高等数学（第五版）课件 第六章 定积分

定积分及其应用定积分的概念定积分的概念

引例

曲边梯形的面积

所谓曲边梯形是指在直角坐标系中，由连续曲线

，直线(且)，以及

轴所围成的图形，如图所示．1.什么是曲边梯形的面积？定积分的概念

引例

曲边梯形的面积2.为什么研究曲边梯形的面积？

讨论曲边梯形的面积具有普遍的意义，如图所表示的平面图形的面积，就是曲边梯形

与曲边梯形

面积之差．

解决这个问题的困难之处在于曲边梯形的上部边界是一条曲线，在中学已经学习了一些规则的平面图形（如矩形、三角形、梯形等）面积的计算问题。

计算曲边梯形面积的步骤:

(1)若把曲边梯形分割成许多细小的曲边梯形；

(2)用我们易求的矩形面积近似代替小曲边梯形的面积；

(3)大曲边梯形面积的近似值就是所有小矩形的面积之和；定积分的概念

3.如何计算曲边梯形的面积？

计算曲边梯形面积的步骤:

(4)把曲边梯形无限分割，若分割的越细，小曲边梯形的宽度越小，小矩形和小曲边梯形的近似程度就越高，误差就越小。当所有小曲边梯形的宽度都趋于零时，则所有小矩形面积之和的极限值就是这个大曲边梯形面积的精确值。定积分的概念

3.如何计算曲边梯形的面积？定积分的概念

计算曲边梯形面积的步骤：

（1）分割

用分点

将区间

分成任意

个小区间

第

个小区间记为

，其长度为

，过每一个分点做垂直于

轴的直线，把曲边梯形分为

个小曲边梯形。定积分的概念

计算曲边梯形面积的步骤：

（2）近似代替在每个小区间

上，任取一点

，那么，以

为底，

为高的矩形面积为

．设第

个小曲边梯形的面积为

，则：定积分的概念

计算曲边梯形面积的步骤：

（3）求和

将

个小矩形的面积相加，得曲边梯形面积

的近似值，即：（4）取极限

记

，让每个小区间的长度趋向于零，则：定积分的概念

引例

变速直线运动的路程

设一物体作变速直线运动，已知运动速度

为时间

的连续函数

，求在时间间隔

内物体运动的路程

。

对于匀速直线运动，由于速度

是不变的，因此有：路程＝速度×时间，而对于变速运动就不能用此方法进行解决，但是，考虑到在很短时间间隔内，速度的变化是微小的，可以近似地理解为物体在作匀速直线运动。于是，我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法来处理这个问题。

第

个小区间记为

，其长度为

；

（2）近似代替

在每个小时间区间

上任取一个时刻

，在

处物体运动的速度为

，那么，在时间段

上物体运动路程的近似值为：定积分的概念

（1）分割

用分点

将区间

分成任意

个小区间定积分的概念

（3）求和

物体在时间间隔

内走过路程的近似值为：

（4）取极限

记

，当

时，上述和式的极限就是物体在时间间隔

上运动的路程，即：定积分的概念

上述两个问题，虽然具有不同的实际意义，但解决问题的思想方法是相同的，均归结为求一种特定和式的极限。抽去问题的实际意义，数学上把这种和式的极限叫做定积分。定积分的概念定积分的概念

定积分的概念

根据定积分的定义，上面两个引例均可用定积分表示。

曲边梯形的面积可表示为函数

在区间

上的定积分

。

物体作变速直线运动所走过的路程可表示为速度函数

在区间

上的定积分

。其中

称为被积函数，

称为积分变量，

称为被积表达式，

称为积分区间，

分别称为积分下限和积分上限，称为积分号。定积分的概念

定积分定义的几点说明：定积分的概念

定积分定义的几点说明：

（3）“积分和式”的极限

存在，是指不论对

怎样划分，也不论

怎样选择，它都有同样的极限值。

（4）如果

在

上的定积分存在，我们就说

在

上可积。可以证明在闭区间上连续的函数或只有有限多个第一类间断点的有界函数，都是可积的。THANKS！定积分的几何意义定积分的几何意义

根据定积分的定义和引例可知，定积分的几何意义如下：

（1）如果函数

在

上连续，且

，则定积分

在几何上就表示曲线

与直线

所围成的曲边梯形的面积，如图所示。

（2）如果函数

在

上连续，且

，则定积分

在几何上就表示曲线

与直线

所围成的曲边梯形面积的负值，如图所示。定积分的几何意义

根据定积分的定义和引例可知，定积分的几何意义如下：

（3）如果函数

在

上连续，且有时取正值，有时取负值，如图所示，则有：

。定积分的几何意义

根据定积分的定义和引例可知，定积分的几何意义如下：因此，定积分

在几何上表示由曲线

与直线

所围成的曲边梯形面积的代数和。习题讲解

解：画出被积函数

在区间

上的图形，如图所示。利用定积分的几何意义求

。例题1

由图可以看出，在区间

上，由曲线

、

轴、

轴所围成的曲边梯形是

个单位圆，所以由定积分的几何意义可得：

。THANKS！定积分的性质性质一定积分的性质

两个函数代数和的积分等于积分的代数和，即：可以推广到有限多个函数代数和的情形。性质二被积函数中的常数因子可以提到积分号外，即：（

为常数）性质三定积分的性质

（定积分对区间的可加性）对任意点

有：性质四

（比较性）如果函数

与

在区间

上总满足条件：

,则

点

的任意性是指，不论

是区间

内的点，还是区间

外的点，这一性质均成立.推论

如果函数

在区间

上满足条件：

，则定积分的性质

（估值性）如果函数

在区间

上的最大值与最小值分别为

与,则：性质五性质5的几何意义是：

由曲线

，直线

所围成的曲边梯形面积，介于以区间

为底，最小值

为高的矩形面积，和以区间

为底，最大值

为高的矩形面积之间，如图所示。定积分的性质

性质六（定积分中值定理）如果函数

在区间

上连续，则在

上至少存在一点

，使得：定积分中值定理的几何意义是：

设

，则该性质表示以区间

为底，以连续曲线

为曲边的曲边梯形的面积，总可以等于底边相同而高为

的一个矩形的面积，如图所示。

特别地，当

时，定积分的性质

通常我们把

叫做连续曲线

在闭区间

上的平均高度，或叫做函数

在区间

上的平均值。因此，定积分中值定理也叫做平均值定理。

连续函数的平均值概念应用广泛，如求平均速度、平均电压、平均温度、人均收入等。习题讲解

利用定积分的性质，比较

与

值的大小。例题2

解：当

时，

，所以根据定积分性质4知：习题讲解

例题3利用定积分的性质，估计定积分

的值。

解：首先计算函数

在区间

上的最大值和最小值。因为

，令

，得驻点

，所以

在区间

上的最大值为,最小值,根据性质5得：THANKS！变上限定积分函数及其导数变上限定积分函数及其导数

设函数

在区间

上连续，

，则函数

在

上可积，即定积分

存在。

这里字母

既出现在被积表达式中，又出现在积分上限中，但它们的意义是不同的。由于定积分的值与积分变量无关，我们把积分变量换成

，即得

。

若固定下限

不变，则对任意一个

，定积分

都有唯一确定的值与

相对应，所以

是上限

的函数，称它为变上限定积分函数，记作

，即

。变上限定积分函数及其导数

根据定积分的几何意义，当

时，

表示图中阴影部分的面积，因此

也称为面积函数。

既然

是

的函数，在一定条件下就可以求其导数。变上限定积分函数及其导数

定理

（原函数存在定理）若函数

在区间

上连续，则变上限定积分所确定的函数

在

内可导，且

，即

是被积函数

的一个原函数。证

根据导数的定义来求

的导数。

因为

，则．

设函数

在点

处的增量为

，则:变上限定积分函数及其导数

因为函数

在区间

上连续，且

与

均在

上，根据定积分中值定理，有：其中

介于

与

之间，于是有：故即

是被积函数

的一个原函数。习题讲解

求下列函数的导数：例题1解：(1)根据定理5.1得.（1）

（2）(2)是

的函数，因而是

的复合函数，令

，则：，根据复合函数求导法则得：THANKS！牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式

定理

（微积分基本公式）设函数

在区间

上连续，

是

在

上的任意一个原函数，即

，则：

证

已知

是

的一个原函数，根据定理5.1知也是

的一个原函数，于是知：

（

为一常数）

为了确定常数

，令

，有：牛顿-莱布尼茨公式

因为

，所以

，于是：令

，有：因为定积分值与积分变量的记号无关，仍用

表示积分变量，即得：为了书写方便，公式

也常写为：

该公式称为牛顿——莱布尼兹公式（简记为

公式），也叫做微积分基本公式。习题讲解

计算下列定积分：例题1解：(1)

(2)

(3)（1）

（2）

（3）THANKS！定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法定积分的换元积分法

例题1解法一：

先利用不定积分的换元积分法求出原函数，再用微积分基本公式来计算定积分。设

，则

，

，于是：求因此

定积分的换元积分法

解法二：

设

，则

，

。当

从0连续地增加到4时，

相应地从0增加到2；即当

时，

；

时，

，于是：例题2求定积分的换元积分法

两种方法得到同样的结果，并且第二种比第一种简便。因为积分变量换成

的同时，积分上下限也随着一起变了，在完成关于变量

的积分后，直接用

的上下限代入计算定积分的值，因而省掉了第一种方法中的变量回代这一步。将方法二推广即可得到定积分的换元积分法。定积分的换元积分法

设函数

在

上连续，作变换

，它满足以下条件：定理（1）

在区间

上具有连续的导数

；（2）

，

；（3）当

时，

；

则:习题讲解

解：设

，即

，

，当

时，

，当

时，

，于是：求例题3习题讲解

例题4解：令

，则

，当

时，

；当

时，

．计算故习题讲解

例题5设函数

在对称区间

上连续，试证明：（1）若

是奇函数，则（2）若

是偶函数，则解法一：由定积分的几何意义，此结论是显然的，如图所示习题讲解

解法二：证明：因为

令

，则当

时，

；当

时，

，（1）如果

是奇函数，

，则

因此

。

（2）若

是偶函数

，

，则

．

定积分的换元积分法

例5的结论，常可以简化奇函数、偶函数在对称区间的定积分。如计算定积分

时，由于被积函数是奇函数，所以其值为0。THANKS！定积分的分部积分法定积分的分部积分法

设函数

，

在

上有连续导数

，

，则：定理这就是定积分的分部积分公式。解：习题讲解

求定积分例题1例题2求定积分解：习题讲解

在电力需求的电涌时期，消耗电能的速度

可以近似地表示为（单位：

），求在两小时内消耗的总电能

（单位：

）。案例【电能】解：

THANKS！无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分

引例由定积分的几何意义，可以得到该曲边梯形的面积为:求曲线

与直线

所围成的曲边梯形的面积。当

时，

的极限为

，即：

这个极限表示的是曲线

，

轴及直线

右边所构成的“开口曲边梯形的面积”。

一般地，对于积分区间是无限区间的积分，我们给出如下定义：定义5.2

这时也称反常积分

存在或收敛；否则就说该反常积分不存在或发散。设函数

在

上连续，任取

，如果极限

存在，就称此极限值为函数

在

上的反常积分，记作

，

即：无穷区间上的反常积分

类似地定义：函数

在

上的反常积分为：函数

在

上的反常积分为：其中

为任意常数，当

与

均收敛时，反常积分

才是收敛的，否则该反常积分是发散的。无穷区间上的反常积分

例1求

。解：

计算反常积分时，为了书写简便，常常省去极限记号，而形式地把“

”当成一个“数”，直接利用牛顿——莱布尼兹公式的公式进行计算。习题讲解

其中

为函数

的原函数，记号

，

应理解为极限运算，即：

，

。

习题讲解

讨论

的敛散性。例2解：

，因为

不存在，所以

发散。例3讨论

的敛散性。当

时，

所以反常积分

，

当

时发散，当

时收敛。解：当

时，

，积分分散；习题讲解

案例5.4【润滑油供应问题】

某公司生产了一批超音速运输机之后停产了，但该公司承诺将为客户终身供应一种适于该机型的特殊润滑油，一年后该批飞机的用油率（单位：升/年）由下式给出：

，其中

表示飞机服役的年数

；该公司要一次性生产该批飞机所需润滑油并在需要时分发出去，请问需要生产此润滑油多少升？习题讲解

即600升润滑油将保证终身供应。

解：因为

是一年后该批飞机的用油率，所以在第一年到第

年间的任意一个时间段

中，该批飞机所需要的润滑油的数量等于

，因此从第一年到第

年间所需要的润滑油的数量等于

，那么

就等于该批飞机终身所需的润滑油的数量。=600（升）习题讲解

THANKS！微元法微元法

计算曲边梯形面积的方法和步骤。总的思路是将区间

分成

个子区间，所求的曲边梯形的面积

被分成每个子区间

上小曲边梯形的面积

的和，即

。在任意一个子区间

上任取一点

，则小曲边梯形面积

的近似值为：

，记

，求和取极限，得：微元法

满足上述条件的非均匀量

就可以按如下步骤求得：第一步：将所求量

分为部分量之和，即:；第二步：求出每个部分量的近似值，

；第三步：写出整体量

的近似值，

；第四步：取

，求

时，

的极限，则得微元法

微元法

微元法

定积分的微元法：

（1）选取积分变量，并确定积分区间；

（2）把积分区间

分成

个子区间，任取一个微小区间

，然后写出在这个小区间上的部分量

的近似值，记为(称为

的微元)；

（3）以所求量

的微元

为被积表达式，在区间

上作定积分，得

这就是所求量

的积分表达式。按照上述步骤，求总量

的方法，叫做定积分的微元法。THANKS！用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积

引例

由曲线

及直线(且)，与

轴所围成的曲边梯形的面积

是函数

在区间

上的定积分，其中被积表达式

就是直角坐标下的面积元素，它表示高为

，底为

的一个矩形面积。用定积分求平面图形的面积

根据定积分的微元法，我们不难得到以下平面区域面积的定积分表示。(1)曲线

，直线(且)，与

轴所围成的平面区域的面积：

若

，则其面积为

；

若

，则其面积为

；

若

在区间

上既有取正的部分，也有取负的部分，则其面积为：用定积分求平面图形的面积

根据定积分的微元法，我们不难得到以下平面区域面积的定积分表示。(2)曲线

与

，假设()及直线

(且)所围成图形，如图所示，则其面积为(3)曲线

，

，直线()，围成图形，如图所示，则其面积为:习题讲解

例1：计算由两条抛物线

与

所围成的图形的面积。

解：

两条曲线的交点为

，选

为积分变量，则积分区间为

，面积微元为

，则所求面积为：习题讲解

例2：计算抛物线

与直线

所围成图形的面积。

解：求抛物线与直线的交点，即解方程组

，交点

如果选择

为积分变量，

，在区间

上任取一个子区间

，则在区间

上的面积微元是

，于是：

如果选择

为积分变量，那么它的表达式就比上式复杂，所以在这里不再求解。习题讲解

例3：求椭圆