片除正面字母不同外其余均相同．（1）小明随机抽取一张卡片，则抽取到卡片的概率是_______；（2）小明随机抽取一张卡片后，放回洗匀，小丽再随机抽取一张卡片，请用列或画树状图的方法求他们都抽取到同一地点的概率．21.如图，二次函数的图象与轴交于点和点，点轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）求点坐标，并结合图象写出时，的取值范围；22.为积极响应国家“旧房改造”工程，我市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案，我市的旧房改造户数从2020年底的4万户增长到2022年底的万户，求我市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）我市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？23.如图，在等腰中，．（1）尺规作图：以为直径作，标出点（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）中所作的交边于点，过点作交于点，延长交的延长线于点，①求证：是的切线；②若，，求的长．24.如图，在四边形中，，，，延长线段，将射线绕点逆时针旋转至射线，点关于的对称点为，直线与射线相交于，连接，，（1）当时，如图1，为的中点，连接，求的度数；（2）如图2，随着的变化，射线在内部运动，①当落在直线上时，求的运动路径长（用含的代数式表示）；②若，，在射线的运动过程中，求的面积最大值．25.在平面直角坐标系中，抛物线（，，为常数，且）经过和两点．（1）求和值（用含的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围；（3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围．2023育才初三上12月月测一、单项选择题（每小题3分，共30分）1.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．2.如图，是由绕点顺时针旋转后得到图形，若点恰好落在上，且，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转后对应边的夹角等于旋转角，得出，即可求解．【详解】解：∵是由绕点顺时针旋转后得到的图形，∴，∵，．故选：B．3.已知且对应中线之比为，则与的周长之比为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长的比也等于相似比，可知周长比为9:16.【详解】∵，且对应中线之比为，∴相似比等于9:16，∴与周长之比为9:16.故选D.【点睛】此题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应高线、对应中线、对应角平分线、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.4.下列事件为必然事件的是（）A.掷一枚硬币，正面朝上 B.位似的两个三角形的对应边互相平行C.等边三角形的中心角是 D.弦是直径【答案】C【解析】【分析】必然事件是肯定发生的事件，据此逐项判断即可．【详解】A项，掷一枚硬币，也可能反面朝上，故本项不是必然事件，不符合题意；B项，位似的两个三角形的对应边也有可能重合，故本项不是必然事件，不符合题意；C项，等边三角形的中心角是，故本项是必然事件，符合题意；D项，过圆心的弦是直径，故本项不是必然事件，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了必然事件的判断，位似三角形的性质，等边三角形的性质以及弦与直径之间的关系等知识，掌握位似三角形的性质是解答本题的关键．5.广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，依题意得，即，故选：C．【点睛】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．6.设是一元二次方程的两根，则（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【详解】解：∵是一元二次方程的两根，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．7.关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（）A.抛物线的开口向上 B.当时，y随x的增大而减小C.对称轴是直线 D.抛物线与y轴交于点【答案】D【解析】【分析】根据解析式可得开口方向，对称轴，增减性，令，可得抛物线与轴交点坐标，进而即可求解．【详解】解：∵二次函数中，∴抛物线开口向上，对称轴，当时，y随x的增大而减小，故A，B，C选项正确；令，，即抛物线与轴交于点，故D选项不正确，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，与轴的交点坐标，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．8.如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过点作与交于点，交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长；根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理可得的长，即可求出的长度．【详解】解：过点作与交于点，交于点，连接，如图：根据题意可得：，∵，∴，在中，，，故选：D．【点睛】本题考查了翻转的性质，垂径定理的推论，勾股定理，掌握翻转是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．9.函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，再分和两种情况，分别得出函数和的图象的大致形状，即可作答．【详解】根据可得：函数的对称轴为：，当时，二次函数的图象开口向上，抛物线在y轴右侧，一次函数的图象交于y轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限；当时，二次函数的图象开口向下，抛物线在y轴左侧，一次函数的图象交于y轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限；根据上述结果：可知A、B、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴符号与系数符号的关系等．10.如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点P的位置．由中，知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点P位于位置时，取得最小值，据此求解可得．【详解】解：连接，∵，∴，∵，∴，若要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点P位于位置时，取得最小值，过点M作轴于点Q，则，，∴，又∵，∴，∴，故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，故答案为：．12.一个不透明的袋中装有若干个红球和10个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中红球约为_________个．【答案】15【解析】【分析】根据口袋中有10个白球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可.【详解】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，口袋中有10个白球假设有x个红球，则解得：x=15∴口袋中有红球约为15个故答案为：15【点睛】本题主要考查利用频率估计随机事件的概率，根据已知白球的频率得出与试验比例应该相等是解题关键．13.圆心角是120°的扇形，弧长为，则这个扇形的面积为__________．【答案】【解析】【分析】利用弧长公式可求得扇形的半径，那么扇形的面积弧长半径．【详解】解：，，扇形的面积．故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形面积，关键是根据弧长公式和扇形的面积公式的综合应用解答．14.如图，中，．则的内切圆半径_______．【答案】2【解析】【分析】设、、与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长．【详解】解：如图，在中，，根据勾股定理.四边形中，，，∴四边形是正方形..由切线长定理，得：，，；∴；∴．故答案为：2．【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，直角三角形内切圆的性质，以及切线长定理，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键．15.如图，在圆内接正六边形中，、交于点，已知半径为3，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】连接、，则三角形为直角三角形，利用勾股定理即可求解．【详解】解：连接、、，∵六边形是正六边形，∴经过O点，且O是的中点，，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∴，解得：或（舍去）．故答案为：．【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质，圆周角定理，勾股定理的应用，解题的关键是掌握各知识点，并能结合图形熟练运用各知识点．16.如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连分别交，于点，，过点作，垂足为P，AH交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有_________．（填序号）【答案】①③④【解析】【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断；②求出和度数，从而得出度数，据此可判断；③证即可判断；④设，则，，设，由，知，根据是等腰直角三角形之，据此得出，证，得，即，从而得出a与x的关系即可判断．【详解】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形，∴，，，，∴是等腰三角形，且顶角，∴，故①正确；∵，即，∴，∴，，∴，由知，故②错误；由知，则，在和中，，∴，∴，故③正确；在中，设，则，，设，∵，∴，中，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，整理，得：，由得，即，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．三、解答题（共72分）17.解方程：（1）．（2）．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键．（1）利用开平方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：，，，；【小问2详解】解：，，，．18.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，先从B点出发与成角方向走到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走到C处，在C处转，沿方向再走到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么河宽是多少米？【答案】河宽为80米【解析】【分析】根据已知条件证明，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，答：河宽为80米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程求解．19.如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为、（1）画出绕点顺时针旋转后得到的图形；（2）在轴的左侧以为位似中心画出的位似三角形，使新图与原图的相似比为．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】此题主要考查了作图-位似变换，作图-旋转变换，得出对应点坐标是解题关键．（1）根据中心对称的性质即可得到结论；（2）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以，进而得出坐标画出图形即可．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：如图所示即为所求．20.广州的白云山、越秀山、莲花山和大夫山被誉为广州四大名山，不仅风景秀美而且有丰厚的历史底蕴，是广州市民喜欢游玩之地．小明、小丽两家人决定周末去游玩，并用抽卡片的方式从白云山、越秀山、莲花山和大夫山（分别记为、、、）选出一个景点．他们准备了张不透明的卡片，正面分别写上、、和．卡片除正面字母不同外其余均相同．（1）小明随机抽取一张卡片，则抽取到卡片的概率是_______；（2）小明随机抽取一张卡片后，放回洗匀，小丽再随机抽取一张卡片，请用列或画树状图的方法求他们都抽取到同一地点的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出小明与小亮抽到同一卡片的结果数，然后根据概率公式计算．【小问1详解】解：小明抽到A卡片的概率是；【小问2详解】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中小明与小丽抽到同一卡片的结果数为4，所以小明与小丽抽到同一地点的概率．21.如图，二次函数的图象与轴交于点和点，点轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）求点坐标，并结合图象写出时，的取值范围；【答案】（1）；（2），或．【解析】【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．（1）利用待定系数解答，即可求解；（2）根据当时，，求出点，进而根据图象可得出答案．【小问1详解】解：∵二次函数的图象经过点，，∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；【小问2详解】解：由（1）可知，二次函数的解析式为，当时，，解得，，∴，根据图象可知，当时，x的取值范围为或．22.为积极响应国家“旧房改造”工程，我市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案，我市的旧房改造户数从2020年底的4万户增长到2022年底的万户，求我市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）我市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】22.该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为23.旧房改造申报的最高投入费用为6125000元【解析】【分析】（1）设平均增长率为，列方程，即可求解；（2）设多改造户，最高投入费用为元，得进而可求解；【小问1详解】解：设平均增长率为，由题意得：，解得：或（舍），答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为；【小问2详解】解：设多改造户，最高投入费用为元，由题意得：，，抛物线开口向下，当，即时，最大，此时元，答：旧房改造申报的最高投入费用为6125000元．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，正确列出方程是解题的关键．23.如图，在等腰中，．（1）尺规作图：以为直径作，标出点（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）中所作的交边于点，过点作交于点，延长交的延长线于点，①求证：是的切线；②若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）①见解析，②4【解析】【分析】此题主要考查了复杂作图，切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．（1）直接利用线段垂直平分线的作法结合圆的性质得出答案；（2）①连接，根据，，得到，证明，由，即可证明结论；②由①知，易得，得到，由，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，分别以点A点B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点P，Q两点，连接作直线交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则为所求；【小问2详解】①证明：如图，连接，，，，，，，，是的半径，是的切线；②解：由①知，，，，，，，，．24.如图，在四边形中，，，，延长线段，将射线绕点逆时针旋转至射线，点关于的对称点为，直线与射线相交于，连接，，（1）当时，如图1，为的中点，连接，求的度数；（2）如图2，随着的变化，射线在内部运动，①当落在直线上时，求的运动路径长（用含的代数式表示）；②若，，在射线的运动过程中，求的面积最大值．【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】（1）连接，由题意可得，则平分，由题意可得，求得即可求得答案；（