【二轮复习】2024年中考数学二轮复习讲练测压轴题05 圆的综合（5题型+解题模板+技巧精讲）（解析版）

压轴题05

园的综合

录

・题型剖析•精准提分

题型一切线的判定

题型二圆中求线段长度

题型三圆中的最值问题

题型四圆中的阴影部分面积

题型五圆中的比值（相似）问题

好题必刷•强化落实

题型剖析-精准提分

圆的综合

题型一切线的判定题型三圆中的最值问题

题型二圆中求线段长度题型四圆中的阴影部分面积

题型五圆中的比值（相似）问题

下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的

题型解读：

考查热度.

圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题

圆的综合

的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高.多考

查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值

问题，•般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角

形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，

以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及

以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比

例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.

右图为圆的综合问题中各题型的考查热度.

题型一切线的判定

解题模板：

根据条件确定是否有明确交点

确定交点

根据有元交点作出相应的辅助战

利用切蝴判定方法进行证明

推导证明

技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°,如已有90°角，可以尝试证平行）

没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）

【例1】1.（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，A3为的直径，如果圆上的点。恰使NAQC=N8,求

证：直线CO与：O相切.

【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出NOD4+NADC=90。，则C/）_LO。，再由切线的判定即可

得出结论.

【详解】证明：如图，连接0。，

OA=ODf

:.ZA=ZODA,

加为（O的直径,

:.ZADB=90°,

.••N4+NB=90°,

ZADC=/B,

:.ZODA+ZADC=90°,

即NCDO=90。，

:.CD±OD,

是。的半径,

••・直线。。与。相切.

【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握

圆周角定理和切线的判定是解题的关键.

【变式1T】（2023-辽宁•中考真题）如图，4ABe内接于GO,A3是。的直径，CE平分N4C8交O于

求证：E尸与。。相切；

【分析】连接OE，由AA是（。的直径可得NAC8=90。，进而可得/4星=:/4。8=45。，再根据圆周角

定理可得/40七=2乙4。七=90。，进而可证0七_148,OE工EF,即可.证明EF与。。相切；

【详解】证明：如图，连接OE，

r

.AB是:。的直径,

Z4CB=90°,

vCE1平分NACB交（O于点E,

Z4CE=-ZACB=45°,

2

Z4OE=2ZACE=90°,

•••0E1AB,

EF//AB,

/.OEA.EF,

.•OE是O的半径，

:•E尸与。相切；

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定

理是解题的关犍.

【变式1-2](2023-辽宁-中考真题)如图，是:。的直径，点C,E在GO上，NC48=2NE4B,点尸在

线段A4的延长线上，且

4

(2)若B"=Lsin/4/石=一，求BC的长.

5

【分析】利用圆周角定理得到N£C归=2NE48,结合已知推出NC48=N反出，再证明△OFES^ABC,推

il|ZOEF=ZC=90°,即可证明结论成立；

*：BE=BE，:・/EOB=2/EAB,

,/ZC4B=2ZE4B,

KAB=/EOB,

vAB:。的直径，

・•・ZC=90°,

*/ZAFE=ZABC^

/.l^OFEs^ABC、

・••NOEF=NC=90。,

•・•OE为。O半径，

：・EF与〔O相切；

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，

熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

【变式1-3](2023-湖北鄂州-中考真题)如图，AB为。的直径，E为上一点，点。为沟B的中点，过

点C作CZ)_LAE,交4E的延长线于点O,延长。。交4B的延长线于点F.

【分析】连接OC,根据弦、弧、圆周角的关系可证根据圆的性质得NO4C=NO。，证

明。C〃A。，得到NOb=NZ)=90。，根据切线的判定定理证明；

【详解】证明：连接OC，

丁点C为河B的中点，

・・EC=CB、

，/D4C=NC4产，

*：OA=OC,

・•・ZOAC=ZOCA

/.?DACICOA

：.OC//AD,

:.NOCF=ND=90。,

•:。。为半径，

，DC为O切线；

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出轴助线是解题

的关键.

题型二圆中求线段长度

解题模板：

利用圆的相关定理和性质作辅助线

分析题目条件并选取合适的方法进行计算

分析计算

【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知A8为（Q的直径，点C为圆上一点，A。垂直于过点C的直线,

交。。于点£,垂足为点。，AC平分NBA。.

D

C

£

⑴求证：co是。的切线；

(2)若AC=8,BC=6,求OE的长.

【答案】(1)见详解

【分析】（1）连接CO,根据角平分线的定义有Na4D=2NC4O,根据圆周角定理有2NC4O=NCQ5,可

得NDAB-NCOI3,进而有AO〃OC,进而可得NACO_180。-乙4£9一90。，则有半径OC_LCZ）,问题得

证；

_________a

（2）连接CO,CE,BC,利用勾股定理可得A8=JAC2+8C?=10,进而有sin/CA8=-^=w,

AB5

AC4324

tanNCBA=—=-,根据ZDAC=ZCAB，即sinADAC=sinZC4B=进而可得CD=ACxsinZDAC=—,

BC355

4

根据四边形A£C8内接于〔O,可得N£>EC=N8,UPtanZDEC=tanZC5A=-,再在Rl_EZK;中，可得

“CD24318

DE=-------------=—x-=—.

tanZDEC545

【详解】（1）连接CO,如图，

〈AC平分/HAT）,

，ABAD=2ZCAO,

•・•2ZCAO=ZCOB,

:"DAB=/COB,

/.AD//OC,

・•・ZADC+ZDCO=\SO0,

VADLCD,

・•・ZA£)C=90°,

/.ZZX:0=180°-ZAZX?=90°,

•••0C1CD,

・・・C。是QO的切线；

(2)连接CO,CE,BC,如图,

•・•AB为。的直径，

・•・Z4C£?=90°,

VAC=8,BC=6,

工在RtZ\ABC中，AB=y/AC2+BC2=10»

AsinZC45=—=-,tanZCB>4=—=-,

AB5BC3

*/AC平分/BAO,

3

A^DAC=ZCAB,BPsinZDAC=sinACAB=",

5

•・•在Rt.AOC中，4c=8,

24

CD=ACxsinZ.DAC=—,

5

•・•四边形AECB内接于(O,

4

/DEC=NB,即tan/DEC=tanNCBA=-,

3

24

•・•在Rt..£DC中，CD=y,

.CD24318

・・DE=------------=——x-=—.

tanZ.DEC545

【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆内接四边形的性质以及圆周角定理等知识，灵活

运用解直角三角形，是解答本题的关键.

【变式2-1]（2023-内蒙古.中考真题）如图，A8是。。的直径，E为。。上的一点，点。是用后的中点,

连接8C,过点C的直线垂直于3E的延长线于点。，交府的延长线于点儿

（1）求证：PC为。。的切线；

（2）若。。=2&30，PB=10,求跖的长.

【答案】（1）见解析

⑵BE[

【分析】（1）连接OC，根据点C是用E的中点可得NABC=NC8O,进而证OC〃即，从而得证

NPCO=NO=9（）。即可；

（2）解法一：连接AE交OC于M,根据PC=2夜80及勾股定理求出OC=g，再证明AE〃叨,从而得

到噂=必，即可求出席的值；解法二：过点、0作OHLBD于点、H,按照解法•步骤求出。。=:,然后

LxKX1/（

10

证明四边形CO”力是矩形，再证明jPCOs_PZX?,求得8。二了，进而求出BE的值.

【详解】（1）证明：连接OC，

•;BD工CD,

：.ZD=90°,

点C是汁E的中点，

AC=CE，

ZABC=NCBD,

OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

NOCB=/CBD、

：.OC//BD,

:.^PCO=ZD=90°,

;.OC工PD,

0C是半径，

・•.PC是：。的切线;

(2)解法一：连接交。。于M.

PC=2夜80，BO=CO,

PC=2y/2CO>

•.PB=10,

;.PO=PB—OB=U)—OC,

在RtAPCO'PPC2十OC1=PO：，

/.(2V2CO)2+oc2=(io-oc)2,

.・.。。="|或0。=-5(不符合题意，舍去),

；点C是舛片的中点，0C是半径，

」0C垂直平分AE,

C/A=OR,

」.0M是八4£»的中位线，

:.BE=2OM,

•,他是直径，

.­.Z4EB=ZD=90°,

：.AE//PD,

5

0MON，1

：'~OC=OP=^1=^，

2

.•.OM=-J-OC=-x-=-,

3326

BE=2x-=-

63:

D

解法二：过点。作O”_L8。于点月，

;.NDHO=90°,BE=2BH,

PC=2同O，BO=CO、

PC=2正CO，

PB=1。,

.\PO=PB-OB=\0-OC,

・•・在RtAPCO111,PC2+OC2=PO2,

/.(2V2C0)2+OC2=(10-OC)2,

.•.OC=g或OC=-5(不符合题意，舍去),

NPDB=ZDHO=NOCD=90°，

••・四边形COHO是矩形，

：.DH=CO=h,

2

OC〃BD、

PCO^PDB,

.POCO

'~PB~~BD'

155

，互=2，

10BD

\BD卷,

，叩=W-2=2,

326

/.BE=2BH=2x-=-.

63

D

【点睛】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理，平行线间线段成比例，相似三角形的的判定与

性质，掌握并理解相关性质定理并能综合应用是关键.

【变式2-2］（2023-辽宁大连-中考真题）如图1,在中，A6为O的直径，点C为QO上一点，AD为

⑴求N3EO的度数;

（2）如图2,过点A作O的切线交8c延长线于点尸，过点。作。G〃A〃交A8于点G.若AD=2后,

OE=4,求力G的长.

【答案】（1）90。

(2)2x/10

【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论;

（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可.

【详解】（1）解：相为＜0的直径，

.20=90°,

\A£＞为NC48的平分线，

\?BAC22BAD,

OA=ODt

，/BAD=NODA,

...ZBOD=ABAD+ZOm=2NBAD,

：.ZBOD=ZBAC,

:.OD//AC,

:.ZOEB=ZACB=90°,

.•./BED=90。；

(2)解：连接B。，

设OA=OB=O7)=，

则OE=r-4,AC=2OE=2—8,AB=2r,

图2

•」4?为(O的直径，

.•.ZADB=90°,

在Rt.AOB中，BD2=AB2-AD\

由(1)得，/BED=90。,

:.ZBED=ZBEO=90°,

:.BE2=OB2-OE2,BE?=BD'-DE2，

：.BD2=AB2-ADr=BE'+DE，=OB,-OE2+DE2,

•••(2r)y2序)'=r2-(r-4)2+42,

解得/*=7或r=-5(不合题意舍左)，

.-.AB=2r=\4t

BD=SIAB2-AD2=7l42-(2x/35)2=2>/|4,

•.•A尸是。。的切线，

：.AFLAB^

DG//AF,

:.DG±AB,

S•Aol}LD/=-2ADBD=2-ABDGt

“G二处@=2后x4标"配

AB14

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股

定理是解题的关键.

【变式2-3］（2023-湖北恩施-中考真题）如图，是等腰直角三角形，ZACB=90°,点。为A8的中

点，连接CO交O于点、E,。与AC相切于点。.

（1）求证：BC是。的切线；

⑵延长8交于点G,连接4G交90于点F,若AC=4&，求"G的长.

【答案】（1）见解析

⑵还

3

【分析】（1）连接0。，过点。作OP_L3C于点P,根据等腰三角形的性质得到NOCZ）=NOC尸=45。，推

出。O=OP,即可得到结论；

（2）根据等腰百角三角形的性质求出0A,。。的长，勾股定理求出4G,连接OF,过。作O/7JL4G于点

H,利用面积法求出O",勾股定理求出/伤，即可根据等腰三角形的性质求出尸G的长.

【详解】（1）证明：连接。。，过点。作OP_L4c于点P,

A

二）0与AC相切于点”.

ZODIAC,

•・•/BC是等腰直角三角形，ZACT=90°,点。为A8的中点,

・•・/OCD=NOCP=45。,

：・OD=OP,即OP是。的半径，

•••BC是O的切线；

⑵解：U40，AB=AC,ZACB=90°,

AB=>/2AC=S^OCJ~AB,

•・•点。为A3的中点，

工OC=OA=-AB=4,

2

ZODIAC

・•・OD=-AC=2y/2,

2

在中，AG=yJOA2+OG2=^42+（2>/2）2=276

连接。尸，过。作O”_LAG于点H,

.八口OAOG4x2724G

••On=--------=------—=-------।

AG2V63

・•.HG=>JOG2-OH2=］（2司二孚=平

•：OF=OG,

工FG=2HG=^~.

3

CPB

【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定埋，等腰直角三角形的性质，勾股定埋，正确掌

握各知识点是解题的关键.

题型三圆中的最值问题

解题模板：

根据题目条件判断圆中最值模型

利用模型技巧构造图形并确定动点位置

分析几何特征并代入数值计算

技巧精讲：

1、辅助圆模型

MSI河■情境0B示络论

。在。。外

当".£.。三点共货时,。£右♦值.最大值

.g为d+r.依小假为d-，

点重力。。上一点.O。的中校

&花。。上为0J”三点共线时,况〃■侦.最大侦

为，.平面内一定点"与点。的

点国最值为d♦7•2/（即为。。的女江）,最小他为

即南。。;九求出班的■大值

/・“。（。・£攻令）

能量小值

"在。0内

当。.£。三点共线时,比•在最值,最大价

G电-

为」♦，.最小假为一」

c在优弧A。k

（3）^CHlAR11C/f过网心0时.统段CH的

长即为点C到弦3的•大距寓,比叼

S。*第恼0大

46是©0的一条定弦.点。为

启上一动点

C在劣冕4A上

圾阕总值QHCH1AHR,心。在5的廷KfilhM.

线段a/裁长即为0.C到强人3的■大跄

岗.此时以.的伤♦大

曳里

。。与代次，相离.点〃为。。

以。到“的最小距离比/-，,・大叫声

上一动jfi.R网心。到直线，

是」♦『

的即离为d.OO的中技为，

卷

UTJCaWC和△硼）的公共边.4.BCD网点共■.留心0为三角彩任意

WARM

H.AC.DftA«MM.4C«Z.D一班邻边的免近平分级的交点

般型向11情填图示籍论

在内边形ABCD中.Z.ABC=

内边形样a）的外接IM力以为«［校的

Z.ALC=90。捕足Z/WC♦

GO

C=l«0'

四点共BH

在后边形ABCD中,淌£四边形ABCD的外接册为。0,•心0为任

乙ABC+£ADC・1Q.厚便♦纳郭边的里立平分线的交点

（£00中一48为一条定饺•点Z.4DB=Z4CT=Z/<£fl（姥A8在劣只IB

通，上也育园蹄角）

定角定茯

点C在00的份上均可（当4c>90”时.

在。9中.48为一条定效,CX

点C在劣桑匕当4C-9O°UL点（?在半用

。。上任意一动点且Z.CN"

会匕当4c<90•时,点C衣优孤1：）

乙APRf

畲冬PMAA.剜4。・2尸,当PM«L•或

R4・相时.444最小值,比时AB=2A

已知育外一点「.点〃到六

埃必的距离为定值乂定离）.

定角定育过J&P作PHU?以〃,则用/,A・可福

为定做《宏角LW为4打

2。8="900乙APBa/乙村•，4OM•o,设。。的半

的中口,求品的•小假

程为，・/^“M0=，*，•EaKPM5t/7/=

▲.¥PUiABsiPA=PHM.w♦yo=

了理匕411/>W=P//«A.Wr4r-r%

■小帧.则A8的最小值为6ina

两定点48在Z.C的一条边上.过A.8两京作UM点C的另一边相切.当

*X«ft另有一个动点P在这个角的另点P运动到切点rW.Z4Pff♦大（同孤阱

一条力上.找一点/•使用4硒》对能阕码角桁等.■外角小于圈冏角.IH内

«X向大于・冏角）

【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在（。中，A3为直径，C是0。上一点，AC=3,BC=4.过。分别

作OH18c于点H,OD_LAC于点D,点E、尸分别在线段BC、AC上运动（不含端点）,且保持ZEOF=900.

（D9C=；四边形CQO”是（填矩形/菱形/正方形）；S四边形次〃=:

（2）当尸和。不重合时，求证：AOFD^^OEH：

⑶①在图I中，P是,CEO的外接圆，设尸面积为S,求S的最小值，并说明理由；

②如图2：若。是线段人4上一动点，且。4：Q8=l：〃，ZEQF=90°,M是四边形CEQ产的外接圆，则

当〃为何值时，M的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案.

【答案】（1）2.5；矩形;3；

（2）见解析

（3）①3乃，理由见解析；②〃=乎时，S有最小值或乃.

16925

【分析】（1）根据圆周角定理及勾股定理得出A8=5,再由直角三角形斜边中线的性质得出化=2.5；利用

矩形的判定得出四边形C。。”的形状，再由相似三角形的判定和性质及矩形的面积求法即可得出结果：

（2）由圆周保定理及等量代换得出/尸8=/反阳，再由相似三角形的判定即可证明；

（3）①由（2）得NACB=90。，/反加=90。，确定圆P经过C、F、0、E,即为.COE的外接圆，目后尸

为直径，由（1）得出E尸取得最小值为;A8=2.5,利用圆的面现求解即可；②根据题意得：当QE_LAC,

43〃

QF_L8。时，圆M的直径EF有最小值，再由三角函数得出&=•；—,QF=--,利用勾股定理及二次

函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：•・•48为直径，

・•・ZACB=90°,

•・•AC=3,BC=4,

，AB=5,

・•・OC=-AB=2.5,

2

,：ODLAC,OHIBC,ZACB=90°,

・•・四边形8。”是矩形；

'：ODLAC,ZACB=90°,

:.UD〃BC,

A..OAD^BAC,

,ODAO\

..----=------=—,

BCAB2

：.OD=2,

同理得。”=1.5,

$四地形c/xw=2x1.5=3：

故答案为：2.5；矩形；3；

(2)证明：ZODIAC,OH工CB,

：.1FDO=NEHO=9()°,

乂A8为直径，

・•・ZACT=90°,

・•・/DOH=90。=/EOF,

即ZFOD+/DOE=/DOE+/EOH,

，2FOD=NEOH,

/.OFD^.OEH.

(3)①如图，VZACB=90°.ZEOF=90°,

•••圆P经过C、F、0、E,即为二COE的外接圆，同£b为直径

・••当E尸最小时，圆P的面积S有最小值，

当产和0重合、E和〃重合时，

由(1)得O/=2,。七=15取得最小值，

瓦•也取得最小值为^AB=2.5,

此时S=;rf竺］="乃为最小值.

I2)16

②根据题意得：当QE，AC,QFlBClhj,

圆W的直径EE有最小值，

此时4Q=上，BQ=—,NAQE=/48C,EQ=cosAAQEAQ=—,QF=s\nZ.AQBBQ=—

\+nl+〃1+/2l+H

当E〃最小时，S最小，

令1="+l,则E尸=9("2+16=25(!]-18-+9

r⑺t

为关于！的二次函数，当1=2,即〃=偿时，S有最小值，代入得s最小值为£乃.

II25925

【点睛】题目主要考杳圆与四边形综合问题，包括圆周角定理，矩形的判定和性质，内接三角形和四边形,

解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键.

【变式3-1](2023-安徽-模拟预测)如图，半圆的直径A4=4,弦CD〃A3,连接AC3DAR8C.

(1)求证：4ADC出4BCD\

(2)当.86的面积最大时，求NCA。的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)45°

【分析】(1)根据平行线的性质可得NAQC=ND48,从而可得AC=B。，然后根据同圆或等圆中弧、弦、

圆周角的关系可得A0=8C,从而用边边边定理证明三角形全等；

(2)连接OCOD,过点。作OELOC,垂足为点E,通过分析当且仅当NCOD=90。时取等号时•S八⑺有最

大值为2,分析求解.

【详解】(1)证明：CD//AB,

:.ZADC=Z.DAB

：.AC=BD，

：.AC=BD,AC+CD=BD+CD，即AQ=8C，

AD=BC.

又CD=DC.

MADC^.BCD(SSS)

(2)解：连接。C。。，过点。作QE_L"，垂足为点E.

：.0C=0D=-AB=2.

2

CD//AB,

SHACD=Sagj=—OC'DE.

•.DEMOD=2,当且仅当NC8=90。时取等号,

此时SACD取人=Qx2x2=2,

・•・ZC4D=-ZCOD=45°.

2

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，同圆或等圆中弧、弦、圆周角的关系，解题的关键是根据图

形题意，准确添加辅助线.

【变式3-2](2023-四川-中考真题)如图I,已知线段A3,AC,线段AC绕点A在直线A4上方旋转，连

接BC,以8c为边在8C上方作RL.8QC,且NOAC=30。.

(1)若/8。。=90°,以AB为边在AA上方作且NA£3=90。，ZEBA=30°,连接OE,用等式表

示线段AC与的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DE上AB,A3=4,AC=2,求8c的长；

(3)如图3,若NBCD=90。，A3=4,AC=2,当AO的值最大时，求此时tanNCBA的值.

【答案】(l)AC=gGO£

Q)BC=2不

⑶当

【分析】(1)在RlBDC中,ZDBC=30°,RtAfiAE,且ZA£3=90。，ZEBA=30°,可得YABEsYCBD,

AnRF

根据相似三角形的性质得出丝=芸，ADBE=ZCBA,进而证明△A8CSZX£8O,根据相似三角形的性

BCBD

质即可求解;

(2)延长OE交A8于点尸，如图所示，在RLAE”中，求得进而求得所的长，根据(I)的结

论，得出。£=6，在RtBFD中,勾股定理求得8。，进而根据即可求解.

(3)如图所示，以A8为边在A8上方作Rt△84E,且N£43=90。，NE84=30。，连接即，EA,ED,EC,

同(1)可得./3。炉工4c4,进而得出。在以E为圆心，逑为半径的圆上运动，当点A£。三点共线时,

3

A。的值最大，进而求得COSN4D4=£^,sinZZ?DA=—,根据得出N8C4,

过点A作AEIBC,于点尸,分别求得人RCT7,然后求得班,最后根据正切的定义即可求解.

【详解】（I）解：在Rt8OC中，NDBC=300,RtARAE,且NA£8=90。，ZEBA=30°,

:.YABEWCBD,NDBE+NEBC=/ABC+NEBC,BE=AB>.cosZABE=—AB

2

,NDBE=NCBA,

BCBD

：.AABCS^EBD

AC_ABAB25/3

•­~DE~~BE~A~~

——AB

2

：.AC=-y/3DE,

3

故答案为：AC=40DE.

（2）VRtABAE,且ZA£B=90。，ZEBA=30°,AB=4

：.AE=ABsinZEI3A=-AI3=2NE4£=6