2024-2025学年高中数学第三章概率3.3模拟方法-概率的应用课时作业含解析北师大版必修3

PAGEPAGE6课时作业21模拟方法——概率的应用时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是(A)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：区间[2,3]长度为1，总区间[0,3]的长度为3，∴P＝eq\f(1,3).2.为了测算图中阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800粒芝麻，已知恰有200粒芝麻落在阴影部分内，据此可估计阴影部分的面积是(B)A．12 B．9C．8 D．6解析：正方形的面积为36，估计阴影部分的面积为eq\f(200,800)×36＝9.3．有四个嬉戏盘，假如撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的嬉戏盘为(A)解析：A嬉戏盘的中奖概率为eq\f(3,8)，B嬉戏盘的中奖概率为eq\f(1,3)，C嬉戏盘的中奖概率为eq\f(2r2－πr2,2r2)＝eq\f(4－π,4)，D嬉戏盘的中奖概率为eq\f(r2,πr2)＝eq\f(1,π)，A嬉戏盘的中奖概率最大．4．设A为圆周上肯定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径的概率为(D)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(2,3)5．已知函数f(x)＝log2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为(C)A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：欲使f(x)＝log2x≥0，则x≥1，而x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴x0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P＝eq\f(2－1,2－\f(1,2))＝eq\f(2,3).6．已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|2<x<3}，在集合A中任取一个元素x，则事务“x∈A∩B”的概率为(A)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：A∩B＝{x|2<x<3}，因为集合A表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A∩B表示的区间长度为3－2＝1.故事务“x∈A∩B”的概率为eq\f(1,6).7．如图，在矩形区域ABCD的A、C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率为(A)A．1－eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)－1C．2－eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)解析：本题考查几何概率的计算．无信号的区域面积为S1＝2×1－2×eq\f(1,4)×π×12＝2－eq\f(π,2)，而基本领件空间表示区域为矩形ABCD，其面积S＝2×1＝2，所以P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).选A.8．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(B)A.eq\f(π,12) B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)解析：因为正方体的体积为8，而半球的体积为eq\f(2,3)×13×π＝eq\f(2π,3)，那么点P到点O的距离大于1的概率为eq\f(8－\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).本题考查几何概型的概率，只要能确定所求概率为正方体减去半球的体积与正方体的体积之比即可得到结论．二、填空题(每小题5分，共15分)9．函数f(x)＝x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5，5]，使f(x0)≤0的概率是eq\f(7,10).解析：由f(x0)≤0得x0－2≤0，x0≤2，又x0∈[－5,5]，∴x0∈[－5，2]．设使f(x0)≤0为事务A，则事务A构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P(A)＝eq\f(7,10).10．小波通过做嬉戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为eq\f(13,16).解析：记事务A＝“打篮球”，则P(A)＝eq\f(π×\f(1,4)2,π×12)＝eq\f(1,16).记事务B＝“在家看书”，则P(B)＝eq\f(π×\f(1,2)2,π×12)－P(A)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,16)＝eq\f(3,16).故P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).11．已知点P是边长为4的正方形内任一点，则P到四个顶点的距离均大于2的概率是1－eq\f(π,4).解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD，分别以A、B、C、D为圆心，并以2为半径画圆截正方形ABCD后剩余部分是阴影部分．则阴影部分的面积是42－4×eq\f(1,4)×π×22＝16－4π，所以所求概率是eq\f(16－4π,16)＝1－eq\f(π,4).三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)现向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．解：∵正方形的面积为2×2＝4.又∵A(1，eq\f(2,3))，B(1，－1)，C(eq\f(1,6)，－1)，∴|AB|＝eq\f(2,3)－(－1)＝eq\f(5,3)，|BC|＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).∴S△ABC＝eq\f(1,2)·|AB|·|BC|＝eq\f(25,36).∴飞镖落在阴影部分的概率P＝eq\f(\f(25,36),4)＝eq\f(25,144).13．(13分)设m在[0,5]上随机的取值，求方程x2＋mx＋eq\f(m,4)＋eq\f(1,2)＝0有实数根的概率．解：方程有实数根，∴Δ＝m2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)＋\f(1,2)))≥0，∴m≤－1或m≥2.又∵m∈[0,5]，∴方程x2＋mx＋eq\f(m,4)＋eq\f(1,2)＝0有实数根的m的取值范围为[2,5]．∴方程x2＋mx＋eq\f(m,4)＋eq\f(1,2)＝0有实数根的概率为P＝eq\f(区间[2，5]的长度,区间[0，5]的长度)＝eq\f(3,5).——实力提升类——14．(5分)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事务“x＋y≥eq\f(1,2)”的概率，p2为事务“|x－y|≤eq\f(1,2)”的概率，p3为事务“xy≤eq\f(1,2)”的概率，则(B)A．p1<p2<p3 B．p2<p3<p1C．p3<p1<p2 D．p3<p2<p1解析：x，y∈[0,1]，事务“x＋y≥eq\f(1,2)”表示的区域如图(1)中阴影部分S1，事务“|x－y|≤eq\f(1,2)”表示的区域如图(2)中阴影部分S2，事务“xy≤eq\f(1,2)”表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知，阴影部分的面积S2<S3<S1，正方形的面积为1×1＝1.依据几何概型的概率计算公式，可得p2<p3<p1.15．(15分)甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有