【题型方法解密】专题09 数列6类常考题型(原卷及答案)-高考数学常考点 重难点复习攻略（新高考专用）

专题09数列6类常考题型

目录

一常规题型方法.......................................................1

题型一等差数列的基本量计算与性质........................................1

题型二等比数列的基本量计算与性质........................................4

题型三等差数列与等比数列的应用..........................................6

题型四等差数列与等比数列的证明..........................................7

题型五数列的通项........................................................9

题型六数列的求和.......................................................10

二针对性巩固练习....................................................12

练习一等差数列的基本量计算与性质.......................................12

练习二等比数列的基本量计算与性质.......................................13

练习三等差数列与等比数列的应用.........................................14

练习四等差数列与等比数列的证明.........................................15

练习五数列的通项.......................................................15

练习六数列的求和.......................................................16

常规题型方法

题型一等差数列的基本量计算与性质

【典例分析】

典例1-1.（湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期11月一轮复习诊断考试（二）

数学（文科）试题）已知公差不为零的等差数列｛q｝中，％+6=14,且4,火，出

成等比数列，则数列｛6｝的前9项的和为（）

A.IB.2C.81D.80

典例12（2021・陕西・无高二期中（理））已知等差数列｛&｝的前〃项和为S.，若今=6,

则兴的值为（）

012

A—B—C—D-

,17,10.14•8

典例1-3.（2022•江苏省震泽中学高二阶段练习）已知S”,7；分别是等差数列｛q｝与｛2｝

的前"项和，且是=相（"=12），则徐+儡=（）

A.AlB.£C.SD.崂

20788242

典例1-4.（2022・北京・北师大实验中学高三期中）若等差数列｛q｝满足

%+%+%＞。，/+%0V。，则当｛q｝的前〃项和的最大时，〃的值为（）

A.7B.8C.9D.8或9

典例1-5.（2022・陕西・咸阳市高新一中高三开学考试（文））已知等差数列｛4｝的前

〃项和为工，且4＞几＞兀，则满足J＞0的正整数〃的最大值为（）

A.11B.12C.21D.22

典例1-6.（2023•全国•高三专题练习）已知是等差数列｛〃〃｝的前〃项和，若4/=

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【方法技巧总结】

1.技巧：等差数列的基本量计算分为通法和巧法，通法是将条件或问题都化为首相

和公差利用方程组的方法来进行求解，巧法是结合等差数列的性质和一些结论公式

可以更快的做出结果。

2.性质：

⑴对于等差数列也〃｝,若tnIn=pIq=2kt则a）n+%=ap-I-aq=2ak.

⑵若数列｛《J与MJ为等差数列，则｛paH+qb“）仍为等差数列.

⑶奇数项和：S2〃_|=（2"-1）。〃，偶数项和：S2n=，（即+册+1）・

（4）等差数列｛%｝的前〃项和为S“，则S"，S犷S”,Sin-S2n成等差数列.

⑸若等差数列｛〃”｝的前2〃-1项的和为52小，等差数列也,｝的前2〃-1项的和为42,则

$2”1_an

（6）2=&〃+（4-4）是关于〃的一次式或常数函数，则｛2｝也是一个等差数列.

n22n

【变式训练】

1.（2022•甘肃•兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知数列｛/｝满足

2q=61+47（〃-2）,。2+。4+4=12,4+/+6=9,则4+%等于（）

A.6B.7C.8D.9

2.（2022•黑龙江・哈尔滨市第六中学校高二期末）在等差数列上｝中，其前〃项和为S”,

若S?]:S?=6:1,贝I]=（）

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

3.（2022・全国•高三专题练习）设等差数列也｝与等差数列低｝的前〃项和分别为S“，

C*。11

人若对于任意的正整数〃都有贝＜）

in3〃T与

A35n3131n35

A.—B.—C.—D.—

52504846

4.（2022・安徽•六安一中高三阶段练习）已知｛%｝为等差数列，3为也｝的前〃项和.

若标＞0,%+%＜。，则当S”取最大值时，〃的值为（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2022•福建省福州第八中学高三期中）设等差数列｛4｝的公差为"，其前〃项和

为S.，且$5=几，/+%＜（）,则使得鼠＜0的正整数〃的最小值为（）

A.16B.17C.18D.19

6.（2022・全国•高三专题练习）等差数列｛q,｝的前〃项和为S“，若焉=篇+］且

4=3,则（）

A.凡=2〃+1B.an=n+\

22

C.Sn=2n+〃D.Sn=4/z-n

题型二等比数列的基本量计算与性质

【典例分析】

典例2-1.（2022・陕西・宝鸡中学高三阶段练习（理））已知S”为等比数列｛q｝的前〃

S

项和，若%-%=12,4-a=24,则一（）

A.15B.—14C.—D.一~—

88

典例2・2.（2022・全国•高三练习）设等比数列｛6｝的前〃项和为工，若S6：S,=1:2,

则S9'.S3=（）

A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3

典例2-3.（2022•江西赣州•高三期中（理））设公比为9的等比数列｛q｝的前〃项和为

S”，前〃项积为力,，且4>1,02gm>1,&*CO,则下列结论正确的是（）

a2022T

A.4>1B.S2021s2022-1>°

c.7”是数列亿｝中的最大值D.数列亿｝无最大值

变式24（2022・全国•高二）已知等比数列也｝共有32项，其公比9=3,且奇数项

之和比偶数项之和少60,则数列｛凡｝的所有项之和是（）

A.30B.60C.90D.120

【方法技巧总结】

1.技巧：等比数列的基本量计算也分为通法和巧法，通法是将条件或问题都化为首

相和公比利用方程组的方法来进行求解，巧法是结合等比数列的性质和一些结论公

式可以更快的做出结果，

2.性质：

（1）在等比数列中，若m+〃=p+q,则4”

⑵在等比数列中，若团+〃=23贝!la,”

⑶若｛〃”｝与也｝是等比数列，贝忖｝,｛而也｝和［等］（4。0）仍是等比数

qJ2.

列.

（4）若数列｛4｝是等比数列，S”是其前〃项的和，S“，S2〃,S3,分别为｛4｝的前〃项

和，前2〃项和，前3〃项和，则S〃，S2n-sn,S.-2“成等比数列（〃是偶数，q=—l

时不成立）

【变式训练】

1.（2022・甘肃•民勤县第一中学高二期中）已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，若％=8,

&=9S,,则《=（）

A.yB.1C.2D.4

2.（2022・全国•高二）设等比数列｛4｝的前〃项和为鼠，若S8=2S一则赍-的值是

入一04

（）

A.—4B.3C.—3D.4

3.（2020・全国•高三专题练习）设等比数列｛叫的公二匕为心其前〃项和为3.，前〃项

积为，，并且满足条件则下列结论正确的是（）

A.q>iB.0<«,<1C.S”的最大值为S?D.。的最大值为八

4.（2022・全国•高三专题练习）已知等比数列｛〃”｝中，4=1,4+4++。”+L85,

。2+q++a2k=42，贝心=（）

A.2B.3C.4D.5

题型三等差数列与等比数列的应用

【典例分析】

典例3-1.（2022・全国•高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：

“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是

把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个

儿子分到的绵是（）

A.65斤B.82斤C.167斤D.184斤

典例32（2022・四川资阳•一模（理））“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载

埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.“十二平均

律”是将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一

个单音的频率与它的前一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第

一个单音频率的2倍.如图，在钢琴的部分键盘中，小这十三个键构

成的一个纯八度音程，若其中的4（根音），％（三音），/（五音）三个单音沟成

了一个原位大三和弦，则该和弦中五音与根音的频率的比值为（）

D.V?

【方法技巧总结】

1.技巧：将实际问题转为等差、等比数列的基本量计算问题。

2.注意：文言文的题型只需看译文部分即可，生活实际问题需结合一些常识来转换

为数列问题。

【变式训练】

1.（2022・江苏・常州市第一中学高三开学考试）我国古代数学著作《周髀算经》中记

载了二十四节气与愚长的关系：每个节气的唇长损益相同.愚是按照日影测定时刻的

仪器，唇长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气唇长

减少或增加的量相同，且周而复始.二十四节气及淤长变化如图2所示.已知谷雨时节

唇长为5.5尺，霜降时节唇长为9.5尺，则二十四节气中唇长的最大值为（）

外逐渐坐

V春分会

雨生惊俭0清明蒙

A.14.5B.13.5C.12.5D.11.5

2.(2022・河北・三河市第三中学高三阶段练习)中国古代数学著作《算法统宗》中有

这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到

其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其意思为：有一个人走378里路，第一

天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的

地，请问第三天走了()

A.192里B.96里C.48里D.24里

题型四等差数列与等比数列的证明

【典例分析】

典例4-1.(2022・全国•高二课时练习)己知数列｛叫满足4=1,且4=2，*+2”(〃22).

(1)求生，。3；

(2)证明：数列悖｝是等差数列；

(3)求数列｛〃,｝的通项公式外.

典例4-2.（2020•山东省青岛第十七中学高二期中）已知数列｛《,｝的前〃项和为S”,

且满足4=-2S£T（〃之2）.

（1）求证：数列！是等差数列.

（2）求凡.

典例4-3.（2022・四川绵阳•一模（理））已知数列｛q｝满足：4=；,%=1,

（）.

（|）证明：数列m.「数是等比数列;

（2）求数列｛qr｝的通项公式.

【方法技巧总结】

1.技巧：证明题有两套方法，第一种：构造法，通过对条件的处理，最后构造为所

证数列的递推式关系，从而证明为等差或等比；第二种：定义法：把所证数列按定

义写出递推关系式，通过条件（整理）带入，达到消元的效果从而化简为常数，即

公差或公比。

2.注意：构造法和定义法各有优点，构造法很多时候速度更快一些，但不同的题构

造的方向和方法都不尽相同，所以需要非常全面的构造能力才可以。定义法也是万

能法，对于所有证明题方法流程都一样，不需要构造的能力，虽然速度不快，但流

程固定，不需要很强的理解能力。

【变式训练】

9

1.(2021・湖北•石首市第一中学高二阶段练习)数列®｝满足4=6———〃之2).

an-\

⑴求证：数列是等差数列.

(2)若4=6,求数列｛q｝的通项公式

2.(2021♦湖北•武汉市洪山高级中学高二阶段练习)设S”为数列｛4｝的前〃项和，且

5=|£“=2-2

(1)证明：数列［小力是等差数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

3.(2021.重庆市长寿中学校高二阶段练习)已如数列｛4｝满足4=1,，叼*=2(〃+1)%.

(1)求证:标｝是等比数列.

(2)求凡.

题型五数列的通项

【典例分析】

典例5-1.（2022・山东・济宁市育才中学高三开学考试）设S“为数列｛4｝的前〃项和，

且4==S”,〃eN\则an=.

典例5-2.（2022・宁夏・吴忠中学高二期中（理））已知数列｛。“｝满足q=18,4"+「q=2〃,

则工的最小值为.

n

典例5-3.（2022・全国•高三专题练习）己知数列｛%｝满足，4=3,且%+产瘾T，则数

列｛q｝的通项公式为“产.

典例5-4.（2022•上海市晋元高级中学高一期末）设数列｛q｝满足卬=1,且

%=X->+4（此2）,则数列"｝的通项公式为4=.

【方法技巧总结】

1.方法：利用Sn求斯通项、累加法，累乘法、构造法（同除法，待定系数法），

2.技巧：利用5n求册通项时需注意检验首项，累加法与累乘法不难理解，但最容易

做题时忘记这两方法，因而一定要熟悉他们的适用情况，构造法也是需要熟悉各自

适用的模型，进而选择同除法或是待定系数法。待定系数法三种模型如下：

（1）形如%+|=P%+q的解析式

设%+4=〃（q+丸）,求出兄，则｛4+2｝是公比为〃的等比数列

（2）形如。用=4q+8。型

可化为见向+2-C"M=A（4+4・C〃）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求.特

别的，当A=C时我们往往也会采取另一种方法,即左右两边同除以,重新构造数列，

来求an.

（3）形如隔=Aa“+Bn+C的解析式

可化为qm+45+1）+4=4风+4〃+4）的形式来求通项.

【变式训练】

1.（2022・全国•高三专题练习）已知数列也｝满足犷制++金=号（〃0

则氏=.

2.（2022・福建・莆田一中高二期中）已知数列｛4｝满足45.=（2〃+1）4+1（〃61＜）,则4=

3.（2022•全国•高三练习）数列｛叫满足％“=5a”+3x5”\4=6,则数列｛叫通项公

式为•

（Y+l

4.（2022・全国•高三专题练习）已知在数列｛4｝中，《=入5，.=也I+旧1，则/=

3\乙）

题型六数列的求和

【典例分析】

典例6-1.（2023届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题）已知数列｛q｝满

足羽+2?为+-++2&=（2w-3）-2M+,+6.

⑴求｛4｝的通项公式；

（2）若bn=2%+4,求数列也｝的前〃项和7。.

典例6・2.（2021•四川•南江县小河职业中学高三期末）已知数列｛〃”｝为公差不为。的

等差数列，生=3,且lcg2q,log2a3,log2a7成等差数列.

⑴求数列｛〃”｝的通项公式：

⑵若数列出｝满足"二一一,求数列｛优｝的前〃项和.

Gnan^\

典例6-3.（2022・陕西•虢镇中学高二期中）在①2q「S.=l；②q=1,5向-25“=1；③

a">0,q=l，d.「64.产2〃〉这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所

给问题.已知数列｛4｝的前几项和为Sn,且满足________.

⑴求《，与S”；

⑵记2=⑵一1）%，求数列也｝的前〃项和Tn.

【方法技巧总结】

1.方法：分组求和、裂项相消、错位相减。

2.技巧：分组求和：数列由两个会求和的简单数列相加或相减组成。可分别求和再

相加或相减；裂项相消要注意相消的规律，需要多背一些模型；错位相减：特征为

一个等差数列乘或除一个等比数列，流程比较固定。裂项相消的一部分模型如下:

I11I1

⑴4〃==a=---------=一(-)------

nn+\〃(〃+2n)2nn+2

111

a=---------=—(-----------)

nn(n+k)knn+k

2"T11

⑵。”=

(2W-,i1)(2Mi1)2n_,I1Ti1

4/

⑶q=(-1)"=(R(----+-----)

(2"—1)(2〃+1)2n-i2n+1

2湍"1

j2”+

⑸%=—j=~~7==4

3.注意：并项求和、奇偶求和、倒序相加等其他求和方法会在第二篇里训练。

【变式训练】

1.(2022・广西贵港•高三阶段练习(理))已知在等比数列｛〃”｝中，4+%=4,且外,

生+2,%成等差数列，数列他｝满足差>0力=1,%->=2(%+数).

(1)求｛q｝的通项公式；

(2)设q,=,求数列匕,｝的前〃项和7；.

2.(湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期11月一轮复习诊断考试(二)数学(文

科)试题)己知数列｛叫的各项均为正数，且对任意的〃eN都有言+墨++墨=”.

(I)求数列｛见｝的通项公式；

(2)设。…〃("NJ,且数列他,｝的前〃项和为7；，问是否存在正整数加，

(〃+I)IOg2

对任意正整数〃有金恒成立？若存在，求出川的最大值；若不存在，请说明

理由.

3.(2022•安徽•蒙城第一中学高三阶段练习)已知数列乩｝的前.〃项和为

S”,q=3,(〃-l)S“=〃S,i+/-〃(心2).

(I)求数列｛q｝的通项公式；

⑵令2喙，求数列低｝的前f项和小

针对性巩固练习

练习一等差数列的基本量计算与性质

1.(2022・山东・微山县第二中学高三期中)己知数列｛4｝成等差数列，其前〃项和为

S”，若4=5，邑=Sg,则不=()

A.7B.6C.5D.4

2.（2022・全国•高二课时练习）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S.，若邑=9,§6=63,

则为+%+。9等于（）

A.63B.71C.99D.117

3.（2022•安徽宿州•高二期中）已知两个等差数列｛《,｝和他,｝的前几项和分别为4和

crA,2〃+1r,A+a

纥,且瓦,则I^二（）

A.yB.普C.SD.

3391957

4.（2022・广东•高三学业考试）数列｛%｝前〃项和为3，且q=-10,6rn+1=%+3（〃wN*）,

则S“取最小值时，〃的值是（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2022•四川成者B•高一期中（理））已知等差数列的前〃项和为S.,若q>0,

且兀=九，则使S”>。成立的最大〃值为（）

A.13B.14C.26D.27

6.（2022・河北•河间一中高三开学考试）在等差数列｛〃"｝中，4=-2021,其前〃项和

为加若亲T=2,则S?⑼等于（）

10o

A.2021B.-2021C.-2020D.2020

练习二等比数列的基本量计算与性质

7.（2022•天津市宝垠区第一中学高三期中）已知等比数列｛%｝的公比为心前4项

的和为4+14,且令%+1吗成等差数列，则好（）

A.2或gB.\C.1或-1D.1

8.（2022・陕西•武功县普集高级中学高二阶段练习）设等比数列｛%｝中，前〃项和为

S“，已知星=8,S6=7,则生+%+%等于（）

A.1B.-1C.?D.?

8888

9.（2023・全国•高三专题练习）设等比数列｛q｝的公比为9,其前〃项和为S”，前〃项

积为并且满足条件4＞1,即%＞1,叫＜（）,则下列结论正确的是（）

A.6例＞1B.。＜夕＜1C.3的最大值为S7D.，的最大值为4

10.（2022•全国•高三专题练习）已知项数为奇数的等比数列｛凡｝的首项为1,奇数项

之和为21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为（）

A.5B.7C.9D.II

练习三等差数列与等比数列的应用

11.（2022•黑龙江•哈尔浜市阿城区第一中学校高一阶段练习）干支纪年法是中国历

法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未，申、西、戌、

亥为地支.把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对寅，

其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戊、乙对亥、…接下来地支循环,

丙对子、丁对丑、.，以比用来纪年，今年2022年是壬寅年，那么共青团成立时的

1922年是（）

A.戊辰年B.壬戌年C.庚午年D.辛子年

12.（2022•北京顺义•高二期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：

今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、"马主日：“我马食

半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾

苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主

人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试

问；该问题中牛主人应偿还（）斗粟

练习四等差数列与等比数列的证明

13.（2022•江苏・泰州中学高二开学考试）已知数列｛q｝中，q=2,

%=2-一—（«>2,HG^）,设h=—!—（//wN

n、.

H-1

（1）求证:数列也｝是等差数列;

⑵求｛《,｝的通项公式.

s

14.（2022・福建・莆田一中高二期末）设数列｛4｝的前〃项和S.,满足5向=正式，

且％=1.

（1）证明：数歹I」］"为等差数歹IJ;

（2）求｛勺｝的通项公式.

15.（2022•湖南岳阳一模）数列｛%｝满足％=1,S.T=4%+3.

⑴求证：数列是等比数列；

（2）求数列｛qj的通项公式.

练习五数列的通项

16.（2021•山西大附中高三阶段练习（文））已知数列｛4｝满足条件

；四十营%+M%++/4-2〃+5,则数列｛4｝的通项公式为,

17.（2022・上海市进才中学高二阶段练习）若4=1,—i=〃eN,则““二

18.(2022•黑龙江.建三江分局第一中学高二期中)己知数列｛q｝满足4=1,且

4讨=含.贝I数歹心勺｝的通项公式为4=.

19.(2020♦河南河南•二模(文))数列｛%｝中，q=l,且4M=q+3〃+1,则通项公

式.

练习六数列的求和

20.(2022・广东佛山・高三阶段练习)已知数列｛〃“｝为非零数列，且满足

kAai)\aJUJ

⑴求数列｛4｝的通项公式：

(2)求数歹小卜〃•的前，!项和S”

21.(2022•山东•济宁市育才中学高三开学考试)已知数列｛册｝的前〃项和为5„，且

4s0=(2〃-l)q田+1,%=1.

(1)求数列｛Q,｝的通项公式；

13

(2)设a=-7T=,数列｛原｝的前〃项和为几，证明(＜彳.

a

nV，2

22.(2022•江西・南昌二中高三阶段练习(理))已知首项为2的正项数列小｝满足

(I)求数列｛勺｝的通项公式；

⑵若2=31og2《「l,求数列｛《/“｝的前〃项和

专题09数列6类常考题型

目录

一常规题型方法.......................................................1

题型一等差数处的基本量计算与性质........................................1

题型二等比数列的基本量计算与性质........................................7

题型三等差数列与等比数列的应用.........................................12

题型四等差数列与等比数列的证明.........................................15

题型五数列的通项.......................................................21

题型六数列的求和.......................................................25

二针对性巩固练习....................................................32

练习一等差数列的基本量计算与性质.......................................32

练习二等比数列的基本量计算与性质.......................................35

练习三等差数列与等比数列的应用.........................................37

练习四等差数列与等比数列的证明.........................................38

练习五数列的通项.......................................................40

练习六数列的求和.......................................................42

常规题型方法

题型一等差数列的基本量计算与性质

【典例分析】

典例1-1.（湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期11月一轮复习诊断考试（二）

数学（文科）试题）己知公差不为零的等差数列｛4｝中，/+%=14,且⑷，电，为

成等比数列，则数列｛q｝的前9项的和为（）

A.1B.2C.81D.80

【答案】C

【分析】由题知4=7,嫉=。用，进而根据等差数列通项公式解得4=2,再求和即

可.

【详解】因为6+6=14,所以24=14,解得《=7.

又％,%，生成等比数列，所以城=4%.设数列｛叫的公差为乙

则（4-%）2=（%-34）（《+4）,即（7-2"『=（7-34）（7+4）,整理得2d=0.

因为dwO,所以d=2.

所以也&山=设21=81.

22

故选:C.

典例1-2.（2021・陕西•无高二期中（理））已知等差数列｛4｝的前〃项和为S.,若率=6,

则3的值为（）

°12

A.—B.—C.—D.I

1710148

【答案】B

【分析】根据题意S3，S6-S3，S）-S6，7-S9成等差数列，设s『k凡=6k,即可求出.

【详解】因为｛叫为等差数列，所以邑,56-53应-56，与-59成等差数列,

因为含=6、设S、=k、Sq=6k,

i2（S6-S3）=S3+（S9-S6）,即2（S6-Z）=Z+（6Z—S6）,则工=3火，

所以兀-邑=43所以％=10%,

-3

所以耳？一而，

故选:B.

典例13（2022•江苏省震泽中学高二阶段练习）己知S”,7；分别是等差数列｛%｝与也｝

的前〃项和，且率=芸（〃=1,2,）,贝|石*+房=（）

T.4/7-24+48%+々5

A.।B.2C.黄D.生

20788242

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质可得：4+九=4+九，将所求的式子化简，再利用等

差数列前.〃项和即可求解.

【详解】因为数列也｝是等差数列，所以4+%=4+如，

所以一+』一=纽四，

八瓦十%4+生a十九

又因为S.Z分别是等差数列｛为｝与电｝的前〃项和，且是二答|（〃=1,2,）,

斯Dj4。।即=4（：+4“=4+.2。一S"=2x20+1=41

"+九—R+九一4+%一4-4x20—2-78,

故选：B.

典例14（2022•北京北师大实验中学高三期中）若等差数列｛q｝满足

%+%+%>0.%+%<0,则当｛%｝的前〃项和的最大时，〃的值为（）

A.7B.8C.9D.8或9

【答案】B

【分析】首先明确当｛q｝的前〃项和的最大时,。”2。《向《0；再根据等差数列的下标

性质，找出满足上述条件的〃的值即可.

【详解】因为%+勾+%=3%>。，所以外>。，

因为e+4o=6+q<0,所以&<0.

所以当｛%｝的前.〃项和的最大时，〃的值为8.

故选：B.

典例1-5.（2022・陕西・咸阳市高新一中高三开学考试（文））己知等差数列的｝的前

〃项和为3,且L>%>兀，则满足篦>0的正整数〃的最大值为（）

A.11B.12C.21D.22

【答案】C

【分析】由S“>Sio>S12可知%>0,42<。，41+42<0，则可知S2i>O,S23<O,S22<。，由

此即可选出答案.

【详解】因为解

$-几=4>0

所以1兀-耳］=%<0

&=止衿1〉0

4+%[=2《|>0

s”=叱誓<0,

所以•q+出3=2%<0故，

4+aa+Cl

22~\\\l<°S（4+%）22<0

-2

所以满足s.>0的正整数〃的最大值为21.

故选：C.

典例1-6.（2023・全国•高三专题练习）已知S〃是等差数列｛即｝的前〃项和，若。/=

-2018,益一*=6,则S202。等于()

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【答案】C

【分析】根据等差数列前〃项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】・・・5〃是等差数列｛加｝的前〃项和，，数列｛&｝是等差数列.

n

•：at=-2018,9_纭=6,

20192013

・•・数列｛与｝的公差d=g=l,首项为-2018,

n6

.,.^-=-2018+2019x1=1,

2020

§202。=2020.

故选：C.

【方法技巧总结】

1.技巧：等差数列的基本量计算分为通法和巧法，通法是将条件或问题都化为首相

和公差利用方程组的方法来进行求解，巧法是结合等差数列的性质和一些结论公式

可以更快的做出结果。

2.性质：

(1)对于等差数列｛4｝,若>n+n=p+q=2k,贝|Ja,”十，“一%,+%=2ak.

⑵若数列｛att｝与｛bn｝为等差数列，贝心paH+qb,,｝仍为等差数列.

(3)奇数项和:S2M=(2〃-1)可，偶数项和：S2n=:(即+*1).

(4)5“，邑“，S3fl分别为他〃｝的前〃项和，前2〃项和，前3〃项和，…则5〃,

S2.-S,,s—s?”成等差数列.

⑸若等差数列｛4｝的前2〃-1项的和为Szz，等差数列｛2｝的前2〃-1项的和为,则

S2n7_an

T2n",

（6）i=-,7+（a,--）是关于〃的一次式或常数函数，则｛8｝也是一个等差数列.

〃22n

【变式训练】

1.（2022•甘肃•兰州市外国语高级中学高三阶段练习（文））已知数列也｝满足

2。“=。,1+4+1（几・2）,生+〃4+4=12,4+6+4=9,则等于（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】先判断数列为等差数列，结合等差数列的性质可求结果.

【详解】•・・〃=*+,（〃1），・.・｛%｝是等差数列.

由等差数列的性质可得出+4+4=3卬=%,q+%+4=3%=9,

，4=4,%=3,生+为=。3+。4=3+4=7.

故选：B.

2.（2022.黑龙江.哈尔滨市第六中学校高二期末）在等差数列｛《J中，其前〃项和为S“,

若%：§7=6:1,则与:九二（）

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

【答案】D

【分析】根据等差数列前〃项和的性质求解即可

【详解】由等差数列前〃项和的性质可得，与加鹏岛-差岛7费成等差数列,

设则％=6$,艮］$,14一$,6S-跖成等差数歹1」，故2（S|4—S）=S+6S—S”傩得

，4=3$,故S7，Sj4-S7，S2]-S]4，S28-S2i即s,2s,3s,4s,故$28-6$=4$,528=105,故

SM:S14=10:3

故选：D

3.（2022,全国•高三专题练习）设等差数列｛4｝与等差数列出｝的前〃项和分别为S.，

若对于任意的正整数〃都有二二07，贝＜）

A・鲁B.C.D.g

52504846

【答案】B

【分析】先设邑=（2〃+1）“，7＞（3〃-1）川，由4=$8$2=7；-7；直接计算向即

可.

【详解】设S.=（2〃+l）%7＞（3〃-1）“，…0.贝l]/=S8-S7=136-105f=31」,

31

d=『7；=234-184，=50f,所以詈=云.

A；5（）

故选：B.

4.（2022・安徽•六安一中高三阶段练习）已知也｝为等差数列，3为｛%｝的前〃项和.

若s“＞0,6+%＜0,则当S”取最大值时，〃的值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根据等差数列的距=11必＞。=%＞0,且生+%=4+%＜。，由此可以得到

%＜0,结合条件结论即可得到.

【详解】在等差数列中，因为S“=业宇卫=114＞。，

所以〃6＞0，又4+4＜（）,所以4+%＜（），所以的＜。，

所以有该等差数列首项%＞。，公差，＜0,所以（£Ja

故选:D.

5.（2022•福建省福州第八中学高三期中）设等差数列｛4｝的公差为4,其前〃项和

为S“，且邑=席，4+也＜。，则使得5“＜。的正整数〃的最小值为（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质及已知分别判断如、九、儿的符号即可.

【详解】由S5=S13，得％+%+L+"]2+"13，

因为｛4｝是等差数列，所以。6+63=。，&+44=2%CV。，即）＜0,

。6+〃14=。6+43+"=''<°，2%=4+1】2>4+《2+〃=〃6+《3=°，4>°，

IQ

所以，9=5(6+q9)=19即)V0，

18

儿=~(^1+/)=9(4+&)=。

17

力=5(%+%)=17%>。

使得s”＜。的正整数〃的最小值为19.

故选:D.

6.（2022・全国•高三专题练习）等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若黑=糕+1且

6=3,则（）

A.q=2〃+1B.an=n+\

22

C.Sn=2n+nD.Sn=4n-n

【答案】A

【分析】等差数列前〃项和工构成的数列｛与｝为等差数列，公差为原数列公差的一

n

半.

【详解】设｛4｝的公差为",

・..邑=叫+眠〃

.・.,=q+〃一1

2

即1$｝为等差数列，公差为(

../?(3+2n+l),

故a-2/2+1,S=---------------=n'+In-

n"n2

故选：A.

题型二等比数列的基本量计算与性质

【典例分析】

典例2-1.(2022・陕西・宝鸡中学高三阶段练习(理))已知S.为等比数列｛《,｝的前

项和，若%一见=12,4-4=24,则'=()

Cl4

A.15B.-14C.-D.一■—

88

【答案】C

【分析】两式联立，可求出首项和公比，代入求解即可.

【详解】设｛4｝公比为今显然#1,由己知得，『一”二1，

&一%=24

所以4=%"4=2,故%-%=166-4%=12,即％=1,

%(1-力

所以，S4_\-q15

a44g,8

故选：c.

典例2-2.(2022・全国•高三专题练习)设等比数列｛端的前〃项和为S,，若录0=1:2,

则Sg：S3=()

A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3

【答案】C

【分析】利用等比数列前〃项和的性质s*,S”-工，％-S…s4A-su,L成等比数

列求解.

【详解】解：因为数列｛4｝为等比数列，则S3,S6-S3,$9-邑成等比数列，

设S3=〃L则则S6-S3=-£,

故S6s3=1_1=_；,所以S一$6=；,得到$9=，，所以今=1.

故选：C.

典例2-3.(2022•江西赣州•高三期中(理))设公比为9的等比数列｛q｝的前〃项和为

a—1

S”,前〃项积为且外41,^2021^2022＞1，=\，0,则下列结论正确的是()

42022T

A.“＞IB.S2021sM2-1＞。

c.G22是数列｛1｝中的最大值D.数列5｝无最大值

【答案】B

【分析】由题分析出。＜夕＜】，可得出数列｛&｝为正项递减数列，结合题意分析出正

项数列｛为｝前2021项都大于1,而从第2022项起都小于1,进而可判断出各选项的正

误.

【详解】当夕＜0时，则见⑼生022⑼4V。，不合乎场意；

当时，对任意的〃wN・，%=%产＞0,且有竽="1,可得隔

可得「认⑼"O'此时肃二>。，与题干不符'不合乎题意;

故Ovqvl,故A错误；

对任意的〃wN•，q=%尸>0,且有上”1,可得见+心外,

此时，数列｛4｝为单调递减数列，则~21>%>22，

结合/021~~7,。可得0V^2022<1<^2021»

42n22-1

结合数列的单调性可得4>1(〃42021),0<4<1(〃1022)

故%>2021*>2021>1,

S?M2=S'M+。?022>202I>1,

••S'2022>S'©1>1=S2022s曲1-1>°，

故B正确;

(⑼是数列亿｝中的最大值，故CD错误

故选：B.

变式2-4.(2022・全国•高二)已知等比数列｛q｝共有32项，其公比9=3,且奇数项

之和比偶数项之和少60,则数列｛q｝的所有项之和是()

A.30B.60C.90D.120

【答案】D

【解析】设等比数列｛《』的奇数项之和为，，偶数项之和为，$，则&=3$,$+60=,,,

则可求出5^2,值，从而得出答案.

【详解】设等比数列｛q｝的奇数项之和为e，偶数项之和为S2，

则5]=4+〃3+4++。31，^2=a2+aA+a6++/2=。卜4+%+%++如)=3耳

又E+60=S2，则工+60=3、，解得5=30,-2=90,

故数列M的所有项之和是30+90=120.

故选：D

【方法技巧总结】

1.技巧：等比数列的基本量计算也分为通法和巧法，通法是将条件或问题都化为首

相和公比利用方程组的方法来进行求解，巧法是结合等比数列的性质和一些结论公

式可以更快的做出结果，

2.性质：

(1)在等比数列中，若“+〃=〃+夕,则4

(2)在等比数列中，若6+〃=22,则