沪科版九年级上册数学第三次月考试题含答案详解

沪科版九年级上册数学第三次月考试卷一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．抛物线的共同性质是（）A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是x轴 D．顶点都是原点2．要得到二次函数图象，可将的图象如何移动（）A．向左移动1单位，向上移动2个单位 B．向右移动1单位，向上移动2个单位C．向左移动1单位，向下移动2个单位 D．向右移动1单位，向下移动2个单位3．如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段的比值不可能是黄金比的是（）A．AB：BC B．BC：AC C．BC：AB D．AC：BC4．反比例函数图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y15．中，，D为的中点，，则的面积为（）A． B． C． D．6．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（）A． B． C． D．7．已知关于x的二次函数y=（x-h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（）A． B．或2 C．或6 D．或2或68．如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（）B．C．D．9．如果，那么＝（）．A．30° B．45° C．60° D．90°10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=0.6，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二、填空题11．已知，则=_________．12．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是________．13．如图，在△ABO的顶点A在函数（x＞0）的图像上∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为________．14．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，则tanA的值为_________15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是_____．三、解答题16．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为____．17．求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°18．已知二次函数与x轴的交点（-1，0）和（3，0），求其函数解析式并通过配方法求出函数的最大值．19．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．20．如图，已知△ABC中AD⊥BC于D，BE⊥AC于E．（1）求证：△CDE△CAB．（2）若∠C=60°，求S△CDE：S△CAB的值．21．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上M处的临皋亭和N处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．求临皋亭M处与遗爱亭N处之间的距离（计算结果保留根号）．22．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点的横坐标实数4，点在反比例函数的图象上.（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象回答：当为何范围时，；（3）求的面积.23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是；（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.(1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；(2)当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？25．如图1，锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，F是AC上的点，且∠AFE=∠A，DM//EF交AC于点M．（1）求证：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，①求证：△DEG∽△ECF；②从线段CE上取一点H，连接FH使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．参考答案与详解1．D【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标以及函数的最值逐一探讨得出答案即可．【详解】解：抛物线的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点；抛物线的开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为原点；抛物线的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点；故可知，抛物线的共同性质是顶点是原点．故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解答关键是应用数形结合思想解题．2．C【分析】根据图象平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．【详解】由的图象可向左移动1个单位，向下移动2个单位得到的图象．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移规律是解题关键．3．A【分析】根据黄金分割点的定义进行判断即可．【详解】如果点C是线段AB的黄金分割点，

则黄金比可能是BC：AC或BC：AB或AC：BC，不可能是AB：BC

故选：A．【点睛】本题考查了成比例线段，掌握知识点是解题关键．4．B【分析】先根据反比例函数的解析式判断出其函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3，判断出各点横坐标的大小即可．【详解】解：∵反比例函数中，-k2-1＜0，

∴函数图象的两个分支分别位于二，四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．

∵x1＜0＜x2＜x3，

∴（x1，y1）两点位于第二象限，点（x2，y2），（x3，y3）位于第四象限，

∴y2＜y3＜y1．

故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．5．B【分析】连接AD，用等腰三角形的“三线合一”，得到的度数，及，由得，得，计算的面积即可．【详解】连接AD，如图所示：∵，且D为BC中点∴，且，∴中，∵∴∴故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关键．6．B【分析】根据平行线的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD的值，本题得以解决．【详解】解：连接AE、EF，如图所示，

则AE∥CD，

∴∠FAE=∠BOD，

∵每个小正方形的边长为1，则∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，∴∴故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数定义、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．7．C【分析】依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h＜1、h＞3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方程，解之可得．【详解】∵中a=1＞0，∴当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大；①若1≤h≤3，则当x=h时，函数取得最小值2h，即3=2h，解得：h=；②若h＜1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，即，解得：h=2＞1（舍去）；③若h＞3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，即，解得：h=2（舍）或h=6，综上，h的值为或6，故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键．8．A【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【详解】解：∵，，∴，，又∵，∴，，∵，，∴四边形是矩形，I．当P在线段AD上时，即时，如解图1∴，∴，∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：依题意得：，∵，，∴，∴，∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．9．A【分析】利用因式分解法求出的值，再根据可得最终结果．【详解】解：原方程可化为：，解得：或，∵，∴，则，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程以及锐角三角函数的定义，熟记正弦的取值范围是解此题的关键．10．A【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC=0.6，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．【详解】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，

∴BD=AD，

∴CD+BD=8cm，再Rt中，cos∠BDC=0.6，∴CD=0.6BD=0.6(8-CD)∴CD=3cm，∴BD=5cm，由勾股定理得：BC=4cm故选：A．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．11．【分析】由题意可设，然后代入求解即可．【详解】解：，设，故答案为：．【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．12．＞【分析】二次函数开口向上，当x取任意实数时，都有y＞0，则−4ac＜0，据此即可列不等式求解．【详解】解：−4ac＝1−4m＜0，解得：m＞．故答案为：＞．【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点个数，个数由−4ac的符号确定，当△＝−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．13．【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．【详解】∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴，∴，∵四边形MNQP的面积为3，∴，∴S△ANQ＝1，∵，∴S△AOB＝9，∴k＝2S△AOB＝18，故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ＝1是解题的关键．14．【分析】根据勾股定理和三角函数即可解答．【详解】解：已知在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，设a＝x，则c＝3x，b＝．即tanA＝．故答案为：【点睛】本题考查勾股定理和三角函数，熟悉掌握是解题关键．15．【分析】根据余弦的定义解答即可.【详解】解：在Rt△ABC中，cosA＝＝，故答案为：.【点睛】此题考查解直角三角形，正确掌握三角函数的计算公式是解题的关键.16．或．【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【详解】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB-BM=7-x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7-x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，∴a2=22+（4-a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，∴a2=12+（3-a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．17．．【分析】把特殊角的三角函数值代入运算即可．【详解】解：原式．18．，，最大值是【分析】根据二次函数与x轴的交点（−1，0）和（3，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值．【详解】解：∵二次函数与x轴的交点（−1，0）和（3，0），∴，解得，即函数解析式为，∵＝，∴该函数的最大值是．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值、待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．两盏景观灯之间的水平距离2m．【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（0，5），抛物线的左端点坐标为（﹣5，0），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据两灯的纵坐标值，求横坐标，作差即可．【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知点A（﹣5，0）、B（5，0）、C（0，5），设抛物线解析式为y＝ax2+5，将点A（﹣5，0）代入，得：25a+5＝0，解得：a＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣x2+5，当y＝4时，﹣x2+5＝4，解得：x＝，则两盏景观灯之间的水平距离2m．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，20．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先证明△ADC△BEC，然后根据相似三角形的性质得出=，最后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明；（2）先求出，然后根据相似三角形的面积比为相似比的平方进行求解．【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ADC△BEC，∴=,∵∠C=∠C，∴△CDE△CAB．（2）解：∵△CDE△CAB，∴=，∵∠C=60°，∠ADC=90°，∴∠DAC=30°，∴=，∴S△CDE：S△CAB=．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似与相似三角形的性质是解题的关键．21．临皋亭M处与遗爱亭N处之间的距离为米．【分析】过M作MD⊥AC于D，设MD＝x，在直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AD与CD，根据AC＝AD＋CD即可列方程，从而求得MD的长，进一步求得AM的长；过B作BE⊥AN于E，在直角三角形中，利用三角函数即可求出AE与NE，再求出ME，从而求得MN．【详解】过M作MD⊥AC于D，设MD＝x，在Rt△MAD中，∵∠MAB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝MD＝x，在Rt△MCD中，∠MCA＝90°−60°＝30°，∴DC＝MD÷tan30°=MD＝x，∵AC＝600＋400＝1000，∴x＋x＝1000，解得：x＝500（−1），∴MD＝500（−1）m，∴AM＝MD＝500（−）（m），过B作BE⊥AN于E，∵∠MAB＝45°，∠BA＝75°，∴∠ANB＝60°，在Rt△ABE中，∵∠MAB＝45°，AB＝600，∴BE＝AE＝AB＝300，∴ME＝AM−AE＝500（−）−300＝500−800，在Rt△NBE中，∵∠ANB＝60°，∴NE＝BE＝×300＝100，∴MN＝100−（500−800）＝（800−400）m，即临摹亭M处与遗爱亭N处之间的距离是（（800−400）m．【点睛】本题考查了直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握方向角的概念，正确作出辅助线是解题的关键．22．（1）反比例函数的表达式为y=；（2）x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2；（3）△PAB的面积为15．【分析】（1）利用一次函数求得B点坐标，然后用待定系数法求得反函数的表达式即可；（2）观察图象可知，反函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞y2的解；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，则S△AOP=S△BOP，即S△PAB=2S△AOP，再求出点P的坐标，利用待定系数法求得直线AP的函数解析式，得到点C的坐标，然后根据S△AOP=S△AOC+S△POC，即可求得结果.【详解】（1）将x=4代入y2=得：y=1，∴B（4，1），∴k=xy=4×1=4，∴反比例函数的表达式为y=；（2）由正比例函数和反比例函数的对称性可知点A的横坐标为﹣4．∵y1＞y2，∴反比例函数图象位于正比例函数图象上方，∴x＜﹣4或0＜x＜4；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图，∵点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOP=S△BOP，∴S△PAB=2S△AOP，y1=中，当x=1时，y=4，∴P（1，4），设直线AP的函数关系式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，得，解得m=3，n=1，故直线AP的函数关系式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC=OC•AR+OC•PS=×3×4+×3×1=，∴S△PAB=2S△AOP=15．23．（1）（5，0）；（2）0≤x≤1；（3）（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）【分析】（1）根据已知条件将A点、C点代入抛物线即可求解；（2）观察直线在抛物线上方的部分，根据抛物线与直线的交点坐标即可求解；（3）先设动点M的坐标，再根据两个三角形的面积关系即可求解．【详解】（1）因为直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，所以当x＝0时，y＝5，所以C（0，5）当y＝0时，x＝1，所以A（1，0）因为抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，所以c＝5，1+b+5＝0，解得b＝﹣6，所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5．当y＝0时，0＝x2﹣6x+5．解得x1＝1，x2＝5．所以B点坐标为（5，0）．答：抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5，B点坐标为（5，0）；（2）观察图象可知：x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是0≤x≤1．故答案为0≤x≤1．（3）设M（m，m2﹣6m+5）因为S△ABM＝S△ABC＝×4×5＝8．所以×4•|m2﹣6m+5|＝8所以|m2﹣6m+5|＝±4．所以m2﹣6m+9＝0或m2﹣6m+1＝0解得m1＝m2＝3或m＝3±2．所以M点的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．答：此时点M的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.24．(1)w＝－10x2＋700x－10000(20≤x≤32)；(2)当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．【详解】分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；

（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；详解：（1）由题意