27.2.2 相似三角形的性质 人教版九年级数学下册课件

相似三角形的性质

——第二十七章相似教学目标01.掌握相似三角形对应高线、中线和角平分线的比与相似比之间的关系

重点02.理解并掌握相似三角形周长与面积的的比与相似比之间的关系.

重点03.能够运用相似三角形的性质解决相关问题

难点三个角分别相等，三边成比例的两个三角形相似.大家回忆一下相似三角形的定义是什么？思考：三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度、以及周长、面积等.如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？根据三角形相似的定义我们可以知道，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，下面我们开始研究相似三角形的其他几何量之间的关系.如图，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，思考一下它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ABCA'B'C'ABCA'B'C'D'D如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.分析:分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′D′先证明△ABD和△A′B′D′相似，因为△ABC和△A′B′C′相似，由相似三角形的对应角相等，所以∠B＝∠B′，又因为∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的对应边成比例得到即可得到相似三角形对应高的比等于相似比.ABCA'B'C'D'D如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.∴△ABD∽△A′B′D′（两角分别相等的两个三角形相似）

∴解：如图，分别作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'D'则∠ADB=∠A'

D'

B'=90°∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B=∠B'

结论：相似三角形对应高的比等于相似比类似地，我们可以证明相似三角形对应中线、对应角平分线的比也等于k，同桌分工合作，尝试应用上述的方法进行证明.下面我们一起来看看证明过程，大家也判断一下自己的证明过程是否正确如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应中线的比.结论：相似三角形对应中线的比等于相似比ABCA'B'C'D'D解：如图，分别作出△ABC和△A'

B'

C'

的中线AD和

A'D'则∵△ABC

∽△A′B′C′∴∠B＝∠B'

，

∴△ABD∽△A'

B'

D'

（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）∴如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应角平分线的比.结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比ABCA'B'C'D'D解：如图，分别作出△ABC和△A'

B'

C'

的角平分线

AD和

A'D'，则∠BAD=∠B'A'D'

∵△ABC

∽△A′B′C′∴∠B＝∠B'

，∴△ABD∽△A'

B'

D'

（两角分别相等的两个三角形相似）∴总结：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.注意：在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.相似三角形的周长有什么关系呢？解：如图△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么因此AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'，从而结论：相似三角形周长的比等于相似比思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.由前面的结论，我们可以得到结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，ABCDEF∴例题巩固：

如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.∴△DEF

∽△ABC

，相似比为∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，∴△DEF的边EF上的高为×6=3，面积为（相似三角形对应高的比等于相似比，面积比等于相似比的平方）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似