人教版高中数学精讲精练必修一3.3 幂函数（精讲）（含答案及解析）

3.3幂函数（精讲）一．幂函数1.概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.2.特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件二.幂函数的图象和性质1.五个幂函数的图象：2.幂函数的性质：幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减增增x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1，1)3.一般幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．(3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．(4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限．(5)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．(6)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.二．解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象三．比较幂值大小的两种基本方法直接法当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较转化法当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小考点一与幂函数概念相关的问题【例1】（2023·江苏扬州）已知幂函数的图像经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（

）A． B．C．3 D．2．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）已知幂函数(α是常数)的图象经过点，那么（

）A．4 B．-4 C． D．-3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（

）．A． B．4 C． D．8考点二幂函数的图像及应用【例2-1】（2023·海南）给定一组函数解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【一隅三反】1．（2023黑龙江哈尔滨）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（

）A．B．C． D．2．（2023·北京）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（

）A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③3．（2023·福建泉州·高一校考期中）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为__________．考点三比较幂值的大小【例3】（2023·安徽合肥·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·浙江·高一校联考期中）记，则（

）A． B．C． D．2．（2022秋·高一课时练习）设，，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·河北）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．考点四幂函数性质的综合运用【例4-1】（2023·四川成都）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（

）A． B．是减函数C．是奇函数 D．是偶函数【例4-2】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题.(1)求的解析式；(2)在（1）问的条件下，当时，求的值域.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【一隅三反】1．（2023·云南红河·高一统考期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（

）A．函数为增函数B．函数为偶函数C．当时，D．当时，2．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数为奇函数.(1)求的值；(2)若，求实数的取值范围.3．（2023·辽宁辽阳·高一校联考期末）已知幂函数为奇函数．(1)求的解析式；(2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值．

3.3幂函数（精讲）一．幂函数1.概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.2.特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件二.幂函数的图象和性质1.五个幂函数的图象：2.幂函数的性质：幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减增增x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1，1)3.一般幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．(3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．(4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限．(5)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．(6)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.二．解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象三．比较幂值大小的两种基本方法直接法当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较转化法当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小考点一与幂函数概念相关的问题【例1】（2023·江苏扬州）已知幂函数的图像经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为幂函数的图像经过点，所以，所以，故选：B.【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（

）A． B．C．3 D．【答案】C【解析】由题意f(2)＝2α＝，所以α＝，所以f(x)＝，所以f(9)＝＝3.故选：C2．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）已知幂函数(α是常数)的图象经过点，那么（

）A．4 B．-4 C． D．-【答案】A【解析】因为幂函数（是常数）的图象经过点，所以，解得，所以，所以；故选：A3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（

）．A． B．4 C． D．8【答案】C【解析】因为函数为幂函数，所以可设f（x）＝xa，因为图象过，所以，所以，即，所以故选：C考点二幂函数的图像及应用【例2-1】（2023·海南）给定一组函数解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【解析】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选：C【一隅三反】1．（2023黑龙江哈尔滨）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】设幂函数，将点代入，得，解得，所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B，故选：B．2．（2023·北京）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（

）A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③【答案】A【解析】由函数是反比例函数，其对应图象为①；函数的定义域为，应为图②；因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.故选：A.3．（2023·福建泉州·高一校考期中）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为__________．【答案】【解析】由幂函数知，得或.当时，图象与坐标轴有交点，当时，与坐标轴无交点，∴.故答案为:考点三比较幂值的大小【例3】（2023·安徽合肥·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，，，所以．故选：A．【一隅三反】1．（2023春·浙江·高一校联考期中）记，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，由幂函数在上单调递增，所以.故选：C2．（2022秋·高一课时练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故故选：B3．（2023·河北）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于幂函数在上单调递增，又，，，，所以，则.故选：D.考点四幂函数性质的综合运用【例4-1】（2023·四川成都）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（

）A． B．是减函数C．是奇函数 D．是偶函数【答案】C【解析】函数为幂函数，则，解得或.当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；当时，在区间上单调递减，满足题意.函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.【例4-2】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题.(1)求的解析式；(2)在（1）问的条件下，当时，求的值域.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】（1）∵，其中，当时，当时，当时，（），∵在区间上单调递增，∴，或选①时，可知函数为偶函数，则的解析式为，选②时，可知函数为奇函数，则的解析式为.（2）若函数易知在上单调递减，在上单调递增当时，，当时，，∴的值域为.若，易知在上是增函数当时，，当时，，∴的值域为.【一隅三反】1．（2023·云南红河·高一统考期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（

）A．函数为增函数B．函数为偶函数C．当时，D．当时，【答案】ACD【解析】设幂函数，则，解得，所以，对于A，的定义域为，在上单调递增，A正确；对于B，因为的定义域不关于原点对称，函数不是偶函数，B错误；对于C，当时，，C正确；对于D，当时，，又，所以，D正确．故选：ACD2．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数为奇函数.(1)求的值；