人教版高中数学精讲精练必修一3.2.2 函数的奇偶性（精讲）（含答案及解析）

3.2.2函数的奇偶性（精讲）一．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称1.奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0.2.x具有对称性．因为函数y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)与f(x)的关系，所以f(x)与f(－x)都有意义，即x与－x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上关于原点对称．否则，这个函数一定不具有奇偶性，例3.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.二.函数的奇偶性与单调性1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数，即在对称区间上单调性一致(相同).2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数，即在对称区间上单调性相反.三.奇偶函数的运算性质在公共定义域内：1.两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；2.两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；3.一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.四.函数的对称轴与对称中心(拓展)(1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴.(2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.一．判断函数奇偶性的方法1.定义法：一求二看三判断2.图象法3.性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．二．利用奇偶性求解析式1.求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；2.利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).三．利用函数奇偶性和单调性解不等式1.利用图象解不等式．2.转化为简单不等式求解．（1）利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；（2）根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．注意：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．四．比较大小的1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．五．函数的周期性、奇偶性与单调性的综合应用函数周期性的概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期，T的最小正数取值称为函数f(x)的最小正周期．考点一函数奇偶性的判断【例1-1】（2023·山西）判断下列函数的奇偶性：；(2)；(3).（4）；（5）【一隅三反】1．（2023春·上海宝山）函数的奇偶性为（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数2．（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数3．（2023·北京）下列函数中，是偶函数的是（

）A． B． C． D．4．（2023·天津滨海）下列判断正确的是（）A．是奇函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数5．（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（

）A．若和都是奇函数，则是奇函数B．若和都是偶函数，则是偶函数C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数考点二奇偶函数的图像特征【例2】（2022秋·安徽马鞍山）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，．(1)求和的值；(2)求函数的解析式；(3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域．【一隅三反】1．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）已知．(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断并证明函数在区间上的单调性；(3)根据函数的性质，画出函数的大致图像．2．（2023·河南三门峡·高一统考期末）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．

(1)试求在上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．3．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，

(1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间；(2)若函数，求函数的最大值．考点三利用奇偶性求函数值【例3-1】（2023春·云南红河）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则___.【例3-2】（2023·广东）已知函数，且，则______．【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）已知是上的奇函数，当时，，则（

）A．4 B． C．7 D．2．（2023·全国·高一假期作业）已知是定义在上的奇函数，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·湖南）已知函数，且，则______．考点四利用奇偶性求函数解析式【例4-1】（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）若是上的奇函数，且当时，，则当，______．【例4-2】（2023·广西）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为______．【一隅三反】1．（2023·重庆璧山）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一假期作业）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．3．（2023·山东）已知奇函数则__________．考点五函数奇偶性的应用【例5-1】（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）设是定义在上偶函数，则在区间上是（

）A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定【例5-2】（2023安徽）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（）A． B．C． D．【例5-3】（2023春·河南）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则关于的不等式的解集为（

）A．B．C．D．【例5-4】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知是定义在上的偶函数，对于任意的，（），都有成立．若，则实数m的取值范围为（

）A．或 B．C．或 D．【一隅三反】1．（2023·江苏盐城）设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．2．（2023福建）已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一单元测试）设偶函数在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．4．（2023·广东深圳）定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·高一课时练习）若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________.6．（2023·贵州黔西·高一统考期末）已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______.考点六函数性质的综合运用【例6-1】（2023·北京）函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于的不等式．【例6-2】（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有．(1)证明是奇函数；(2)解不等式．【一隅三反】1．（2023·江苏苏州）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；(3)解不等式.2．（2023·陕西渭南）已知二次函数.(1)若函数是偶函数，求实数的值；(2)是否存在实数，使得函数在上的值域也是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.3．（2023秋·高一单元测试）已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立.(1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数；(2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性；(3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围.

3.2.2函数的奇偶性（精讲）一．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称1.奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0.2.x具有对称性．因为函数y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)与f(x)的关系，所以f(x)与f(－x)都有意义，即x与－x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上关于原点对称．否则，这个函数一定不具有奇偶性，例3.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.二.函数的奇偶性与单调性1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数，即在对称区间上单调性一致(相同).2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数，即在对称区间上单调性相反.三.奇偶函数的运算性质在公共定义域内：1.两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；2.两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；3.一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.四.函数的对称轴与对称中心(拓展)(1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴.(2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.一．判断函数奇偶性的方法1.定义法：一求二看三判断2.图象法3.性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．二．利用奇偶性求解析式1.求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；2.利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).三．利用函数奇偶性和单调性解不等式1.利用图象解不等式．2.转化为简单不等式求解．（1）利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；（2）根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．注意：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．四．比较大小的1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．五．函数的周期性、奇偶性与单调性的综合应用函数周期性的概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期，T的最小正数取值称为函数f(x)的最小正周期．考点一函数奇偶性的判断【例1-1】（2023·山西）判断下列函数的奇偶性：；(2)；(3).（4）；（5）【答案】(1)奇函数(2)是奇函数，也是偶函数(3)既不是奇函数，也不是偶函数（4）奇函数；（5）偶函数．【解析】（1）的定义域为，关于原点对称，，则为奇函数.（2）由，解得，则的定义域为，关于原点对称，又，则既是奇函数，也是偶函数.（3）由，可得或，的定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，也不是偶函数．（4）当时，，，；当时，，，.所以函数为奇函数；（5）由题意可得，所以且，所以函数的定义域为关于原点对称，又，所以函数为偶函数；【一隅三反】1．（2023春·上海宝山）函数的奇偶性为（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【答案】C【解析】由函数的定义域可得，则，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.故选：C.2．（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【答案】A【解析】若，则，则；若，则，则.又，满足.所以，又函数的定义域为，关于原点对称，因此，函数为奇函数.故选：A.3．（2023·北京）下列函数中，是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是；对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是；对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是；对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是.故选：C4．（2023·天津滨海）下列判断正确的是（）A．是奇函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数【答案】C【解析】对于中，函数的定义域为{，且}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数;对于B中，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数;对于C中，由得，定义域关于原点对称，且，，所以是偶函数;对于D中，函数是偶函数，但不是奇函数.故选：C.5．（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（

）A．若和都是奇函数，则是奇函数B．若和都是偶函数，则是偶函数C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数【答案】B【解析】对于A，因为和都是奇函数，所以，，令，则，所以是偶函数，故A错误；对于B，因为和都是偶函数，所以，，令，则，所以是偶函数，故B正确；对于C，因为是奇函数，是偶函数，所以，，令，则，所以是奇函数，故C错误；对于D，因为和都是奇函数，所以，，令，则，所以是奇函数，故D错误.故选：B考点二奇偶函数的图像特征【例2】（2022秋·安徽马鞍山）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，．(1)求和的值；(2)求函数的解析式；(3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域．【答案】(1)；(2)(3)图象见详解；单调递增区间为和，单调递减区间为和，值域为【解析】（1）当时，，则，又因为函数为R上的奇函数，则；（2）因为函数为R上的奇函数，所以，令，得，所以，任取，则，所以，所以，综上所述；（3）结合（2）可得图象如下，由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为和，值域为．【一隅三反】1．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）已知．(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断并证明函数在区间上的单调性；(3)根据函数的性质，画出函数的大致图像．【答案】(1)偶函数；(2)单调递增；(3)详见解析.【解析】（1）解：因为函数的定义域为关于原点对称，又因为，所以是偶函数；（2）任取，且，则，，因为，所以，，又因为，所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增；（3）由（2）同理可得在区间上单调递增，由（1）知是偶函数，则在和上单调递减，所以其图象如图所示：2．（2023·河南三门峡·高一统考期末）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．

(1)试求在上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．【答案】(1)(2)作图见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为【解析】（1）∵的图象关于原点对称，∴是奇函数，∴．又的定义域为，∴，解得．设，则，∵当时，，∴，∴，所以；（2）由（1）可得的图象如下所示：

由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；3．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，

(1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间；(2)若函数，求函数的最大值．【答案】(1)图见解析，，单调递减区间为和(2)【解析】（1）解：如图所示，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象，当时，设函数，由图象可得，解得，所以，当时，则，因为函数为偶函数，所以，所以函数的解析式为，可得的单调递减区间为和，

（2）解：当时，，可得其对称轴的方程为且开口向上，①当时，即时，；②当时，即时，，综上可得，考点三利用奇偶性求函数值【例3-1】（2023春·云南红河）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则___.【答案】【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则.故答案为：．【例3-2】（2023·广东）已知函数，且，则______．【答案】【解析】由，得，构建函数，定义域为，则，即是奇函数，于是，所以，可得，又，因此．故答案为：【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）已知是上的奇函数，当时，，则（

）A．4 B． C．7 D．【答案】A【解析】当时，，因为是上的奇函数，所以，所以.故选：A.2．（2023·全国·高一假期作业）已知是定义在上的奇函数，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为，所以令，则，因为，，所以，令，则.故选：D.3．（2023·湖南）已知函数，且，则______．【答案】2024【解析】构造具有奇偶性的函数，由，得，构建函数，定义域为，因为所以函数是偶函数，所以，所以，从而，又，因此.故答案为：2024考点四利用奇偶性求函数解析式【例4-1】（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）若是上的奇函数，且当时，，则当，______．【答案】【解析】设，则，所以，因为是上的奇函数，所以，所以，所以，故答案为：【例4-2】（2023·广西）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为______．【答案】【解析】当时，，故，所以，所以故答案为：【一隅三反】1．（2023·重庆璧山）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，由于是偶函数，所以.故选：C2．（2023·全国·高一假期作业）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．【答案】/【解析】是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，，，所以当时，的表达式为.故答案为：3．（2023·山东）已知奇函数则__________．【答案】【解析】当时，，，则．故答案为：.考点五函数奇偶性的应用【例5-1】（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）设是定义在上偶函数，则在区间上是（

）A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定【答案】B【解析】是定义在上偶函数，∴定义域关于原点对称，即，∴，则，由，即，解得，∴，函数图像抛物线开口向下，对称轴为，则函数在区间上是减函数．故选：B．【例5-2】（2023安徽）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为对任意的，有，所以当时，，所以在上是减函数，又是偶函数，所以，，因为，所以，即．故选：D．【例5-3】（2023春·河南）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则关于的不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为定义在上的奇函数，当时,，由得，即，解得，当时，，则，则，由得，即，解得，又，所以的解集为.故选：D.【例5-4】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知是定义在上的偶函数，对于任意的，（），都有成立．若，则实数m的取值范围为（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【解析】由任意的，（），都有可知在单调递减，由于是定义在上的偶函数，所以在单调递增，由得，平方可得，解得或，故选：A【一隅三反】1．（2023·江苏盐城）设是定义在上的奇函数，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，即，且，故，所以，所以，则.故选：B.2．（2023福建）已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由知，在上单调递增，∵是奇函数，则在上单调递增，由，可得，B错误，D正确；虽然由题意可得在，上单调递增，但是由已知条件无法判断是否在定义域内单调递增，则A、C无法判断正误，即A、C不一定成立；故选：D.3．（2023秋·高一单元测试）设偶函数在区间上单调递增，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】偶函数在区间上单调递增，则，即.故选：B4．（2023·广东深圳）定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为定义在上的偶函数在单调递减，不等式等价于，等价于，即，解得，即不等式的解集是.故选：D5．（2022秋·高一课时练习）若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________.【答案】【解析】由于在上是偶函数，所以，因为，函数在上时增函数，所以，所以.故答案为：6．（2023·贵州黔西·高一统考期末）已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______.【答案】【解析】因为是定义域为上的奇函数，且对于任意，不等式恒成立，所以，即，又因为，所以在上是单调递减函数，则有恒成立，即恒成立，令，，则，所以，所以的取值范围是.故答案为：.考点六函数性质的综合运用【例6-1】（2023·北京）函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于的不等式．【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3)【解析】（1）为定义在上的奇函数，，解得：，，解得：；当，时，，，满足为奇函数；综上所述：.（2）在上单调递增；证明如下：任取，；，，，，，在上单调递增.（3）为定义在上的奇函数，由得：，又在上单调递增，，解得：，不等式的解集为.【例6-2】（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有．(1)证明是奇函数；(2)解不等式．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：令，则由，得，即；令，则由，得，即得，故是奇函数．（2），所以，则，即，

因为，所以，所以，

又因为函数是增函数，所以，所以或．所以x的解集为．【一隅三反】1．（2023·江苏苏州）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函