（讲评用卷）2023年河南南阳二模·数学

数学试卷第页（共页）2023年河南南阳二模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题只有一个答案是正确的．）1.计算：12×(﹣A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣41.B2.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣.下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）2.D【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；D．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意.3.下列值最小的是（）A．(−2)2

B．C．（﹣2）0 D．(3.B【解析】由题意可得，(−2)2=2，2−1=12，（﹣2）4.下列选项的括号内填入a2，等式成立的是（）A．a2+（）＝a5 B．a8÷（）＝a4C．（）3＝a8 D．a3•（）＝a54.D【解析】A.a2+a2＝2a2，原选项计算错误，不符合题意；B.a8÷a2＝a6，原选项计算错误，不符合题意；C.（a2）3＝a6，原选项计算错误，不符合题意；D.a3•a2＝a5，原选项计算正确，符合题意．5.如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上.已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数是（）A．65° B．60° C．45° D．25°5.D【解析】∵AB∥CD，∴∠GFB＝∠FED＝45°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣20°＝25°．6.2022年11月，中国矿业大学科研团队发现外径约55纳米的天然洋葱状富勒烯，即“碳洋葱”.这是目前地球上发现的最大的天然“碳洋葱”，已知1纳米＝10﹣9米，那么55纳米用科学记数法表示为（）A．5.5×10﹣10米 B．5.5×10﹣8米C．10×5.5﹣8米 D．10×5.5﹣10米6.B【解析】∵1纳米＝10﹣9米，∴55纳米＝55×0.000000001米＝5.5×10﹣8米．7.劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：时间/h65432人数/名26462关于家务劳动时间的描述正确的是（）A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是3 D．方差是17.B【解析】A．每周参加家务劳动的时间为5h和3h出现的次数最多，故众数是5和3，故本选项不符合题意；B．平均数是

6×2+5×6+4×4+3×6+2×220=4，故本选项符合题意；C．中位数是

4+42=4，故本选项不符合题意；D．方差为

120×[2×（6﹣4）2+6×（5﹣4）2+4×（48.一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是（）8.D【解析】∵用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，∴可设直角三角形的三边为a，3a，2a.A．四边形的四条边长都为2a，故四边形为菱形，不符合题意；B．四边形的四条边为2a，故四边形为菱形，不符合题意；C．四边形的四边长为2a，故四边形是菱形，不符合题意；D．四边形的四条边长为3a，2a，3a，2a，故四边形不是菱形，符合题意．9.南阳，古称“宛”，是楚汉文化的重要发祥地，三顾茅庐、召父杜母、羊续悬鱼、牛郎织女等典故或传说皆发源于此．现将分别印有“三顾茅庐”“召父杜母”“羊续悬鱼”“牛郎织女”图案的卡片（卡片形状、大小、质地均相同）各1张放入不透明的甲盒中，再将与甲盒中完全一样的4张卡片放入不透明的乙盒中．小明从甲、乙两个盒中各随机抽取1张卡片，则抽到的卡片恰好是1张“三顾茅庐”和1张“羊续悬鱼”的概率是（）A．18

B．1C．13

D．9.A【解析】将三顾茅庐、召父杜母、羊续悬鱼、牛郎织女四个典故分别记作1，2，3，4，列表如下：12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）由表知，共有16种等可能结果，其中抽到的卡片恰好是1张“三顾茅庐”和1张“羊续悬鱼”的结果有2种，∴抽到的卡片恰好是1张“三顾茅庐”和1张“羊续悬鱼”的概率为

21610.如图①，已知扇形AOB，点P从点O出发，沿O﹣A﹣B﹣O以1cm/s的速度运动，设点P的运动时间为xs，OP＝ycm，y随x变化的图象如图②所示，则扇形AOB的面积为（）A．3πcm2 B．πcm2C．2πcm2 D．1.5πcm210.D【解析】由图象可知，点P从点B运动到点O的时间为π+6﹣(π+3)＝3s，∴OB＝3cm，即扇形的半径为3cm，由图象可知，点P从点O运动到点B的时间为π+3，∴弧长为πcm，设扇形的圆心角为n，根据弧长公式可得，n×3π180=π，解得n＝60°，∴由扇形的面积公式可得，S扇形AOB二、填空题11.一个二次二项式分解后其中的一个因式为x﹣3，请写出一个满足条件的二次二项式

．11.x2﹣9（答案不唯一）【解析】∵（x﹣3）（x+3）＝x2﹣9，∵x2﹣9是二次二项式，∴x2﹣9符合题意．12.小颖将几盒粉笔整齐地摞在讲桌上，同学们发现从正面、左面、上面三个方向看到的粉笔形状相同（如图所示），那么这摞粉笔一共有

盒．12.4【解析】由俯视图可得最底层有3盒，由正视图和左视图可得第二层有1盒，共有4盒．13.某校科技小组进行野外考查，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，这是因为人和木板对湿地的压力F一定时，人和木板对地面的压强

P（Pa）与木板面积S（m2）存在函数关系P=FS（如图所示）若木板面积为0.2m2，则压强为13.3000【解析】由已知反比例函数解析式为

P=FS，将（0.5，1200）代入，得1200=F0.5，解得F＝600，∴

P=600S，当S＝0.2m2时，

P=6000.2，解得

P＝14.如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5…以此类推，则点D2023的坐标是

．14.（﹣2023，﹣2024）【解析】如图，过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，过点D3作D3G⊥y轴于点G，过点D4作D4H⊥x轴于点H，过点D5作D5K⊥y轴于点K，∵正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，D（1，0），∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝BC＝CD＝AD

=2，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO＝45°，∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1）.∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，∴∠D1AE＝45°，∠AED1＝90°，AD1＝AD

=2，∴AE＝AD1•cos∠D1AE

=2cos45°＝1，D1E＝AD1•sin∠D1AE

=2sin45°＝1，∴OE＝OA+AE＝1+1＝2，BD1＝AB+AD1

=2+2=2

2，∴D1（1，2），∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，∴∠D2BF＝45°，∠D2FB＝90°，BD2＝BD1＝2

2，∴D2F＝BD2sin∠D2BF＝2

2sin45°＝2，BF＝BD2cos∠D2BF＝2

2cos45°＝2，∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，∴D2（﹣3，2），再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……同理可得D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），…，观察发现，每四个点一个循环，D4n（4n+1，﹣4n），D4n+1（4n+1，4n+2），D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），D4n+3（﹣4n﹣3，﹣4n﹣4），∵2023＝4×505+3，∴D202315.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，M为边BC的中点，点D为边BC上一动点，连接AD，将边AC沿直线AD翻折得到线段AE，连接ME，则EM长度的取值范围为

．15.5−2≤EM【解析】如图，连接AM．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC＝2，∵M为边BC的中点，∴BM＝MC＝12BC=1，∴AM=AC2+CM2=22+12=5，由对称的性质可知，AE＝AC＝2.∵EM≥AM﹣AE=5−2，∴EM的最小值为5−2，当点D与B三、解答题16.解方程和不等式组：（1）2x（2）3+16.解：（1）去分母得，2﹣x+3＝﹣1，移项、合并同类项得，x＝6，经检验，x＝6是原方程的解；（2）由①得，x＞﹣2，由②得，x≤5，∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤5．17.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力、态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，满分均为10分，综合各项指标成绩高者将被录用．测试成绩如下面条形统计图所示：（1）若按四项成绩平均分最高者被录用，则甲、乙、丙三人中

将被录用；（2）若这家公司比较看重员工的学历和态度，并且把学历、经验、能力、态度四个方面按2∶1∶1∶2的比例计算三人的综合得分，请通过计算说明谁将被录用？（3）如果你是这家公司的招聘领导，你将按什么比例计算三人的综合得分？说明理由．（要求：你的方案不能和前两问相同）17.解：（1）丙；【解法提示】甲四项成绩的平均分为

9+8+7+54=7.25（分），乙四项成绩的平均分为

8+6+8+74=7.25（分），丙四项成绩（2）甲的综合得分为：9×2乙的综合得分为：8×2丙的综合得分为：8×2∵7.33＞7.17，∴乙将被录用；（3）把学历、经验、能力、态度四个方面按2∶2∶3∶3的比例计算三人的综合得分，∵工作能力和工作态度更重要（答案不唯一，合理即可）．18.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为53°，小冬站在G处继续放线，当再放2m长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面MN的高度恰好相等，C点的仰角为44°.若小冬的眼睛与地面MN的距离AG为1.6m，请计算风筝离地面MN的高度．（结果保留整数，参考数据：sin44°≈0.7，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）18.解：如图，过点A作AD∥MN，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．由题意得∠BAE＝53°，∠CAF＝44°，BE＝CF，AC＝(AB+2)m，设AB＝xm，则AC＝(x+2)m，在Rt△ABE中，sin∠∴BE≈0.8x

m；在Rt△ACF中，

sin∠∴CF≈0.7(x+2)m，∴0.8x=0.7(x+2)，解得x=14，∴BE≈0.8x=11.2（m），∴MN=11.2+1.6≈13（m）．答：风筝离地面MN的高度约为13m．19.【阅读与思考】如表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务．一元二次方程根与系数的关系通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系．从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别记为x1，x2，则有恒等式ax2+bx+c＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，即ax2+bx+c＝ax2﹣a(x1+x2)x+ax1x2．比较两边系数可得：x1+x2＝

，x1x2＝

．任务：（1）填空：x1+x2＝

，x1x2＝

；（2）小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．解：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，有两个实数根x1＝

，x2＝

；…（3）已知关于x的方程2x2+3mx+m2＝0的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出m的值．19.解：（1）−ba，【解法提示】根据题意得，b

=-a（

x1+x2），c

=a

x1x2，∴x1+x2=−（2）

−b−b2【解法提示】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，有两个实数根x1

=−b−b2−4ac2a，x2

=−b+b2−4ac（3）﹣1或4.【解法提示】∵a＝2，b＝3m，c＝m2，∴方程2x2+3mx+m2＝0的两根之和为−ba=−3∵两根之和与两根之积的和等于2，∴−3m2+m22=2，解得m＝20.如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．（1）徽徽猜想∠C+2∠BDC＝90°，徽徽的猜想正确吗？请说明理由；（2）若BDAD=63，BC＝2米，求车轮20.解：（1）徽徽的猜想正确，理由如下：如图，连接OD，∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，∴∠C+∠DOC＝90°，∠ODB+∠BDC＝90°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠OBD＝90°∴∠A＝∠BDC，由圆周角定理得，∠DOC＝2∠A，∴∠DOC＝2∠BDC，∴∠C+2∠BDC＝90°；（2）∵∠BDC＝∠A，∠C＝∠C，BC=2，∴△CBD∽△CDA，∴

BCDC=解得DC

=6，AB＝1答：车轮的直径AB的长为1米．21.为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：甲：所有商品按原价8.5折出售；乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如（1）分别求y甲，y乙关于（2）两图象交于点A，求点A坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．21.解：（1）由题意可得，y甲＝0.85x当0≤x≤300时，y乙＝x当x＞300时，y乙＝300+（x−300）×0.7＝0.7x+90则y乙

=（2）令0.85x＝0.7x+90，解得x＝600，将x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，即点A的坐标为（600，510）；（3）由图象可得，当x＜600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当x＝600时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．22.综合与实践数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：操作探究（1）如图①，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，则∠EBC＝

°．若F是BE的中点，连接AF，则AF与DE的数量关系是

；迁移探究（2）如图②，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，其他条件不变，求出此时∠EBC的度数及AF与DE的数量关系；拓展应用（3）如图③，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．在旋转过程中，当∠EBC＝15°时，直接写出线段AF的长．22.解：（1）90，AF=12【解法提示】∵将等边△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，∴B，A，D共线，E，A，C共线，∠EAD＝∠BAC＝60°＝∠ABC，AE＝AD＝AB，∴∠EAD＝∠AEB+∠ABE，∴∠AEB＝∠ABE＝30°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝90°，∵AB＝AD，F是BE的中点，∴AF是△BDE的中位线，∴AF

=1（2）∵等边三角形ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，∴AB＝AD＝AE，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∴∠EBC＝∠ABC

−∠ABE＝60°

−45°＝15°；∵F是BE的中点，∴∠AFB＝90°，∴△AFB是等腰直角三角形，∴AF

=22∵AB＝BC＝DE，∴AF

=22（3）1或3．【解法提示】当E在B