第08讲 新高考新结构命题下的立体几何解答题综合训练（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第08讲新高考新结构命题下的立体几何解答题综合训练（10类核心考点精讲精练）在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：三考题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。三重强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。三突出试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。立体几何版块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，易于学生入手。同样不能忽视的是，立体几何版块也可能被置于第18、19题这样的压轴大题中，此时的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。考点一、空间中平行关系的证明1．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为矩形，且平面平面分别为棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，且二面角的大小为120°，求的值．2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面底面，点分别是的中点，点在棱上且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.3．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在圆柱中，分别为圆柱的母线和下底面的直径，为底面圆周上一点.(1)若为的中点，求证：平面；(2)若，圆柱的体积为，求二面角的正弦值.4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在九面体ABCDEFGH中，平面平面，平面平面，，，底面ABCDEF为正六边形．

(1)证明：平面ABCDEF．(2)证明：平面AFG．(3)求GE与平面所成角的正弦值．5．（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.

(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.考点二、空间中垂直关系的证明1．（2024·陕西商洛·三模）如图，在四棱锥中，平面，平面平面．(1)证明：；(2)若为的中点，，求到平面的距离．2．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面．

(1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．3．（2024·全国·模拟预测）如图，将绕边旋转得到，其中平面，连结分别是的中点，平面．

(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值．4．（2024·安徽·一模）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，M是的中点，.(1)证明：平面；(2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.5．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，为边长为3的正三角形，侧面为正方形，在底面内的射影为点O．

(1)求证：；(2)若，求直线和平面的距离．考点三、空间向量法求空间角与空间距离1．（2024·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值；(3)求A点到直线的距离.2．（2024·河北·模拟预测）如图所示，三棱柱中，分别为棱的中点，分别是棱上的点，.(1)求证：直线平面；(2)若三棱柱为正三棱柱，求平面和平面的夹角的大小.3．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面.

(1)求证：平面平面.(2)求二面角的余弦值.(3)为平面内一点，若平面，求的长.4．（2024·贵州·模拟预测）在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点.(1)过点的平面平行于平面且与交于点，求；(2)若平面平面，且，求点到平面的距离.5．（2024·辽宁沈阳·三模）已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点.

(1)若平面平面，求三棱锥的体积；(2)设且，若直线与平面所成角等于，求的值.考点四、几何法求空间角与空间距离1．（2024·辽宁丹东·一模）如图，在四棱锥中，，，，，，点在棱上．

(1)求证：平面平面；(2)若平面分两部分几何体与的体积之比，求二面角的正弦值．2．（2024·重庆渝中·模拟预测）如图，已知在正三棱柱中，为边的中点.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的大小.3．（2024·江西南昌·三模）如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.(1)求证：，，，四点共面：(2)求平面与平面所成角的余弦值.4．（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，在三棱柱中，正方形的棱长为2，，点M为AB中点，．(1)求证：三棱柱为直三棱柱；(2)求直线与平面所成角的余弦值．5．（2024·广东汕头·三模）如图，四面体中，是的中点，，(1)求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；(2)求点E到平面ACD的距离.考点五、动点问题1．（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

(1)证明：平面平面；(2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．(3)点是线段CD上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．2．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形是直角梯形，，平面是的中点，E是的中点，的面积为，四棱锥的体积为．(1)求证：平面;(2)若P是线段上一动点，当二面角的大小为时，求的值．3．（23-24高二上·广西·阶段练习）如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为，是圆柱的轴截面，正方形内接于下底面圆，点是中点，.

(1)求证：平面平面；(2)若点为线段上的动点，求直线与平面所成角的余弦值的最小值.4．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若为的中点，证明：平面平面；(2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值.5．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．考点六、范围问题1．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足．(1)求三棱锥的体积的最大值；(2)记平面与平面所成的锐二面角为，当最小时，求的值，并说明点所处的位置．2．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且.(1)当时，求证平面；(2)设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值.3．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.4．（2023·浙江·模拟预测）在三棱锥中，，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为．(1)求三棱锥体积的取值范围；(2)当直线与平面所成角最小时，求二面角的平面角的余弦值.5．（2023·河南·模拟预测）如图，在正四棱台中，，，，为棱，的中点，棱上存在一点，使得平面．

(1)求；(2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．6．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．．(1)求证：是直角三角形；(2)求四棱锥体积的最大值；(3)求平面与平面的夹角余弦值的范围．考点七、立体几何中的存在性问题1．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.

(1)证明：平面.(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2．（2023·天津·一模）已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．3．（2023·福建龙岩·二模）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．

(1)求侧棱的长；(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，直四棱柱的底面为菱形，且，分别是上，下底面的中心，是的中点，．(1)求证：平面；(2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心．若存在，求，若不存在，请说明理由．5．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P、Q分别是棱、的中点．

(1)在底面内是否存在点M，满足平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由；(2)设平面CPQ交棱于点T，平面CPTQ将四棱台，分成上、下两部分，求上、下两部分的体积比．考点八、立体几何中的劣构性问题1．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形，，平面，，，，，平面与棱交于点.再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知.(1)求证：；(2)求直线与平面夹角的正弦值；(3)求的值.条件①：；条件②：；条件③：.2．（2024·江苏南通·二模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面相交于点H.(1)从下面两个结论中选一个证明：①；②直线HE，GF，AC相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分.(2)求直线BD与平面的距离.3．（2024·北京海淀·一模）如图，在四棱锥中，为的中点，平面.(1)求证：；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定.（i）求证：平面；（ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知四棱锥的底面是正方形，给出下列三个条件：①；②；③平面.(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；(2)在（1）的条件下，若，当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.5．（23-24高三上·北京朝阳·期末）如图，在四棱锥中，，侧面底面，是的中点.(1)求证：平面；(2)已知，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角的余弦值.条件①：；条件②：；条件③：直线与平面所成角的正切值为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.考点九、立体几何中的杂糅问题1．（2024·福建·模拟预测）在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.(1)求直线CD与平面所成角的大小；(2)设点，且，记E的轨迹为曲线Γ.（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.2．（2024·河北石家庄·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；(2)若过作，垂足为.（i）证明:直线过定点；（ii）求的最大值.3．（2024·山东·模拟预测）如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）．(1)证明：；(2)当最小时，①求，两点间的最小距离；②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值．4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线，点在的准线上，过焦点的直线与相交于两点，且为正三角形．(1)求的面积；(2)取平面外一点使得，设为的中点，若，求二面角的余弦值．考点十、立体几何中的新定义问题1．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，.(1)证明：平行六面体是直四棱柱；(2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系.2．（2022·辽宁沈阳·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设（i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.3．（23-24高一下·福建三明·期末）阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.”已知在直四棱柱中，底面为菱形..（角的运算均采用弧度制）(1)若，求四棱柱在顶点处的离散曲率