第20讲 新高考新结构命题下的圆锥曲线解答题综合训练（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page新高考新结构命题下的圆锥曲线解答题综合训练（7类核心考点精讲精练）在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：三考题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。三重强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。三突出试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。圆锥曲线版块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，易于学生入手。同样不能忽视的是，圆锥曲线版块也可能被置于第18、19题这样的压轴大题中，此时的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的圆锥曲线解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的圆锥曲线解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。考点一、弦长及面积问题1．（2024·浙江·二模）已知点为抛物线与圆在第一象限的交点，另一交点为.(1)求；(2)若点在圆上，直线为抛物线的切线，求的周长．2．（2024·江西·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点），(1)求双曲线的离心率；(2)求的面积.4．（2024·河北·模拟预测）已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点．(1)求的离心率；(2)设点，求的面积．5．（2024·四川南充·一模）已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率.6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右顶点分别为，左､右焦点分别为是椭圆上一点，，直线的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)若过右焦点的直线与椭圆交于点，直线交于点，求当时，的值.考点二、中点弦问题1．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1.(1)抛物线的方程；(2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标.2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．(1)求双曲线E的方程；(2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．3．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为.(1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求.(2)当直线的斜率为3时，求点坐标.4．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程.5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点，直线的斜率记为.(1)证明：；(2)若，焦距为.①求椭圆的方程；②若点为椭圆的右顶点，，且直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，求直线的方程.6．（2024·山西长治·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为，且该椭圆过点(1)求椭圆E的方程；(2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程；(3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.考点三、轨迹问题1．（2024·广东·模拟预测）已知，直线交于点，且直线的斜率之积为，点的轨迹记为曲线．(1)求的方程．(2)不过点的直线与交于两点，且直线与的斜率之和为，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点.(1)求点的轨迹的方程；(2)过作两条互相垂直的直线交曲线于交曲线于，连接弦的中点和的中点交曲线于，若，求的斜率.3．（2024·浙江温州·三模）已知直线与双曲线相切于点.(1)试在集合中选择一个数作为的值，使得相应的的值存在，并求出相应的的值；(2)过点与垂直的直线分别交轴于两点，是线段的中点，求点的轨迹方程.4．（2024·云南·模拟预测）椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上运动（与左､右顶点不重合），已知的内切圆圆心为，延长交轴于点.(1)当点运动到椭圆的上顶点时，求；(2)当点在椭圆上运动时，为定值，求内切圆圆心的轨迹方程；(3)点关于轴对称的点为，直线与相交于点，已知点的轨迹为，过点的直线与曲线交于两点，试说明：是否存在直线，使得点为线段的中点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.5．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，一直线与从原点出发的两条象限角平分线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于，两点，且满足，线段的中点为，记点的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)点，，，过点的一条直线与交于、两点，直线，分别交直线于点，，且满足，，证明：为定值.6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D.(1)求点D的轨迹E的方程；(2)过C上一点作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求面积的最小值.考点四、定点定直线问题1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．(1)求的方程；(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点．2．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．(1)求椭圆的方程；(2)求证：点在定直线上.3．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．4．（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上．5．（2024·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.(1)求E的方程；(2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.6．（2024·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为．(1)求C的方程；(2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上．考点五、定值问题1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知椭圆的焦距为，点在上．(1)求的方程；(2)点是的左顶点，直线交于两点，分别交直线于点，线段的中点为，直线与轴相交于点，直线的斜率为，求证：为定值．2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知分别为椭圆的左顶点和上顶点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与轴交于点，该直线与的一个交点为，与曲线的另一个交点为．(1)若平分，求的内切圆半径；(2)设直线与的另一个交点为，则直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A−2,0，两点．(1)求C的方程；(2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明：（ⅰ）存在常数，满足；（ⅱ）的面积为定值．4．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．(1)求的方程；(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由．5．（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线的准线过点，(1)求抛物线的标准方程;(2)若角为锐角，以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A、B两点，作线段的垂直平分线交轴于点，证明:为定值，并求此定值.6．（2024·广西贵港·模拟预测）已知两条抛物线，．(1)求与在第一象限的交点的坐标．(2)已知点A，B，C都在曲线上，直线AB和AC均与相切．（ⅰ）求证：直线BC也与相切．（ⅱ）设直线AB，AC，BC分别与曲线相切于D，E，F三点，记的面积为，的面积为．试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．考点六、最值及范围问题1．（2024·全国·模拟预测）已知是坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，线段是圆的一条直径，且的最小值为．(1)求的方程；(2)过点作圆的两条切线，与分别交于异于点的点，求直线斜率的最大值．2．（2024·全国·三模）如图，动直线与抛物线：交于A，B两点，点C是以AB为直径的圆与的一个交点（不同于A，B），点C在AB上的投影为点M，直线为的一条切线.

(1)证明：为定值；(2)求与的内切圆半径之和的取值范围.3．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆上任意一点，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M的轨迹为曲线H.(1)求曲线H的方程;(2)若过点M的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段ST的中点.(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；(ii)求的取值范围.4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知双曲线一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为.当与轴垂直时，(1)求双曲线的标准方程；(2)若交轴于点，，.①求证：为定值；②若，当时，求实数的取值范围.5．（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围．6．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．(1)求的方程．(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．（i）证明：直线过定点；（ii）求面积的最大值．考点七、新定义问题1．（2024·山东青岛·三模）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.(1)求的方程;(2)若是四边形的等线，求四边形的面积;(3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线2．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；(2)若点Px0,y0不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点C0,1，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；(2)在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程；(3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值.5．（2024·江西新余·二模）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P，(1)已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标：(2)已知二次方程的图像是由平面