8.3.1完全平方公式（课件）七年级数学下册课件（沪科版）

8.3.1完全平方公式

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式的乘法法则：知识回顾

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

单项式的除法法则：知识回顾单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.n(a+b+c)=na+nb+nc

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.多项式除以单项式法则：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m多项式与多项式的乘法法则：再把所得的积相加.多项式与多项式相乘，与另一个多项式的每一项相乘，先用一个多项式的每一项(a+b)(m+n)=2anbmbn134am1234+++知识回顾问题1

有一个边长为a的正方形广场，现要扩建该广场，要求将其边长增加b，试问扩建后这个正方形广场的面积有多大？b

aab方法一：扩大后正方形广场的边长是

，所以它的面积是

.

(a+b)2方法二：先算4块小长方形的面积，再求总面积，扩大后正方形广场的面积是

.

因此，有(a+b)2=a2+2ab+b2a+b(a+b)2a2abb2aba2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2你能用多项式与多项式的乘法法则来说明它成立吗?(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2创设情境

这两个数乘积的

2倍.式子的左边为两个数的和的平方;(a+b)2=a2+2ab+b2思考：(1)式子的左边具有什么共同特征？(2)它们的结果有什么特征呢？它们的结果为创设情境这两个数的平方和加

问题2

如果将正方形广场的边长缩减b，试问面积又是多少呢？方法一：缩减后正方形广场的边长是

，所以它的面积是

.

(a-b)2方法二：先算出原正方形广场的面积，然后减去缩减部分的面积，缩减后正方形广场的面积是

.

a2-2ab+b2因此，有(a-b)2=a2-2ab+b2baaba-b(a-b)2a2abb2ab(a-b)2=a2-2ab+b2你能用多项式与多项式的乘法法则来说明它成立吗?创设情境(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2思考：(1)式子的左边具有什么共同特征？式子的左边为两个数的差的平方;(2)它们的结果有什么特征呢？创设情境

这两个数乘积的

2倍.它们的结果为这两个数的平方和减归纳总结(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2①②同学们，你能用语言叙述这两个公式吗？

两个数的和(或差)的平方，

这两个数乘积的2倍.等于这两个数的平方和加(或减)上面两个公式，今后可以直接应用于运算，称为完全平方公式.这两个公式中的

②

式也可在

①

式中用-b

代替b

而得出.口诀：首平方，尾平方，乘积的

2倍放中央，符号看前方.

问题3观察下面两个完全平方式，比一比，

回答下列问题：1、说一说积的次数和项数.2、两个完全平方式的积有相同的项吗?与a，b有什么关系？3、两个完全平方式的积中不同的是哪一项?与a，b有什么关

系？它的符号与什么有关？(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2①②积为二次三项式积中相同的两项为两数的平方和不同的一项是两数积的2倍，

且与两数中间的符号相同.拓展提高公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式.例1

利用乘法公式计算：(1)(2x+y)2

运用公式计算，要先识别a，b

在具体式子中分别表示什么.解：(2x+y)2=()2=a2+2ab+b2(2x)22•2x•y+y2+=4x2+4xy+y2a+b(2)(3a-2b)2解：(3a-2b)2=()2=a2-2ab+b2(3a)22•3a•2b-(2b)2+=9a2-12ab+4b2方法一：a-b例1

利用乘法公式计算：(2)(3a-2b)2解：原式=[3a+(-2b)]22•3a•(-2b)(-2b)2+=9a2-12ab+4b2方法二：=(3a)2+例1

利用乘法公式计算：巩固练习1、利用乘法公式计算：(1)(3x+1)2解：(3x+1)2=()2=a2+2ab+b2(3x)22•3x•1+12+=9x2+6x+1a+b(2)解：=()2=a2-2ab+b2a-by2-2•y•12+=y2-y+14

利用完全平方公式进行整式运算的基本步骤：归纳总结①

确定公式中的

a，b②

确定和差关系③

选择公式④

计算结果巩固练习2、利用乘法公式计算：(1)(-2x+3y)2方法一：解：原式=2•(-2x)•3y(3y)2+=4x2-12xy+9y2(-2x)2+巩固练习方法二：(1)(-2x+3y)2解：原式=(3y-2x)22•3y•2x(2x)2+=9y2-12xy+4x2=(3y)2-2、利用乘法公式计算：巩固练习(2)(-3m-4n)2方法一：解：原式=2•3m•4n(4n)2+=(3m)2+[-(3m+4n)]2=(3m+4n)2=9m2+24mn+16n22、利用乘法公式计算：巩固练习(2)(-3m-4n)2方法二：解：原式=2•(-3m)•(-4n)(-4n)2+=(-3m)2+[(-3m)+(-4n)]2=9m2+24mn+16n22、利用乘法公式计算：巩固练习(2)(-3m-4n)2方法三：解：原式=2•(-3m)•4n(4n)2+=(-3m)2-[(-3m)-4n]2=9m2+24mn+16n22、利用乘法公式计算：巩固练习(3)(x2-2y2)2解：原式=2•x2•2y2(2y2)2+(x2)2-=x4-4x2y2+4y42、利用乘法公式计算：巩固练习2、利用完全平方公式计算：(4)5022(5)4992

一个数的平方，可以考虑变形为“两数和(差)的平方”的形式.拓展提高变式练习：

(60)2160巩固练习2、利用完全平方公式计算：(6)20162－2016×4030＋20152巩固练习3、下列各式中能用完全平方公式计算的是()A.(2a-3b)(-2a-3b)B.(2a-3b)(2a+3b)C.(2a-3b)(-2a+3b)D.(2a-3b)(2b-3a)C巩固练习4、计算：(1)()2=4x2-12xy+9y2(2)(x)2=x2-x+142x-3y-12巩固练习5、如果x2+mx+25是完全平方式，则m=().A.10B.±10C.20D.±20B巩固练习6、计算：(1)(a+b+c)2解：原式=2•(a+b)•cc2+=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=(a+b)2+[(a+b)+c]2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc拓展提高公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式.巩固练习6、计算：(2)(2x-y-3)2解：原式=2•(2x-y)•332+=4x2-4xy+y2-12x+6y+9=(2x-y)2-[(2x-y)-3]2巩固练习6、计算：=(a-b)(a2-2ab+b2)=a3

(3)(a-b)3解：原式=(a-b)(a-b)2=a3-3a2b+3ab2-b3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3巩固练习7、设m+n=10，mn=24，求

m2+n2

和

(m-n)2

的值.解：因为m+n=10，mn=24所以m2+n2

=

(m+n)2=102-2×24=52-2mn(m-n)2

=

(m+n)2-4mn=102-4×24=4巩固练习8、已知x-y＝6，xy＝-8.求：(1)x2＋y2

的值；

(2)(x+y)2

的值.解：因为

x-y＝6，xy＝-8所以x2＋y2=

(x-y)2＋2xy=36-16=20(x+y)2

=

(x-y)2+4xy=62-32=4巩固练习9、已知x+=3，求：(1)x2+1x1x2(2)(x-)21x巩固练习10、化简：(1)(