2020年沪科版八年级上册第15章《专题学习-最短路径之将军饮马问题》

再长的路，一步步也能走完，再短的路不迈开双脚也无法到达。古从军行〔唐〕李颀白日登山望烽火,将军饮马傍交河。……最短路径之将军饮马问题课题学习一位将军从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到B地军营．请问到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？将军饮马问题探索新知B··AlC将军饮马问题两点之间线段最短C探究1若A.B两地如图所示,请问到河边什么地方饮马可使将军所走的路径最短？●探索新知作图问题:请在直线上找到一点C，使得AC+BC最短。B··AlC探究2若A，B两地如图所示，又如何在河l上找到饮马点C，使得AC+BC最短？将军饮马问题探索新知思考：能把A.B两点转化到直线l的两侧吗？B·lA·C将军饮马问题B··AlC探索新知方法揭晓作法:（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．ABlB′C此时路径A-C-B是最短路径。将军饮马问题A′将军饮马问题B·lA·C作点A或点B关于直线l的对称点,所得到的C点位置不变方法提示B·lA·CB′你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？由轴对称的性质可知，BC=B′C，BC′=B′C′.在△AB′C′中，∵AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′.即AC+BC最短.ABlB′CC′证明:如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′∴AC′+BC′=AC′+B′C′理论证明2.最短距离问题的解决方法:1.基本模型:lABA′C当两定点在直线同侧时CAlB当两定点在直线异侧时利用“轴对称”化折为直阶段小结1.如图,直线l是一条河,P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的是（）DPQlAMPQlBMPQlCMPQlDM学以致用2.已知两点A(2,3),B(4,-3),在x轴上找一点P,使PA+PB最小,并求出点P的坐标。yxABA′P-4-3-2-101234

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-1-2-3-4若换成y轴呢？P学以致用探究3若将军要先让马到草地OM吃草，再到河边ON喝水，最后回到出发点A，你能画出最短路径吗？M将军饮马问题NO草地河流A一题多变分析：1.建模：点在两直线的内部B·AC将军饮马问题OMN2.在OM上找点B，在ON上找点C，使AB+BC+CA的和最小。考虑对称点的作用1.将直线同侧两点问题转化为直线异侧两点问题；2.利用轴对称的性质可以将相等线段转化。探究新知作法：1、作点A关于直线OM的对称点A1，点A关于直线ON的对称点A2，2.连接A1，A2，交OM于B，交ON于C,则路径A-B-C-A是最短路径。B·AA1C将军饮马问题OMNA2AB+BC+CA的和为什么是最小呢？两点之间线段最短方法揭晓为什么AB+BC+CA的和最小？B·AA1C将军饮马问题OMNA2情节1:两点之间线段最短反思验证B′C′为什么AB+BC+CA的和最小？B·AA1C将军饮马问题OMNA2情节2:两点之间线段最短反思验证探究4将军从A地出发,先到草地让马吃草,再到河边让马喝水,然后回到B处,请画出最短路径。OABNM能力提升将军饮马问题草地河流ABNMO分析：1.建模：两点在两直线的内部2.作对称点，连线A′B′PG路径A-P-G-B是最短路径。探究4将军从A地出发,先到草地让马吃草,再到河边让马喝水,然后回到B处,请画出最短路径。能力提升将军饮马问题2.一种解决方法：作对称点，利用轴对称的性质化折为直。B··AlC1.四种基本模型(1)两点在直线异侧(2)两点在直线同侧(3)点在两直线内部

(4)两点在两相交