2024-2025学年高中数学第1章常用逻辑用语1.11.1.1命题教师用书教案新人教A版选修1-1

PAGEPAGE11.1命题及其关系1.学习目标核心素养1．理解命题的概念，能推断给定的语句是不是命题．(重点)2．驾驭推断命题真假的方法，能推断命题的真假．(难点、易错点)3．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点)借助命题真假的判定培育逻辑推理素养.1．命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以推断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命题：推断为真的语句,假命题：推断为假的语句))思索1：(1)“x－1＝0”(2)“命题肯定是陈述句，但陈述句不肯定是命题”这个说法正确吗？[提示](1)“x－1＝0”(2)正确．依据命题的定义，命题肯定是陈述句，但陈述句中只有能够推断真假的才是命题．2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．思索2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？[提示]条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．1．下列语句中，命题的个数是()①空集是任何集合的真子集．②请起立！③单位向量的模为1.④你是高二的学生吗？A．0 B．1C．2 D．3C[①③正确．]2．下列语句是命题的是()①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2024央视猪年春晚真精彩啊！A．①②③ B．①③④C．①②⑤ D．②③⑤A[①、②、③是陈述句，且能推断真假，因此是命题，④不能推断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]3．把命题“末位数字是4的整数肯定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________________________．[答案]若一个整数的末位数字是4，则它肯定能被2整除命题的推断【例1】(1)下列语句为命题的是()A．x2－1＝0 B．2＋3＝8C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.(1)B(2)①④[(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法推断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法推断真假．(2)①中x有范围，可以推断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法推断真假，因此不是命题；④是陈述句且能推断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]推断一个语句是否是命题的两个关键点1命题是可以推断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.2对于含变量的语句，要留意依据变量的取值范围，看能否推断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.提示：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题.eq\o([跟进训练])1．推断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线肯定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满意指数函数的定义，为真命题．(2)不是命题，不能推断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能推断真假．(4)疑问句，不是命题．(5)是命题，能推断真假．(6)不是命题，不能推断真假．命题真假的推断【例2】推断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1<0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列肯定为递增数列．[解](1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满意2x＋1<0.(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．命题真假的判定方法1真命题的推断方法要推断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如依据已学过的定义、公理、定理证明或依据已知的正确结论推证.2假命题的推断方法,通过构造一个反例否定命题的正确性，这是推断一个命题为假命题的常用方法.eq\o([跟进训练])2．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②同一平面内四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．①④[①④是真命题，②同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不肯定是正方形，③平行四边形不是梯形．]命题的构成【例3】(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断命题的真假．①实数的平方是非负数；②等底等高的两个三角形是全等三角形；③当ac>bc时，a>b；④角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[思路点拨]eq\x(分析条件和结论)→eq\x(写成“若p，则q”形式)→eq\x(推断真假)(1)一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧[命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．](2)[解]①若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．②若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题．③若ac>bc，则a>b.假命题．④若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．eq\o([跟进训练])3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)当eq\f(1,a)>eq\f(1,b)时，a<b；(2)垂直于同一条直线的两个平面相互平行；(3)同弧所对的圆周角不相等．[解](1)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a<b.(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等.1．依据命题的定义，可以推断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题须要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写出“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．1．推断正误(1)陈述句都是命题． ()(2)含有变量的语句也可能是命题． ()(3)假如一个语句推断为假，那么它就不是命题． ()(4)有些命题在形式上可以不是“若p，则q”的形式． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是()A．红豆生南国 B．春来发几枝C．愿君多采撷 D．此物最相思A[“红豆生南国”是陈述句，所述事务在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能推断真假，不是命题，故选A．]3．下列命题是真命题的为()A．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列C．若|x|<y，则x2<y2D．若a＝b，则eq\r(a)＝eq\r(b)C[对于A，若a＝1，b＝－2，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A是假命题．对于B，当a＝b＝0时，满意b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．对于C，因为y>|x|≥0，则x2<y2是真命题．对于D，当a＝b＝－2时，eq\r(a)与eq\r(