高等数学（第五版）课件 第二章 极限与连续

第一节极限的概念第一节极限的概念

“一尺之捶，日取其半，万世不竭”

《庄子·天下》

意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完。第一节极限的概念把它转化为数学语言是：无穷数列的通项的通项

，当项数n无限增大时，通项

的极限为零。

第一节极限的概念

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失。”

第一节极限的概念动画展示第一节极限的概念

极限是高等数学中一个重要的概念，是研究微分学的重要工具，微分学中的许多重要概念，如导数、定积分等，均通过极限来定义，它是在解决一些实际问题中，尤其是在求几何问题和物理问题的精确解时产生的．因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分学的前提条件．

二、函数的极限

1.无穷小

2.无穷大

三、无穷小与无穷大

1.当时函数的极限

2.当时函数的极限

3.函数极限的性质

一、数列的极限

数列的极限1.数列的概念

自变量为正整数的函数

是函数的一种特殊形式。当

取正整数而无限增大(记作

)，其函数值按自变量

由小到大排列成一列数

这一列数称为数列，简记为

，其中，

为数列

的通项或一般项。数列的极限1.数列的极限

考察下面两个数列

的变化趋势．

（1）

（2）将它们的前几项分别在数轴上表示出来，如图所示．数列的极限1.数列的极限

定义2.1对于数列

，如果当

无限增大时，通项

无限趋近于某个确定的常数，则称为数列

的极限，记作

或并称数列

是收敛的．如果数列

没有极限，则称该数列发散．

一般地①

，②

，③

.这里

均为常数.数列的极限例2.1

观察下列数列的极限:（1）

（2）

（3）

数列的极限

如果数列

对于每一个正整数

，都有

，则称数列

为单调递增数列；如果数列

对于每一个正整数，都有

，则称数列为单调递减数列。

如果对于数列

，存在一个正常数

，使得对于每一项

，都有

，则称数列

为有界数列。

数列有一个重要定理:

定理2.1（单调有界原理）单调有界数列必有极限。

函数的极限1.当时函数的极限当自变量的绝对值无限增大时，

的变化趋势，

函数的极限

动脑筋想一想？

与存在吗？函数的极限

函数的极限定理2.2

例2

函数的极限

动脑筋想一想？与存在吗？存在吗？不存在函数的极限案例2.1【耐用品销量】

当一种新的APP通过广告推出后，试用它的人将越来越多，但随着时间的推移，试用这一产品的新人的增长率逐渐减小，试用产品总人数N(t)关于时间t的图形可近似地描述如图所示。可以想象，即使时间t无限向后推移（即当时间t无限增大时），使用产品的总人数N(t)也不会超过所考虑区域内所有人的总数，它只可能越来越接近于不超过总人数N的某一确定值。即t趋于无穷大时，t时刻使用产品的总人数N(t)趋于某一饱和值N0(N0≤所考虑区域内的总人数N)。反映在图形上即当时间t越来越长时，它的图形越来越接近于直线N(t)=N0，但无论如何也不会超过这一直线。

函数的极限2.当时函数的极限当自变量无限地接近于

时，

的变化趋势，即

时，函数

的极限。（1）当时函数的极限的函数值的变化趋势。考察当时，函数和当时，的值均无限接近于2。

和注意：函数的极限是否存在与其在该点处是否有定义无关。函数的极限2.当时函数的极限（1）当时函数的极限

或

（当

时）

例2.4求极限例2.5求极限函数的极限（2）函数的左、右极限（，）

设函数

在

某个左（右）邻域内有定义，如果当

且

（或

且

）时，函数

，那么就称

为函数

在点

处的左（右）极限。或左极限记作：右极限记作：或函数的极限定理2.3函数

当

时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限都存在且相等，即

因此，若左右极限都存在，但不相等，或者左右极限中至少有一个不存在时就可断言

在

处极限不存在。函数的极限

动脑筋想一想？函数在点

处的左、右极限有几种可能情况？（1）左、右极限均存在,且相等；（2）左、右极限均存在,但不相等；（3）左、右极限中至少有一个不存在。函数的极限例2.6求，在

处的左、右极限。解由于

，所以不存在。例2.7求，在

处的左、右极限。解由于，所以。函数的极限习题补充

求，在

处的左、右极限。解由于，所以不存在。y=f(x)xOy11学有所思思考

时的变化趋势？无穷大与无穷小

动脑筋想一想？函数

是无穷小？还是无穷大？当

时

，

是无穷小，当

时

，

是无穷大，函数的极限案例2.2

【三角脉冲】

脉冲发生器产生的一个三角脉冲，其波形是一条折线，其电压U与时间t的函数关系为

讨论此函数当时的极限。

解

因为

，

，所以

。函数极限的性质

3.函数极限的性质

性质一（唯一性）如果（或）存在，那么该极限值是唯一的．

性质二（局部有界性）如果，则存在的某一去心邻域，在此邻域内函数有界.函数极限的性质

3.函数极限的性质

性质三（局部保号性）

如果

，当

＞0（或

＜0）时，则存在

的某一去心邻域，在此邻域内函数

＞0（或

＜0）．

性质四（夹逼准则）

如果在

的某个邻域内有

，则

．

无穷小与无穷大

1.无穷小极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。

因为

所以函数

是当

时的无穷小；因为

所以函数

是当

时的无穷小；因为

所以函数

是当

时的无穷小。无穷大与无穷小

动脑筋想一想？（1）请举出几个当

时函数是无穷小的例子；（2）非常小的一个数是不是无穷小？无穷小与无穷大

1.无穷小定义2.5

若自变量

某一变化过程中，函数

的极限为零，则称

为自变量在此变化过程中的无穷小量（简称无穷小）。记作

，其中“

”是简记符号，可表示

（或

或

），

（或

或

）等。无穷小与无穷大注意（1）称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆；（3）零是可以作为无穷小的唯一的数。无穷小与无穷大定理2.4在自变量

的同一个变化过程中，函数

有极限

的充分必要条件是

，其中

是自变量

在此变化过程中的无穷小．无穷小与无穷大定理2.5

有限个无穷小之和仍是无穷小。

定理2.6

有界函数与无穷小之积仍是无穷小。

（注意“有限个”，而不是“无限个”）

推论1

常数与无穷小之积仍是无穷小。

推论2

有限个无穷小之积仍是无穷小。

无穷小与无穷大例2.8求。解由于

，根据有界函数与无穷小之积仍是无穷小的性质，所以

。无穷小与无穷大学有所思《黄鹤楼送孟浩然之广陵》：意境深远，亦诗亦画，仔细体会这首诗的意境；在语精而意深的故事中，可以体会到数学中的哪些含蓄而深奥的概念？无穷小与无穷大

2.无穷大因为

所以函数

是当

时的无穷大。

如果当

（或

）时，对应函数值的绝对值

无限增大，则称

为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大），记作

（或

）。

注

（或

）只是沿用了极限符号，并不意味着函数存在极限，无穷大不是数，不可与绝对值很大的数混为一谈．

无穷小与无穷大

特别指出，无穷大和无穷小不同的是，在自变量同一变化过程中，两个无穷大的和、差、商的极限是没有确定结果的，对于这类问题要针对具体情况加以分析.定理2.7

在自变量的同一变化过程中：（1）如果

是无穷大，则

是无穷小；（2）如果

且

是无穷小，则

是无穷大。

学有所思无界变量与无穷大量有区别吗?升学直通车

2.当

时，下列不属于无穷大量的函数是（

）（A）

（B）

（C）

（D）1.下列极限不存在的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）小结本次课主要介绍了极限的概念，包括自变量趋近于无穷大和有限值两种情况。自变量趋近于无穷大包括趋近于正无穷大和负无穷大两种，自变量趋近于有限值也包括左极限和右极限两种，函数极限的性质、无穷小与无穷大的概念，无穷小的运算性质，无穷小与无穷大的关系。通过学习，要求正确理解极限的概念，正确使用极限符号，等，会判断函数在给定点的极限是否存在，要求理解无穷小与有极限的函数之间的关系。作业

[1]复习本次课内容，预习极限的运算内容。[2]

智慧职教极限的概念任务点。

[3]P48，练习题2.11、2题。第二节极限的运算第二节极限的运算【引例２.4鱼的数量】通过某种手段测得水中某野生鱼数量N(单位：条)与时间t满足关系：问该水域中最多有多少条这种鱼？解求鱼的数量，实际是对鱼群数量的一个长远估计，求

即可。该水域中最多有2000条这种鱼。第二节极限的运算

一、极限的四则运算法则

则有定理2.8在自变量的同一变化过程中，如果

(3)

若

,第二节极限的运算推论1推论2推论在自变量的同一变化过程中，若为常数，则第二节极限的运算例2.9求例2.10求第二节极限的运算补充习题

求解第二节极限的运算知识点第二节极限的运算例2.11求例2.12求第二节极限的运算补充习题解（消去零因子法）时，分子、分母的极限都是零先约去不为零的无穷小因子后再求极限第二节极限的运算补充习题

求解时，分母，分子，但因第二节极限的运算例2.13求下列极限

分析：时，分母，分子。解“抓大头”其中，

为常数，为正整数。第二节极限的运算根据无穷小与无穷大的关系，第二节极限的运算一般地，当为非负整数时，有知识点第二节极限的运算解根据有界量与无穷小之积仍为无穷小的性质，得例2.14求

第二节极限的运算补充习题解先变形再求极限。是无穷小之和，当时，第二节极限的运算

动脑筋想一想？下列各题做法错在哪里?分母的极限为零，不能直接用商的极限运算法则。

无限个无穷小之和不一定是无穷小。先通分再求极限。

第二节极限的运算

二、复合函数的极限法则定理1.8：设函数

与

满足如下两个条件：（1）

；则

.（2）当

时，

，且

，

把

换成

或

，

把

换成

，可得类似定理.注意第二节极限的运算即计算

：

（2）若

，再求

时

的极限，即

.事实上，就是用换元法求复合函数极限。（1）先求当

时中间变量

的极限，即

；

定理表示，若函数

与

满足该定理的条件，那么代换

可把求

化为先求

，再求

。第二节极限的运算例2.15求解：函数

是由

，

复合而成的，因此求解时，先求

，即

，再求

，即

.于是：第二节极限的运算例2.16解时，分子、分母的极限都是零先分母有理化，再约去不为零的无穷小因子后求极限（分母有理化法）第二节极限的运算解时，被减数、减数的极限都不存在先通分，再约去不为零的无穷小因子后求极限（通分法）例2.17求例2.18解时，被减数、减数的极限都不存在先通分，再约去不为零的无穷小因子后求极限（通分法）第二节极限的运算小结极限的四则运算法则小结不能直接利用极限的四则运算法则的几种情形小结本次课主要介绍了极限的四则运算法则和复合函数的极限法则。通过学习，要求正确运用极限的四则运算法则求极限，对于不能直接运用极限的四则运算法则的四种题型要通过多做题掌握方法。作业

[1]复习本次课内容，预习极限的运算的余部内容。[2]智慧职教极限的运算任务点。

[3]作业P581、2题。THANKS！第二节极限的运算第二节极限的运算回顾

一、极限的四则运算法则

三、两个重要的极限

二、复合函数的极限法则

四、无穷小比较第二节极限的运算练习解第二节极限的运算

三、两个重要的极限注意：（1）；（2）含有三角函数；（3）

；0第二节极限的运算例2.19求.解补充习题

求.解第二节极限的运算例2.20求.解第二节极限的运算例2.21求.解第二节极限的运算例2.22求.解第二节极限的运算是幂指函数是初等函数注意：（1）；（2）含有幂指函数；（3）（3）1第二节极限的运算例2.23求.解法一解法二第二节极限的运算例2.24求.解例2.25求.解(根据复合函数的极限法则)第二节极限的运算习题补充

求.解第二节极限的运算

四、无穷小比较第二节极限的运算第二节极限的运算

（2）如果

，就说

与

是同阶无穷小；

1、无穷小的比较第二节极限的运算定理2.10在自变量的同一变化过程中，

～

的充要条件是

.定理2.11如果

存在，那么

2、等价无穷小的性质第二节极限的运算例2.26求.解例2.27求.解第二节极限的运算

动脑筋想一想？类似可求.第二节极限的运算

动脑筋想一想？下列解法对吗?第二节极限的运算

动脑筋想一想？注意：等价无穷小代换只能“将整个分子或分母用等价无穷小代换”或“分子与分母中积的部分因子用等价无穷小代换”，不能对用“+”、“-”号连接的各部分分别代换，否则将会出现错误。函数的极限案例2.3

【投资收益】

某顾客以本金现值元进行一次投资，设投资的年利率为，（1）如果每年结算次，按复利计算，则年后资金总额将变为多少？（2）如果每年结算次，且（即按连续复利方式计算），则年后资金总额将变为多少？

解如果每年结算

次，设

年后资金总额为

。（1）因为每年结算

次，所以复利率为

，到

年共结算

次，则

年后资金总额为函数的极限案例2.3

【投资收益】

某顾客以本金现值元进行一次投资，设投资的年利率为，（1）如果每年结算次，按复利计算，则年后资金总额将变为多少？（2）如果每年结算次，且（即按连续复利方式计算），则年后资金总额将变为多少？

解（2）当

时，年后资金总额为令

，则升学直通车

1.极限（）（A）

（B）

（C）0（D）

2.________________升学直通车

3.当

时，

是

的（）（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小

（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小4.当

时，

与

等价，则（）（A）

（B）

（C）

（D）小结（1）；（2）含有三角函数；（1）；（2）含有幂指函数；（1）；（2）含有幂指函数；本节课主要学习了两个重要的极限，要求掌握用两个重要极限求一些极限的方法。（3）1（3）（3）

0小结无穷小的比较两个无穷小的商是一种型的未定式极限，反映了分子、分母两个无穷小趋近于零的速度的“快慢”程度。小结设

和

是在自变量同一变化过程中的无穷小，

且

是

的高阶无穷小

是

的低阶无穷小

与

是同阶无穷小

与

是等价无穷小小结作业

[1]复习本次课内容，预习函数的连续性内容。[2]智慧职教任务点。

[4]P584、5题。THANKS！THANKS！第三节函数的连续性第三节函数的连续性

“连绵不断”的概念在数学中有着重要的地位，那么它是怎样定义的呢？

一、函数连续的概念

二、函数的间断点

“连续”这个貌似通俗的概念，其数学描述却不简单。极限不仅能描述“连续”概念，而且可揭示连续函数的一些重要性质。

三、闭区间上连续函数的性质

1.函数在

处的连续性

2.区间上的连续函数

3.复合函数的连续性

4.初等函数的连续性第三节函数的连续性

一、函数连续的概念【引例2.5增量】设变量

从它的一个初值

变到终值

，终值与初值之差

称为变量的

增量，记作

，即

。注增量

可以是正的，也可以是负的，记号

不表示某个量

与变量

的乘积，

是一个不可分割的整体性记号。当

时，变量

从

变到

，是增大的；当

时，变量

从

变到

，是减小的。第三节函数的连续性

一、函数连续的概念如图：对于函数函数相应的有一个改变量，增量（改变量）——因变量的改变量如果给一个改变量第三节函数的连续性1.函数在处的连续性定义2.6设函数

在

的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量

趋于零时，对应的函数值增量

也趋于零，即

，那么就称函数

在点

连续．若设，当，有可见，就是，所以与等价。第三节函数的连续性1.函数在处的连续性定义2.7

设函数

在

的某一邻域内有定义，如果函数

当

时的极限存在，且等于它在

处的函数值

，即

（2.2）那么就称函数

在点

连续．注意：函数在点连续，必须同时满足以下三个条件：（1）函数在的一个邻域内有定义；（2）存在；（3）。第三节函数的连续性证明：当自变量

的增量为

时，函数

对应的增量为例2.29

所以函数

在

处连续.由于第三节函数的连续性定义

定理2.12

第三节函数的连续性注：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

2、区间上的连续函数

函数的极限案例2.4

【阴影面积】

如图所示，OABC是边长为1的正方形，另有一直线．设正方形与平面区域的公共部分（图中的阴影部分）的面积为：（1）写出的表达式；（2）证明是的连续函数．

解由图易得（1）函数的极限案例2.4

【阴影面积】

如图所示，OABC是边长为1的正方形，另有一直线．设正方形与平面区域的公共部分（图中的阴影部分）的面积为：（1）写出的表达式；（2）证明是的连续函数．

解由图易得（2）因为所以函数在处连续；

因为，所以函数在处连续；

因为，所以函数在处连续．因此，函数是关于的连续函数．第三节函数的连续性例2.30证明函数在区间内连续．证设为内任意给定的一点，当有增量时，对应的函数的增量是由于，因此．又因为，故．当时，由夹逼准则知，从而，这就证明了在区间内每一点都是连续的．同理，可证在区间内连续．第三节函数的连续性3.复合函数的连续性注：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

第三节函数的连续性定理2.13可见：极限符号与函数符号可交换次序。

即第三节函数的连续性例2.31

在

上是连续的，

在

和

内是连续的，根据定理可知：

第三节函数的连续性例2.32求

解：函数

是由

及

复合而成的复合函数。

因为

，而函数

在

处连续，故极限符号可以与函数符号交换，所以第三节函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续定义区间是指包含在定义域内的区间。结论

4.初等函数的连续性第三节函数的连续性解：例2.33求升学直通车

1.已知函数

在

处连续，则

（

）（A）1

（B）-1

（C）0（D）3小结1.函数在点连续的等价形式函数在点连续，必须同时满足以下三个条件：（1）函数在处有定义；（2）存在；（3）。作业

[1]复习本次课内容，预习函数的连续性内容。[2]

智慧职教函数的连续性任务点。

[3]P66，练习题2.31、2题。THANKS！函数的间断点知识回顾

间断点的定义

间断点的类型

函数的间断点按其单侧极限是否存在，分为第一类间断点与第二类间断点设

是函数

的间断点，定义2.8

如果单侧极限

及

中至少有一个不存在，则称

为第二类间断点。第一类间断点（1）分析：函数

处无定义，故

是间断点。由于

，可知

都存在，因此

是它的第一类间断点。

则函数在

处连续，因此把

称为该函数的可去间断点。第一类间断点（2）

但

，因此

是它的第一类间断点。

分析：第一类间断点（3）由于

，故

不存在，因此

是函数的第一类间断点。从图可知，该函数在

处产生跳跃现象，因此

为该函数的跳跃间断点。第一类间断点包含可去间断点和跳跃间断点两种第一类间断点oyx

若

称

为可去间断点可去型

若

称

为跳跃间断点第二类间断点（1）分析：由于函数在

处无定义，又

，知左、右极限都不存在，因此

是函数的第二类间断