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文档简介
函数的极值函数的极值的定义函数的极大值和极小值统称为极值。极大值点和极小值点统称为极值点。设函数
在
的某领域内有定义，若当
在
的领域内但不等于
时，恒有（1）
则称
是函数
的一个极大值；（2）
则称
是函数
的一个极小值；
定义：注意
1.函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中有的极大值可能比极小值还小！
2.函数极值的概念是局部性的，它们与函数的最大值、最小值（以后函数在其定义域上的最大值与最小值统称为最值）不同。极值是相对于一个局部而言的，而最大值与最小值是就函数的定义域而言的。函数的极值的定义极值的必要条件y=x3但由右图可知，
不是它的极值点。定理（极值的必要条件）设函数
在点
处可导，且在点
处有极值，则必有
。
思考：极值点与驻点的关系?例如：求导得：当
时，不存在。极值的必要条件但是，由
的图像可以看出，是该函数的极大值，
是极大值点。极值的充分条件
定理
（极值的第一充分条件
）设函数
在点
的某去心领域内可导，在点
处，有
或
不存在。则：
(1)如果当
时，
，当
时，
，则
是
的极大值点，
是
的极大值；
(2)如果当
时，
，当
时，
，则
是
的极小值点，
是
的极小值；极值的充分条件求极值的步骤求连续函数
极值的步骤：1.确定函数
的定义域；4.用驻点和不可导点把
的定义域划分成若干个区间，考察每个区间内
的符号，按照定理判断各驻点及不可导点是否为极大值点、极小值点，并由极值点求出函数的极值。（最好通过列表判断）2.求导数
；3.求出函数的驻点及不可导点；习题讲解列表判断令
，解得驻点为
无导数不存在点。例1求函数
的极值。
的定义域为
，解：则，
时，
取得极大值10，
时，
取得极小值-22。00极大值10极小值-22列表判断
令
，得驻点
，
当
时，
不存在，习题讲解例2求函数
的极值。则，
时，
取得极大值0，
时，
取得极小值.0不存在极大值0极小值-1/2解：的定义域为
，定理
（极值的第二充分条件）设函数
在点
处二阶可导，且
，
极值的充分条件注意
若
，则用此定理无法判定
是否为函数的极值点，这时需用第一充分条件定理判定。（1）若
，那么
是极大值点；（2）若
，那么
是极小值点。函数的定义域为
，解：习题讲解求函数
的极值。例3令
，得驻点
函数无不可导点，而
，
由定理知，是函数的极小值点，且极小值，
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