人教版高中数学精讲精练必修一3.1 函数的概念及表示（精讲）（含答案及解析）

3.1函数的概念及表示（精讲）一．函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}1.函数的概念抓住两点①可以“多对一”、“不可一对多”②集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余.2.对于“f(x)”中的“x”，即可以是一个数，也可以是一个代数式.二.区间设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x<a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)1.区间的左端点必小于右端点；2.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；3.用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示；4.无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则；5.包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号．三.同一个函数1.前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.四.常见函数的值域(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a<0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).五.函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系六.分段函数分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域.1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.4.注意事项(1)分段函数是一个函数而不是几个函数；(2)分段函数中各段自变量的取值范围的交集是空集；(3)处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系.一.根据图形判断对应关系是否为函数的方法1.任取一条垂直于x轴的直线l；2.在定义域内平行移动直线l；3.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.二.判断一个对应关系是否为函数的方法三．求函数定义域1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.2.如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.3.如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.4.如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.5.如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.四．判断两个函数为同一函数1.定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.2.函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.3.在化简解析式时，必须是等价变形.五．求函数值1.方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.2.关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.六．求函数值域的常用方法1.观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.2.配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.3.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.4.分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.七．求函数解析式1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：(1)换元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.3.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.八．分段函数1.函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.3.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤：(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型；(2)设函数式：设出函数的解析式；(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式；(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.4.作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.考点一函数关系的判断【例1-1】（203·江苏扬州）下列对应是集合到集合的函数的是（

）A．，B．，，C．，D．，【例1-2】（2023·内蒙古赤峰）下面图象中，不能表示函数的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·江苏）（多选）下列对应关系是实数集上的函数的是（）A．：把对应到 B．：把对应到C．：把对应到 D．：把对应到2．（2022·江西景德镇）（多选）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是（

）A． B．C． D．3．（2023·云南昆明）已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（

）A．B．C．D．4．（2023·北京）（多选）下列是函数图象的是（

）A．B．C．D．考点二区间的表示【例2】（2022广东湛江）把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.【一隅三反】1．（2023云南大理）集合可用区间表示为（）A． B． C． D．2．（2023广州）若实数满足，则用区间表示为（）A． B． C． D．考点三函数的定义域【例3-1】（1）（2023·湖南衡阳）函数的定义域为（2）（2023·江苏·高一假期作业）求函数的定义域为________．【例3-2】（1）（2023·海南）已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________.（2）（2023·上海）已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为______.（3）（2022广西）函数的定义域为，则函数的定义域是__________.【例3-3】（2023·河北衡水）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【例3-4】（2023安徽）已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为()A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．【一隅三反】1．（2023·福建）函数的定义域为______．2．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为________.3．（2022秋·福建）已知函数的定义域为则的定义域为_________________4．（2023·湖南）函数的定义域为，则的定义域为________.5．（2022秋·山东烟台·高一校考阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______.考点四同一函数的判断【例4】（2022秋·福建福州）下列函数表示同一个函数的是（

）.A．与 B．与

C．与 D．与【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）下列各函数中，与函数表示同一函数的是（

）A． B．C． D．2．（2023·山东）下列每组中的函数是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023河南）下列各组函数为同一函数的是（）①与;②与;③与.A．①② B．① C．② D．③考点五三种函数的表示方法【例5】（2023新疆）某公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：行进的站数123456789票价111222333此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？【一隅三反】1．（2023内蒙古）公司生产了10台机器，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.2．（2022·高一课时练习）某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数.3．（2022·高一课时练习）已知完成某项任务的时间与参加完成此项任务的人数之间满足关系式，当时，；当时，，且参加此项任务的人数不能超过8．（1）写出关于的解析式；（2）用列表法表示此函数；（3）画出此函数的图象．考点六求函数值或值域【例6-1】（2023湖北）已知，，求：(1)；(2)；(3).【例6-2】（2023·江苏）试求下列函数的定义域与值域．(1)，；(2)；(3)；(4).【一隅三反】1．（2023·江苏连云港）（多选）下列函数与的值域相同的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·浙江杭州）求下列函数的值域.(1);(2);(3),.（4）考点七函数解析式【例7】（2023·江西南昌）根据下列条件，求的解析式.(1)已知(2)已知(3)已知是二次函数，且满足【一隅三反】1．（2023·云南大理）根据下列条件，求的解析式(1)已知满足(2)已知是一次函数，且满足；(3)已知满足2．（2023·全国·专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．(1)已知，则的解析式为__________．(2)已知满足，求的解析式．(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．考点八分段函数【例8-1】（2023·广西梧州）已知函数.(1)求的值；(2)若，求的值.【例8-2】（2023·高一课时练习）已知函数．（1）求的值；（2）画出函数的图象．【例8-3】（2022秋·广东深圳）已知.(1)用分段函数的形式表示该函数.(2)画出区间上的的图象；(3)根据图象写出区间上的值域.【一隅三反】1．（2022秋·广东汕头·高一校考期中）已知函数(1)求，，；(2)若，求的值．2．（2023·全国·高一假期作业）已知函数.(1)求，的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)在所给坐标系中作出的简图；(2)解不等式.4．（2023·山东枣庄）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里，(1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；(2)画出该函数的图像．

3.1函数的概念及表示（精讲）一．函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}1.函数的概念抓住两点①可以“多对一”、“不可一对多”②集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余.2.对于“f(x)”中的“x”，即可以是一个数，也可以是一个代数式.二.区间设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x<a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)1.区间的左端点必小于右端点；2.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；3.用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示；4.无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则；5.包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号．三.同一个函数1.前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.四.常见函数的值域(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a<0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).五.函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系六.分段函数分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域.1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.4.注意事项(1)分段函数是一个函数而不是几个函数；(2)分段函数中各段自变量的取值范围的交集是空集；(3)处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系.一.根据图形判断对应关系是否为函数的方法1.任取一条垂直于x轴的直线l；2.在定义域内平行移动直线l；3.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.二.判断一个对应关系是否为函数的方法三．求函数定义域1.如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.2.如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.3.如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.4.如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.5.如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.四．判断两个函数为同一函数1.定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数.2.函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.3.在化简解析式时，必须是等价变形.五．求函数值1.方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.2.关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.六．求函数值域的常用方法1.观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域.2.配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法.3.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.4.分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.七．求函数解析式1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：(1)换元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.3.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.八．分段函数1.函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.3.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤：(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型；(2)设函数式：设出函数的解析式；(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式；(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.4.作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点.考点一函数关系的判断【例1-1】（203·江苏扬州）下列对应是集合到集合的函数的是（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】A【解析】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确；对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误；对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误；对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误.故选：A．【例1-2】（2023·内蒙古赤峰）下面图象中，不能表示函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确；选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.故选：C.【一隅三反】1．（2023·江苏）（多选）下列对应关系是实数集上的函数的是（）A．：把对应到 B．：把对应到C．：把对应到 D．：把对应到【答案】AB【解析】选项A，是实数集上的一个函数．它的对应关系是把乘再加，对于任一，都有唯一确定的值与之对应，如，则与之对应；选项B，同理B也是实数集上的一个函数；选项C，不是实数集上的函数．因为当时，的值不存在；选项D，不是实数集上的函数．因为当时，的值不存在．故选：AB.2．（2022·江西景德镇）（多选）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合到集合的函数关系的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由题意，，A项，在中，当时，对应函数值为，与集合不对应，A错误；B项，在中，当时，对应的函数值分别为，B正确；C项，在中，当时，定义域不合要求，C错误；D项，在中，当时，对应的函数值分别为，D正确；故选：BD.3．（2023·云南昆明）已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对选项A：存在点使一个与两个对应，不符合，排除；对选项B：当时，没有与之对应的，不符合，排除；对选项C：的范围超出了集合的范围，不符合，排除；对选项D：满足函数关系的条件，正确.故选：D4．（2023·北京）（多选）下列是函数图象的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.考点二区间的表示【例2】（2022广东湛江）把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}.【答案】见解析【解析】(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)（2）{x|x<0}＝(－∞，0)(3){x|－1<x<1}＝(－1，1)；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4].【一隅三反】1．（2023云南大理）集合可用区间表示为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得，用开区间表示为故答案为：A。2．（2023广州）若实数满足，则用区间表示为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可知可以等于，不能等于，所以是半开半闭区间，D选项符合.故答案为：D.考点三函数的定义域【例3-1】（1）（2023·湖南衡阳）函数的定义域为（2）（2023·江苏·高一假期作业）求函数的定义域为________．【答案】（1）且（2）【解析】（1）依题意，，解得且，所以函数的定义域为且.故选：A（2）要使函数有意义，则，解得，即且，函数的定义域为.故答案为：.【例3-2】（1）（2023·海南）已知函数的定义域为，则函数的定义域是__________.（2）（2023·上海）已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为______.（3）（2022广西）函数的定义域为，则函数的定义域是__________.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因为函数的定义域为，所以，即且，所以函数的定义域为.故答案为：.（2）令，得，从而，所以函数的定义域为.故答案为：（3）函数的定义域为，即，得，所以函数的定义域为，故答案为：【例3-3】（2023·河北衡水）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的定义域为，又函数有意义，则有，解得或，所以函数的定义域是.故选：C【例3-4】（2023安徽）已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为()A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．【答案】D【解析】由题意知解得<x<5即定义域为故选：D.【一隅三反】1．（2023·福建）函数的定义域为______．【答案】【解析】由，得，故函数的定义域为：．故答案为：2．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为________.【答案】【解析】令，可得，解得.故函数的定义域为.故答案为:.3．（2022秋·福建）已知函数的定义域为则的定义域为_________________【答案】【解析】由已知，的定义域为，所以对于需满足,解得故答案为：.4．（2023·湖南）函数的定义域为，则的定义域为________.【答案】【解析】由于函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，则函数中，所以，即的定义域为.故答案为：.5．（2022秋·山东烟台·高一校考阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______.【答案】【解析】设矩形另一边的长为m，由三角形相似得：，（）,所以,所以矩形草坪的面积，解得：.故答案为：考点四同一函数的判断【例4】（2022秋·福建福州）下列函数表示同一个函数的是（

）.A．与 B．与

C．与 D．与【答案】D【解析】对于A项，，显然与对应关系不同，但定义域相同均为，故A错误；对于B项，由题意得，即的定义域为，，即的定义域为和，两函数定义域不同，故B错误；对于C项，，即两函数对应关系不同，故C错误；对于D项，，两函数定义域与对应关系均相同，故D正确.故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）下列各函数中，与函数表示同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故的定义域为,对于A，的定义域为，且解析式与相同，故为同一个函数，对于B,，故不是同一个函数，对于C,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数，对于D,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选:A2．（2023·山东）下列每组中的函数是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数.故选：B.3．（2023河南）下列各组函数为同一函数的是（）①与;②与;③与.A．①② B．① C．② D．③【答案】B【解析】对①:与的定义域、对应关系均相同，是同一函数；对②:由，而,对应关系不同，不是同一函数；对③：，，对应关系不同，不是同一函数.故选：B考点五三种函数的表示方法【例5】（2023新疆）某公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：行进的站数123456789票价111222333此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？【答案】能，具体见详解.【解析】根据题意，可知除了图表法之外，还可以用解析式法和图象法表示，解析式法：设票价为元，站点的个位为，则.图象法：【一隅三反】1．（2023内蒙古）公司生产了10台机器，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.【答案】答案见解析.【解析】①列表法x(台)12345y(元)3000600090001200015000x(台)678910y(元)1800021000240002700030000②图象法：如图所示.③解析法：售出台数x与收款数y之间的函数关系.2．（2022·高一课时练习）某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数.【答案】见解析.【解析】这个函数的定义域是数集.用解析法可将函数表示为，.用列表法可将函数表示为笔记本数12345钱数510152025用图象法可将函数表示为：3．（2022·高一课时练习）已知完成某项任务的时间与参加完成此项任务的人数之间满足关系式，当时，；当时，，且参加此项任务的人数不能超过8．（1）写出关于的解析式；（2）用列表法表示此函数；（3）画出此函数的图象．【答案】（1）函数解析式是（2）详见解析（3）图象见解析【解析】（1）因为当时，；当时，，所以，解得，所以．又，为正整数，所以此函数的定义域是，所以所求函数解析式是．（2），2，3，4，5，6，7，8，列表如下：123456781971005335（3）此函数的图象如图所示：考点六求函数值或值域【例6-1】（2023湖北）已知，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)-23；-1(2)-20；-51(3)8x2-46x+40；4x2-6x-55【解析】(1)=2×22-3×2-25=-23；=2×2-5=-1；(2)=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.【例6-2】（2023·江苏）试求下列函数的定义域与值域．(1)，；(2)；(3)；(4).【答案】(1)定义域为，值域为(2)定义域为，值域为(3)定义域是，值域为(4)定义域是，值域是.【解析】（1）因为的定义域为，则，同理可得，，，，所以函数的值域为.（2）函数的定义域为R，因为，所以函数的值域为.（3）函数的定义域为，因为，所以函数的值域为.（4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是.设，则，于是，又，所以，所以函数的值域为.【一隅三反】1．（2023·江苏连云港）（多选）下列函数与的值域相同的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，故其值域为；对A：当时，，其值域为，故A正确；对B：，故，其值域为，故B错误；对C：，当且仅当时取得等号，其值域为，故C正确；对D：令，故的值域即的值域；又在单调递减，在单调递增，故，故D错误.故选：AC.2．（2022秋·浙江杭州）求下列函数的值域.(1);(2);(3),.（4）【答案】(1)(2)(3)（4）【解析】（1）设,则,所以,根据二次函数的图像和性质,函数的值域为.（2）函数的定义域为,,所以函数的值域为.（3）因为函数的对称轴为,所以函数在单调递减,单调递增,所以函数的值域为.（4），，当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当且仅当时等号成立.故函数值域为；考点七函数解