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文档简介

用定积分求旋转体的体积用定积分求旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转一周而形成的立体图形。这条直线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而形成的立体图形，所以它们都是旋转体。用定积分求旋转体的体积

选

为积分变量，则

，对区间

进行划分，任取一个小区间

，过该区间的两个端点作垂直于

轴的截面，设截得薄片的体积为

，当

很小时，于是得旋转体的体积微元为

，积分得旋转体的体积为：下面求由连续曲线

，直线(且)，与

轴所围成的平面图形，绕

轴旋转一周所形成的立体的体积，如图所示。用定积分求旋转体的体积

若旋转体是由曲线

，

，直线

，及

轴所围成的平面图形绕

轴旋转一周而生成，如图所示，同样地，我们可以得到该旋转体的体积为：习题讲解

例1求椭圆

所围成的图形绕

轴和

轴旋转一周所成旋转体（旋转椭球体）的体积。

解：绕

轴旋转生成的椭球体可以看作是由半个椭圆

及

轴所围成的图形绕

轴旋转一周而生成，由于体积微元为：

所以x+dxxyOxab习题讲解

例1求椭圆

所围成的的图形绕

轴和

轴旋转一周所成旋转体（旋转椭球体）的体积。

绕

轴旋转时，由于体积微元为

所以当

时，旋转椭球体就成为半径

的球体，它的体积为

。习题讲解

案例【喇叭体积】

一个喇叭可以近似地看作由曲线

，直线

以及

轴所围成的图形绕

轴旋转所成的旋转体，如图所示，求此旋转体的体积。

解：在

上任取一点

，此旋转体的体积微元可近似地看成一个圆柱体，其中

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