福建省泉州市永春五中片区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市永春五中片区八年级（上）期中数学试卷一、单选题（每题4分共40分）1．（4分）下列运算正确的是（）A．a2+4a2＝5a4 B．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2 C．（﹣2ab3）2＝4a2b6 D．x8÷x4＝x22．（4分）在实数，，，3.14，中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（4分）下列因式分解正确的是（）A．﹣3x﹣3y＝﹣3（x﹣y） B．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） C．ax2﹣ay2＝a（x2﹣y2） D．a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）＝（x﹣y）（a+2b）4．（4分）下列判断中，你认为正确的是（）A．0的倒数是0 B．是分数 C．3＜＜4 D．的值是±35．（4分）已知a＝1.6×109，b＝4×103，则a2÷2b＝（）A．2×107 B．4×1014 C．3.2×105 D．3.2×10146．（4分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠1＝∠2，BF＝CE．则添加下列条件不能使△ABC和△DEF全等的是（）A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E7．（4分）下列命题是真命题的是（）A．若a＝b，则a2＝b2 B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若ab＝0，则a＝0 D．若a2＝b2，则a＝b8．（4分）若实数x，y满足，则x2022+y2022的值是（）A．22022+1 B．22022﹣1 C．﹣22022+1 D．﹣22022﹣19．（4分）在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a＞b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD﹣AB＝2时，S1﹣S2的值是（）A．2a B．2b C．﹣2b+b2 D．2a﹣2b10．（4分）关于x的多项式：An＝anxn+a（n﹣1）x（n﹣1）+a（n﹣2）x（n﹣2）+⋯+a2x2+a1x+a0，其中n为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当n＝3时，A3＝a3x3+a2x2+a1x+a0，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”．给出下列说法：①多项式A3共有6个不同的“兄弟多项式”；②若多项式An＝（1﹣2x）n，则An的所有系数之和为±1；③若多项式A4＝（2x﹣1）4，则a4+a2+a0＝41；④若多项式A2023＝（1﹣2x）2023，则a2023+a2021+⋯+a3+a1＝．则以上说法正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题4分共24分）11．（4分）分解因式：a2+5a＝．12．（4分）（﹣2x2）2＝．13．（4分）已知am＝5，an＝7，则a2m﹣n＝．14．（4分）如图，锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝6，△ABC的面积是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF周长的最小值是．15．（4分）已知2x+1的平方根为±5，则﹣5x﹣4的立方根是．16．（4分）已知m是各位数字都不为零的三位自然数，从m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数m的“关联数”．数m的所有“关联数”之和与22的商记为P（m），例如m＝123，．（1）若m＝234，则P（234）＝．（2）数x，y分别是两个各位数字都不为零的三位自然数，它们都有“关联数”，已知x＝100a+10b+3（1≤a≤9，1≤b≤9），y＝400+10b+5（1≤b≤9），若P（x）+P（y）＝20，则在所有满足条件的对应x，y的值中，x+y的最大值是．三、解答题17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）（3x+1）﹣（x+2）2﹣4，其中x2﹣3x＝1．19．（8分）分解因式：4x2﹣16．20．（8分）如图，AB＝AD，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D．求证：∠1＝∠2．21．（10分）如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如果4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）28和2020这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续的奇数的平方差（取正整数）是“神秘数”吗？为什么？22．（10分）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式，例如：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，所以a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2就是完全平方式．请解决下列问题：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝20，则ab＝；（2）如果x2﹣（k+1）x+9是一个完全平方式，则k的值为；（3）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2007）2＝169，求（2024﹣x）（x﹣2007）的值；（4）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN．①CF＝，CE＝；（用含x的式子表示）②若长方形CEPF的面积为32，求图中阴影部分的面积和．23．（8分）若a2﹣a﹣6＝0，求（4+a）•（3﹣a）+2a+2的值．24．（12分）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……（1）【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝；（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+⋯+22+2+1＝；（3）计算：220﹣219+218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1＝；（4）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2022的值．25．（14分）（1）提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为．（2）探究问题：①如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．②如图3，将①中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题：如图4，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以2cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝12cm，BC＝16cm，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．（直接写出结果）

2024-2025学年福建省泉州市永春五中片区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题4分共40分）1．【分析】根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法运算规则，对各选项进行判断即可．【解答】解：A：a2+4a2＝5a2≠5a4，故A不符合题意；B：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2≠4x2﹣y2，故B不符合题意；C：（﹣2ab3）2＝4a2b6，故C符合题意；D：x8÷x4＝x4≠x2，故D不符合题意；故选C．【点评】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法运算．解题的关键在于正确的计算．2．【分析】根据无理数的意义判断即可．【解答】解：在实数，，，3.14，中，无理数是：，，所以共有2个，故选：B．【点评】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的意义是解题的关键．3．【分析】各式分解因式得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝﹣3（x+y），不符合题意；B、原式＝x（x﹣y+1），不符合题意；C、原式＝a（x2﹣y2）＝a（x+y）（x﹣y），不符合题意；D、原式＝a（x﹣y）+2b（x﹣y）＝（x﹣y）（a+2b），符合题意．故选：D．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．【分析】根据倒数的定义，有理数的分类，实数大小比较以及算术平方根进行判断．【解答】解：A、0不能作分母，所以0没有倒数，故本选项错误；B、属于无理数，故本选项错误；C、因为9＜15＜16，所以3＜＜4，故本选项正确；D、的值是3，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了实数．易错的地方是A、D两个选项，0没有倒数，算术平方根是正数．5．【分析】先根据积的乘方的性质计算，然后再根据单项式除单项式的法则计算即可．【解答】解：a2÷2b，＝（1.6×109）2÷（8×103），＝（2.56×1018）÷（8×103），＝3.2×1014．故选：D．【点评】本题主要考查了积的乘方的性质和单项式除单项式的法则，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．6．【分析】根据全等三角形的判定定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，即BC＝EF，A、添加AC＝DF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），不符合题意；B、添加AB＝DE，不能判定△ABC和△DEF全等，符合题意；C、添加∠A＝∠D，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），不符合题意；D、添加∠B＝∠E，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），不符合题意，故选：B．【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．7．【分析】根据实数的平方、绝对值的性质、实数的乘法法则判断即可．【解答】解：A、若a＝b，则a2＝b2，是真命题，符合题意；B、若|a|＝|b|，则a＝±b，故本选项说法是假命题，不符合题意；C、若ab＝0，则a＝0或b＝0或a、b同时为0，故本选项说法是假命题，不符合题意；D、若a2＝b2，则a＝±b，故本选项说法是假命题，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．【分析】把x2+y2和xy看成一个整体解方程组即可求出x2+y2＝5，xy＝2，再把x＝代入x2+y2＝5，解出y2，x2的值，再利用幂的乘方进行求解即可．【解答】解：∵实数x，y满足，∴x2+y2＝5，xy＝2，∴x＝，将x＝代入x2+y2＝5得，+y2＝5，解得，y2＝1或y2＝4，∴当y2＝1时，x2＝4，当y2＝4时，x2＝1，∴x2022+y2022＝（x2）1011+（y2）1011＝22022+1，故选：A．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握解方程组的方法和幂的运算法则是解答此题的关键．9．【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出S1和S2，然后作差化简即可．【解答】解：由图可得，S1＝AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a），S2＝AD•AB﹣a2﹣b2﹣b（AB﹣a），S1﹣S2＝[AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a）]﹣[AD•AB﹣a2﹣b2﹣b（AB﹣a）]＝AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a）﹣AD•AB+a2+b2+b（AB﹣a）＝﹣b•AD+ab+b2+b•AB﹣ab＝﹣b（AD﹣AB）+b2，∵AD﹣AB＝2，∴﹣b（AD﹣AB）＝﹣2b，即S1﹣S2＝﹣2b+b2．故选：C．【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．10．【分析】①根据兄弟多项式的含义，对多项式A3的三项系数进行互换共有6种情况即可判断；②③④取x＝1和x＝﹣1，分别代入各式中求出代数式的值即可判断．【解答】解：①互相交换共有6种不同结果，所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确；②，且，则取x＝1时，，和为（﹣1）n，当n为偶数时，系数之和为1，当n为奇数时，系数之和为﹣1，故②正确；③，，取x＝1时，（2﹣1）4＝a4+a3+a2+a1+a0，取x＝﹣1时，（﹣2﹣1）4＝a4﹣a3+a2﹣a1+a0，82＝2（a4+a2+a0），a4+a2+a0＝41，故③正确；④，A2023＝a2023x2023+a2022x2022+a2021x2021+a2x2+a1x+a0，取x＝1时，（1﹣2）2023＝a2023+a2022+a2021+⋯+a2+a1+a0，取x＝﹣1时，（1+2）2023＝﹣a2023+a2022﹣a2021+⋯+a2﹣a1+a0，﹣1﹣32023＝2（a2023+a2021+⋯+a3+a1），解得：，故④正确．故选：D．【点评】本题主要考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对x进行赋值，即对其取1，﹣1，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．二、填空题（每题4分共24分）11．【分析】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出结论．【解答】解：∵a2+5a公有因式为a，∴原式＝a（a+5），故答案为：a（a+5）．【点评】本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．12．【分析】利用（ab）n＝anbn进行计算．【解答】解：（﹣2x2）2＝4x4，故答案是4x4．【点评】解题的关键是把每一个因式分别乘方，再相乘．13．【分析】利用同底数幂的除法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【解答】解：当am＝5，an＝7时，a2m﹣n＝a2m÷an＝（am）2÷an＝52÷7＝．故答案为：．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．14．【分析】作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于F，交AC于D，由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，推出△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，推出当点E固定时，此时△DEF的周长最小，再证明△MNA是等边三角形，推出MN＝AE，推出当AE的值最小时，MN的值最小，求出AE的最小值即可解决问题．【解答】解：如图，作E关于AB的对称点M，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于F，交AC于D，由对称性可知：DE＝DN，EF＝MF，AE＝AM＝AN，∴△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，∴当点E固定时，此时△DEF的周长最小，∵∠BAC＝30°，∠BAE＝∠BAM，∠CAE＝∠CAN，∴∠MAN＝60°，∴△MNA是等边三角形，∴MN＝AE，∴当AE的值最小时，MN的值最小，根据垂线段最短可知：当AE⊥BC时，AE的值最小，∵BC＝6，△ABC的面积是6，∴BC•AE＝6，∴此时AE＝2，∴MN的最小值为2，∴△DEF的周长的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查了轴对称问题，掌握三角形的面积，等边三角形的判定和性质，根据垂线段最短可知：当AE⊥BC时，AE的值最小是解此题的关键．15．【分析】根据平方根定义可得2x+1＝25，然后再计算出x的值，然后再计算出﹣5x﹣4的值，再求立方根即可．【解答】解：由题意得：2x+1＝25，解得：x＝12，﹣5x﹣4＝﹣5×12﹣4＝﹣64，﹣64的立方根是﹣4，故答案为：﹣4．【点评】此题主要考查了平方根和立方根，关键是掌握如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．16．【分析】（1）参照题中的示例进行计算即可；（2）先根据题意用a，b表示出P（x）和P（y），再由P（x）+P（y）＝20，建立关于a，b的方程，然后根据x+y要取得最大值，来确定a，b的值，进而确定x，y的值，最后求出x+y即可．【解答】解：（1）P（234）＝＝9，故答案为：9；（2）根据题意得，P（x）＝3；P（y）＝9；又P（x）+P（y）＝20，则a+b+3+b+9＝20，即a+2b＝8．又x+y要取得最大值，且a是x的百位上的数字，b是y的十位上的数字，则a取值越大，x+y的值便越大，所以a＝6，此时b＝1．则x＝613，y＝415，因此x+y的最大值为：1028．故答案为：1028．【点评】本题综合考查了运算能力，代数推理能力以及对定义新运算的理解．三、解答题17．【分析】（1）先计算立方根，化简绝对值，再合并即可；（2）先化简绝对值，计算算术平方根，再合并即可．【解答】解：（1）＝＝．（2）＝＝．【点评】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，化简绝对值，实数的混合运算，掌握计算法则是解本题的关键．18．【分析】先根据多项式乘多项式、完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再整体代入求值即可．【解答】解：原式＝3x2+x﹣3x﹣1﹣（x2+4x+4）﹣4＝3x2+x﹣3x﹣1﹣x2﹣4x﹣4﹣4＝2x2﹣6x﹣9，当x2﹣3x＝1时，原式＝2（x2﹣3x）﹣9＝2×1﹣9＝﹣7．【点评】本题考查整式的化简求值．熟练掌握整式的混合运算法则，正确的计算是解题的关键．19．【分析】先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝4（x2﹣4）＝4（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．20．【分析】求出∠B＝∠D＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△ABC≌Rt△ADC，再根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠1＝∠2．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．21．【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2020这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，2020＝5062﹣5042，∴28是“神秘数”；2020是“神秘数”；（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，∵2k+1是奇数，∴“神秘数”是4的倍数，不是8的倍数；（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，此数是8的倍数，而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．【点评】此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键．22．【分析】（1）根据公式进行变形即可求得到答案；（2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值；（3）将（2024﹣x）和（x﹣2007）看成一个整体，利用公式进行计算即可得到答案；（3）①根据图形可以直接得到答案；②根据长方形CEPF的面积为32即可得到（10﹣x）（6﹣x）＝32，将（10﹣x）和（6﹣x）看成一个整体可求得（10﹣x）2+（6﹣x）2，再根据S阴影＝S正方形CFGH+S正方形CEMN即可得到答案．【解答】解：（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝20，a2+2ab+b2＝（a+b）2，∴8+2ab＝20，∴ab＝6，故答案为：6；（2）∵x2﹣（k+1）x+9是一个完全平方式，∴k+1＝±2×3，∴k＝5或﹣7．故答案为：5或﹣7；（3）∵（2024﹣x）2+（x﹣2007）2＝169，（2024﹣x+x﹣2007）2＝32＝9，∴169+2（2024﹣x）（x﹣2007）＝9，∴（2024﹣x）（x﹣2007）＝﹣80；（4）①由题意可得CF＝10﹣x，CE＝6﹣x，故答案为：10﹣x，6﹣x；②∵长方形CEPF的面积为32，∴（10﹣x）（6﹣x）＝32，∵[（10﹣x）﹣（6﹣x）]2＝（10﹣x﹣6+x）2＝16∴S阴影＝S正方形CFGH+S正方形CEMN＝（10﹣x）2+（6﹣x）2＝[（10﹣x）﹣（6﹣x）]2+2（10﹣x）（6﹣x）＝16+2×32＝80．故答案为：80．【点评】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值、完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的相关知识．23．【分析】先根据多项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，求出a2﹣a＝6后代入即可求解．【解答】解：（4+a）•（3﹣a）+2a+2＝12﹣4a+3a﹣a2+2a+2＝﹣a2+a+14，∵a2﹣a﹣6＝0，∴a2﹣a＝6，∴原式＝﹣（a2﹣a）+14＝﹣6+14＝8．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．24．【分析】（1）根据已知式子的变化规律，可以得到所求式子的结果；（2）利用（2）中变化规律，将所求式子变形，然后计算即可；（3）将220﹣219+218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1转化为（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+⋯+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1，再利用（1）中变化规律进而得出答案；（4）利用（1）中变化规律得出x的值，进而得出答案．【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…；∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1，故答案为：xn+1﹣1；（2）22023+22022+22021+⋯+22+2+1＝（2﹣1）（22023+22022+22021+⋯+22+2+1）＝22024﹣1，故答案为：22024﹣1；（3）220﹣219+218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1＝（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+⋯+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1＝＝＝+＝；故答案为：；（4）∵（