（讲评用卷）2024年河南新乡二模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南新乡二模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1.﹣2024是2024的（）A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数1.C【解析】﹣2024是2024的相反数．02.据统计，2023年1至8月，河南省全省社会消费品零售总额达16507亿元，其中16507亿用科学记数法表示为（）A．1.6507×104 B．1.6507×108C．1.6507×1011 D．1.6507×10122.D【解析】16507亿＝1650700000000＝1.6507×1012.3.如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3.D【解析】仔细观察几何体特征，从左面观察可得图形是．4.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（）A．

x+y=100047xC．

x+y=10007x4.A【解析】∵共买了一千个苦果和甜果，∴x+y＝1000，∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，∴

47x

+119y＝999．∴可列方程组为5.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，45.B【解析】当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是

1×42=42；当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是

2×32=62；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是

2×22=42，∵

62＞426.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于

12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则DFA．3 B．35C．5 D．46.C【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝8，∠C＝90°，∴BD

=62+82=10，如图，过点F作FH⊥BD于

H，由作法得BF平分∠CBD，∴FH＝FC＝CD﹣DF＝8﹣DF，在Rt△BCF和Rt△BHF中，

BF=BFFC=FH，∴Rt△BCF≌Rt△BHF（HL），∴BC＝BH＝6，∴DH＝BD﹣BH＝4，在Rt△DFH中，DH2+FH2＝DF2，∴427.对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（）A．这组数据的平均数 B．这组数据的中位数 C．这组数据的众数 D．这组数据的标准差7.B【解析】∵这组数据中有一个数据和其他数据差异过大，∴能较好反映这组数据平均水平的是这组数据的中位数.8.从下列四个条件：①∠ABC＝90°；②AB＝BC；③AC＝BD；④AC⊥BD中选择两个作为补充条件，使平行四边形ABCD成为正方形，下列四种情况，你认为错误的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③④8.B【解析】A.∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴平行四边形ABCD成为正方形，不符合题意；B.∵∠ABC＝90°，AC＝BD，∴平行四边形ABCD成为矩形，符合题意；C.∵AB＝BC，AC＝BD，∴平行四边形ABCD成为正方形，不符合题意；D.∵AC＝BD，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD成为正方形，不符合题意.9.若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣19.A【解析】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，即（2k）2﹣4（k﹣1）k＞0，解得k＞0，又∵方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0是一元二次方程，∴k﹣1≠0，即k≠1，故k的取值范围为k＞0且k≠1，∴k的最小整数值为2．10.如图①，点D在△ABC边AC上，点E是BD上的一动点，点F是CE的中点，连接AF，设BE＝x，AF＝y，图②是点E运动时y随x变化的关系图象，其中点H是函数图象的最低点，则n的值为（）A．24 B．26 C．28 D．3010.C【解析】如图，设M为BC的中点，N为CD的中点，连接AM，MN，可知F的运动轨迹为MN，根据图象的第一个点（0，13）可知E在B点时F与BC的中点M重合，即AM＝13；由图象最后一个点可知E与D重合时，F与CD的中点N重合，AN＝15；当AF⊥MN的时候，AF最小为12，在Rt△AMF和Rt△ANF中，根据勾股定理得，MF

=AM2−AF2=132−122=5，NF

=AN2二、填空题(每小题3分，共15分)11.写出一个比3大且比4小的无理数：

．11.π（答案不唯一）12.小明有经典图书《上下五千年》上、中、下各一册，他随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是

．12.1【解析】画树状图如图，共有6种等可能的结果，其中从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1种，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为

1613.如图，A，B是反比例函数

y=kx(k＜0)图象上的两点，A，B两点的横坐标分别是﹣4，﹣1，直线AB与y轴交于点C，若△AOB的面13.−【解析】如图，作AE⊥x轴，垂足为E，作BF⊥x轴，垂足为F，B

D⊥y轴，垂足为D，连接OB，∵A，B是反比例函数

y=kx(k＜0)图象上的两点，A，B两点的横坐标分别是﹣4，﹣1，故将x＝﹣4代入

y=kx(k＜0)得

y=−k4，即点A的坐标为

(−4，−k4)，将x＝﹣1代入

y=kx(k＜0)得y＝﹣k，即B坐标为（﹣14.如图，AB为⊙O的直径，AD，BC分别与⊙O相切于点A，B，CD经过⊙O上一点E，AD＝DE，若AB＝12，BC＝4，则AD的长为

．14.9【解析】如图，连接OE，OD，过点C作CH⊥AD，垂足为点H，∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，在△ADO和△EDO中，

AD=DEDO=DOOA=OE，∴△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴OE⊥CD，∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线，∵BC是⊙O的切线，∵OB⊥BC，∵CH⊥AD，OB⊥BC，OA⊥AD，即∠OBC＝∠BAH＝∠CHA＝90°，∴四边形HABC是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，则DH＝AD﹣AH＝AD﹣4，∵CD是⊙O的切线，BC是⊙O的切线，AD是⊙O的切线，∴CE＝BC＝4，AD＝DE，∴CD＝DE+CE＝DE+4＝AD+4，∵∠CHD＝∠CHA＝90°，在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2，即（AD﹣15.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为

．15.34【解析】如图，延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，∠BAD＝∠GDC＝90°．∴∠GDF＝∠DBE．∵DF＝BE，DG＝BD，∴△DGF≌△BDE（SAS），∴FG＝DE，∴DE+CF＝FG+CF，∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG的长．∴DE+CF的最小值为CG．∵∠BAD＝90°，∴

BD=AB2+AD2=32+42=5．在Rt△GDC中，GD＝BD＝5，∠三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（1）计算：

8+（2）化简：

(116.解：（1）

8

=2

=2（2）

(

=x−2−

=x−3x

=117.某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）在课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为

；（2）请补全条形统计图；（3）该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；（4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200

×27300=108”，请你判断这种说17.解：（1）144°；【解法提示】360°×（1﹣15%﹣45%）＝360°×40%＝144°.（2）“经常参加”的人数为：300×40%＝120（人），喜欢篮球的学生人数为：120﹣27﹣33﹣20＝120﹣80＝40（人）；补全统计图如图所示；（3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为：1200

×40300答：估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数为160人；（4）这个说法不正确．理由如下：小明得到的108人是全校经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢参加的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此课外最喜欢参加的项目是乒乓球的人数应多于108人．18.如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．（1）求证：BE＝CF；（2）填空：①当

ADAB=

时，四边形②当

ADAB=

时，四边形18.（1）证明：∵点D是弧BC的中点，∴弦AD平分∠BAC，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEB＝90°，又∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ABD+∠ACD＝∠FCD+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠FCD，∴△DCF≌△DBE（AAS），∴BE＝CF；（2）解：①

32，【解法提示】∴OD＝CD＝DB＝OB，∠ACD＝∠AOD＝2∠DBA，又∵∠ACD+∠DBA＝180°，∴∠DBA＝60°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝30°，∴

ADAB=cos∠DAB②

22②当OD⊥AB，即OD与DE重合时，四边形AEDF是正方形，∴∠DAB＝45°，∴

ADAB=cos∠DAB=cos45°=2219.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）图①中点M，N都是格点，请仅用无刻度的直尺作出MN的中点P，要求保留作图痕迹，不写作法．（2）图②中△ABC的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出△ABC的角平分线AD，要求保留作图痕迹，不写作法．（要求：△ABC的角平分数AD用实线表示，其它线用虚线表示．）19.解：（1）根据矩形对角线相等且互相平分，构造出以MN为对角线的矩形，即可得出P为MN的中点．∴如图所示，点P即为所求．（2）根据勾股定理可得，

AB如图，作AB＝AE＝5，连接BE，构造出以BE为对角线的矩形BGEH，即可得出F为BE的中点，∵AB＝AE＝5，F为BE的中点，∴AD为∠BAE的角平分线，∴AD为△ABC的角平分线．∴线段AD即为所求．20.小聪和小明一起放风筝，小聪在距小明35.3米处测得风筝P的仰角α为53°，如图，小明的手D处距地面A为1.5米．此时小聪的眼睛C与地面B距离1.9米，风筝线与水平方向夹角β为45°．若上述所有点都在同一平面内，求此时风筝P到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，

ta20.解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，分别过点C，D作CM⊥PE于点M，DN⊥PE于点N，则ME＝BC＝1.9米，EN＝AD＝1.5米，∴MN＝ME﹣EN＝1.9﹣1.5＝0.4米，设PM＝x米，则PN＝PM+MN＝（x+0.4）米，在Rt△PCM中，

CM在Rt△PDN中，

ND∵CM+ND＝BE+EA＝AB＝35.3米，∴

34解得x≈19.94，∴PE＝PM+ME≈19.94+1.9≈21.8米，故风筝P到地面的距离约为21.8米．21.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．21.解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，根据题意得

10a+解得

a=100答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），100﹣x≤

2x，即y＝﹣50x+15000（x≥33

1②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33

13∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，33

13≤x≤①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，∴当x＝34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，即商店购进A型电脑数量满足33

13≤x≤70的整数时，均获得最大利③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝70时，y取得最大值，即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．22.如图，已知正方形ABCD，点P是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），点E在DP上，满足AE＝AB，延长BE交CD于点F．（1）求证：∠BEP＝45°；（2）如图②连接CE．①当CE⊥BF时，求

BPPC②如果△CEF是以CE为腰的等腰三角形，直接写出∠FBC的度数．22.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AE＝AB，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AE＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，∠AED＝∠ADE，∵∠AEB+∠ABE+∠AED+∠ADE+∠BAD＝360°，∴2∠AEB+2∠AED+90°＝360°，∴∠AEB+∠AED＝135°，∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝135°，∴∠BEP＝180°﹣（∠AEB+∠AED）＝45°；（2）①如图①，作AG⊥BE于点G，则GB＝GE，∵CE⊥BF，∴∠BEC＝∠AGB＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠BAG＝90°﹣∠ABG，∵BC＝AB，∴△BEC≌△AGB（AAS），∴

EC作PH⊥BE于点H，则∠PHB＝∠PHE＝90°，∵∠HEP＝180°﹣∠BED＝180°﹣135°＝45°，∴∠HPE＝∠HEP＝45°，∴HE＝HP，∵PH∥CE，∴

PC∴

BP∴

BPPC的值②∠FBC的度数是15°或22.5°．【解法提示】如图②，△CEF是等腰三角形，且FE＝CE，则∠EFC＝∠ECF，∵∠BCF＝90°，∴∠EBC+∠EFC＝90°，∠ECB+∠ECF＝90°，∴∠EBC＝∠ECB，∴BE＝CE＝FE，作EL⊥AD于点L，则∠ELD＝∠BAD＝90°，∴EL∥AB∥CD，∴

ALDL=BEFE=1，∴AL＝DL，∴AE∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴

∠ABE=∠AEB=12×(180°−30°)=75°，∴∠CBF＝90°﹣75°＝15°；如图③，△CEF是等腰三角形，且CF＝CE，则∠CEF＝∠CFE，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠ABE＝∠AEB，∴∠CEF＝∠AEB，∴∠CEB+∠AEB＝∠CEB+∠CEF＝180°，∴点E在正方形ABCD的对角线AC上，∵AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BCA＝∠DCA＝45°，∴

∠

23.项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．实验过程：如图（a