（讲评用卷）2023年河南某郑州一中三模·数学

数学试卷第页（共页）2023年河南某郑州一中三模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题1.负数最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果买了两头牛记作+2，则卖了三头牛可记作()A．3 B．－3C．|3| D．11.B【解析】买了两头牛记作+2，则卖了三头牛可记作－3.

2.郑州是我国重要的交通枢纽，也是“国家中心城市”之一．将“国家中心城市”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是()A．“国” B．“心” C．“城” D．“市”2.D【解析】在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是“市”．3.作为中原大省，河南省是我国的人口大省、农业大省、经济大省，2022年，河南省凭借6.13万亿元的经济总量占据全国各省份第五位，占全国的5.0%，将数据“6.13万亿”用科学记数法表示为()A．6.13×108 B．6.13×1010C．6.13×1012 D．6.13×10143.C【解析】6.13万亿＝6130000000000＝6.13×1012，4.如图，直线l1∥l2，点B，C分别在直线l1和l2上，则下列结论不一定成立的是()A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1+∠4＝90° D．∠4+∠5＝180°4.C【解析】∵直线l1∥l2，∴∠1＝∠2，∴A选项不符合题意；∵直线l1∥l2，∴∠3＝∠4，∴B选项不符合题意；∵∠2+∠4不一定为90°，且∠1＝∠2，∴∠1+∠4不一定为90°，∴C选项不一定成立，符合题意；∵直线l1∥l2，∴∠4+∠5＝180°，∴D选项不符合题意．5.下列运算正确的是()A．a2+a3＝a5 B．b3•b4＝b7C．(－2c2)3＝－6c6 D．－a8÷a2＝－a45.B【解析】a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；b3•b4＝b7，故B符合题意；(－2c2)3＝－8c6，故C不符合题意；－a8÷a2＝－a6，故D不符合题意.6.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是()A．AB＝BC B．OA＝OCC．AC⊥BD D．AC＝BD6.D【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC，AC⊥BD，但不能得到AC＝BD，∴AC＝BD不一定成立.7.一元二次方程x2+2mx+m2－1＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定7.A【解析】∵

b2−4ac＝(2m)2－4(m2－1)＝4＞08.近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是()A．镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小B．图中曲线是反比例函数的图象(其中一支)C．当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约为200度D．对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应8.C【解析】由图可知，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)的关系式为y

=100x，∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意；图中曲线是反比例函数的图象的其中一支，故B正确，不符合题意；将x＝0.3．代入y

=100x，y值约为333，故C不正确，符合题意；对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应，故9.小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将△OBA固定在坐标系中，其中A(2，4)，B(2，0)，接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1，称为第一次转动，然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2，称为第二次转动，…那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为()A．(4，－2) B．(−C．(25，−2)

9.A【解析】∵△OBA每次绕点O逆时针旋转90°，∴第4次旋转后△OBA回到初始位置，又∵2023÷4＝505……3，∴当△OBA旋转2023次后的位置与旋转第3次后的位置重合，即此时点A与点A3重合，∵点A(2，4)，∴点A3(4，－2)，∴转动2023次后，点A的坐标为(4，－2)．10.在学习过一次函数后，小星准备利用已有知识探索函数y＝|x+1|的图象与性质，通过列表、描点、连线，他得到了此图象，图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列说法正确的有()①点A的坐标是(1，0)；②函数图象是一个轴对称图形；③y随着x的增大而增大；④该函数有最小值，最小值为0；⑤∠BAO＝45°.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10.C【解析】①当y＝0时，x＝－1，∴点A的坐标是(－1，0)，故①错误；②函数图象是一个轴对称图形，对称轴为直线x＝－1，故②正确；③当x＞－1时，y随x的增大而增大，故③错误；④由图象可知，该函数有最小值，最小值为0，故④正确；⑤∵函数y＝x+1的图象过A(－1，0)，B(0，1)，∴OA＝OB＝1，∴∠BAO＝45°，故⑤正确．综上所述，正确的说法有②④⑤共3个.二、填空题11.若二次根式

x+1有意义，则实数x的取值范围是11.x

≥－1【解析】根据题意得x+1≥0，解得x

≥－1，即x的取值范围为x

≥－1．12.不等式组

x+1＞12.－1＜x

≤

2【解析】x+1＞0①3x−1≤5②，解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得13.已知关于x的一元二次方程x2+kx－6＝0的一个根是2，则另一个根是

．13.－3【解析】设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，m×2＝－6，∴m＝－3.14.如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若AB＝1，则该点取自阴影部分的概率为

．14.2【解析】如图，在矩形ABCD中，CD＝CE＝1，∴DE

=12+12=2，∠ADC＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝1，∴AD＝BC

=2，∠ADE＝45°，∴S2

=14π×12

−12×1×1

=π4−12，S扇形ADE

=45π⋅(215.如图，在△ABC中，AB＝AC

=3+1，∠BAC＝120°，P、Q是边BC上两点，将△ABP沿直线AP折叠，△ACQ沿直线AQ折叠，使得B、C的对应点重合于点R．当△PQR为直角三角形时，线段AP的长为15.2或

6【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，设AR与BC交于点E，由翻折可知，∠ARQ＝∠C，∠ARP＝∠B，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC

=3+1，∴∠B＝∠C＝30°，AD

=12AB

=3+12，BD＝CD

=32AB

=3+32，∴∠PRQ＝∠B+∠C＝60°.当∠RPQ＝90°时，如图①，由题意得RP∥AD，∴∠EAD＝∠ERP＝∠B＝30°，在Rt△ADE中，AD

=3+12，∠EAD＝30°，∴DE

=33AD

=3+36.设BP＝a，则PR＝a，PE＝BD－BP－DE

=3+32−a

−3+36=3+33−a，在Rt△PRE中，∠PRE＝30°，∴PR

=3PE，即a

=3×(

3当∠RQP＝90°时，如图②，由①同理可得，CQ＝QR＝1，DQ＝AD

=3+12，设PD＝b，则BP＝PR＝BD－PD

=3+32−b，在Rt△PQR中，由勾股定理得，PR2－PQ2＝QR2，即(

3+32−b)2－(

3+12+b)2＝1，解得b

=3−12，即PD

=3−12，在Rt△APD中，由勾股定理得，AP2＝AD2+PD2＝(

3

图①

图②三、解答题16.(1)计算：−8(2)化简：

(116.解：(1)原式＝－2+1+＝－1+=−(2)原式==x+1x=117.【问题背景】书法展现人文修养、道德追求和精神气度，书法特别强调书品与人品的统一，“苟非其人，虽工不贵”(苏轼语)；“高韵深情，坚质浩气，缺一不可为书”(刘熙载)．某校特别重视中学生的书法养成教育，为了检测效果，从全校学生中随机抽取20%的学生进行测评．【评分标准】评委会依据书写、结构、字形、效果等方面制定了标准：90分及以上为优秀；80－89分为良好(含80分)；60－79(含60分)分为及格；60分以下为不及格，并将测评成绩制成图表．【图表信息】成绩频数频率优秀16m良好n0.24及格180.36不及格40.08【数据分析】(1)m＝

，n＝

；(2)参加本次测试学生的平均成绩为

；(3)已知“良好”组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，82，85，则所抽取的这些学生测试成绩的中位数是

；(4)【数据应用】请估计该校书法测评成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生总人数．17.解：(1)0.32，12；【解法提示】(1)由题意得，m＝1－(0.08+0.36+0.24)＝0.32，n

=40.08×0.24(2)78.4分；【解法提示】参加本次测试学生的平均成绩(92×16+84×12+70×18+45×4)÷50＝78.4(分)．(3)81.5；【解法提示】将“80－89”这组的学生测试成绩重新排列为80，81，81，82，83，84，85，85，85，86，87，88，不及格和及格段的学生一共有4+18＝22(人)，优秀的学生有16人，∴所抽取的50名学生测试成绩从低到高位于第25、26位的是81、82，∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是(81+82)÷2＝81.5．(4)(16+12)÷20%＝140(人)，答：估计该校书法测试成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数大约是140人．18.一次函数y＝－x+1的图象与反比例函数

y=kx的图象交于A(－1，m)(1)求反比例函数的表达式；(2)请在如图所示的坐标网格xOy中画出这两个函数的图象，根据图象回答下列问题．①点B的坐标为

；②不等式

−x+1≤18.解：(1)∵一次函数y＝－x+1的图象过A(－1，m)，∴m＝1+1＝2，∴A点坐标为(－1，2)，又∵反比例函数图象过A点，∴k＝－1×2＝－2，∴反比例函数解析式为y

=−(2)画出图象如图所示，①点B(2，－1)；【解法提示】①如图，联立一次函数和反比例函数表达式得

y=解得

x=2y=即点B(2，－1)；②－1≤x＜0或x≥2．【解法提示】②由图象得，不等式

−x+1≤kx的解集为－1≤x19.一天小明和小亮一起到湖边游玩，他们发现小湖对岸有一座美丽的古塔，为了测量塔的高度，他们选择了一座建筑物CD(建筑物的底部D与古塔的底部F在同一水平线上)，在建筑物顶端C处测得古塔顶端A的仰角为11.5°，测得塔顶A在水中的倒影点B的俯角为18.7°，已知建筑物CD的高度为18m，求古塔AF的高度．(结果精确到1m，参考数据：sin11.5°≈0.20，cos11.5°≈0.98，tan11.5°≈0.20，sin18.7°≈0.32，cos18.7°≈0.95，tan18.7°≈0.34．)19.解：如图，延长CE交AB于点G，由题意得，CG⊥AB，AF＝BF，CD＝GF＝18m，设CG＝x

m，在Rt△ACG中，∠ACG＝11.5°，∴AG＝CG•tan11.5°≈0.2x

m，∴AF＝AG+GF＝(0.2x+18)m，在Rt△CBG中，∠BCG＝18.7°，∴BG＝CG•tan18.7°≈0.34xm，∴BF＝BG－FG＝(0.34x－18)m，∴0.2x+18＝0.34x－18，解得x≈257.1，∴AF＝0.2x+18≈69m，∴古塔AF的高度约为69m．20.端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？20.解：(1)A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，

100x解得

x=答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；(2)设超市购进B种品牌的粽子m袋，A种品牌的粽子(300－m)袋，总费用为W元，依题意，得W＝25(300－m)+30m＝5m+7500，∵5＞0，∴W随m的增大而增大，∵300－m≤2m，∴m

≥100，∴m＝100时，W有最小值，此时购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，W＝5×100+7500＝8000(元)．答：购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，能使总费用最低．21.【材料】自从《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：(1)连接OP，分别以O、P为圆心，以大于

12OP

的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点(A、B分别位于直线OP的上下两(2)作直线AB，AB交OP于点C；(3)以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q(点Q位于直线OP的上侧)；(4)连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．【问题】(1)请按照步骤完成作图，并准确标注字母(尺规作图，保留作图痕迹)；(2)结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；(3)若⊙O半径为2，OP＝6．依据作图痕迹求QD的长．21.解：(1)按照步骤完成作图如下;(2)由题意得：OP为⊙C的直径，∴∠OQP＝90°

(直径所对的圆周角为

90°

)，∴OQ⊥PQ，∵OQ为⊙O的半径，∴直线PQ为⊙O的切线;(3)如图，连接OD．∵OQ＝2，OP＝6，在Rt△OPQ中，PQ

=O由图知AB为OP的垂直平分线，∴OD＝PD，设QD＝x，则

OD＝PD＝4

2−x在Rt△OQD中，OD2＝OQ2+QD2，∴

(4解得x=7∴QD的长为7222.一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5m，宽为3m的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．22.解：(1)设抛物线解析式为y＝ax2，∵桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米，∴点A(－10，－4)，∴－4＝100a，解得a

=−∴该抛物线的解析式y

=−125(2)将x

=52代入y

=−125x2∵

−14−3∴水面所在直线为y

=−将y

=−134代入y

=−125x2解得x

=5132或x∵

5132−(

−5132)∴此时水面的宽度为5

13m．23.综合与实践【问题背景】如图①，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E为边BC上一点，沿直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边上的点C′处．(1)【问题解决】填空：AC′的长为

；(2)如图②，展开后，将△DC′E沿线段AB向右平移，使点C′与点B重合，得到△D′BE′，D′E′与BC交于点F，求线段EF的长．(3)【拓展探究】如图③，在△DC′E沿射线AB向右平移的过程中，设点C′的对应点