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文档简介

函数的极值函数的极值的定义函数的极大值和极小值统称为极值。极大值点和极小值点统称为极值点。设函数

在

的某领域内有定义，若当

在

的领域内但不等于

时，恒有（1）

则称

是函数

的一个极大值；（2）

则称

是函数

的一个极小值；

定义：注意

1.函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中有的极大值可能比极小值还小！

2.函数极值的概念是局部性的，它们与函数的最大值、最小值（以后函数在其定义域上的最大值与最小值统称为最值）不同。极值是相对于一个局部而言的，而最大值与最小值是就函数的定义域而言的。函数的极值的定义极值的必要条件y=x3但由右图可知，

不是它的极值点。定理（极值的必要条件）设函数

在点

处可导，且在点

处有极值，则必有

。

思考：极值点与驻点的关系?例如：求导得：当

时，不存在。极值的必要条件但是，由

的图像可以看出，是该函数的极大值，

是极大值点。极值的充分条件

定理

（极值的第一充分条件

）设函数

在点

的某去心领域内可导，在点

处，有

或

不存在。则：

(1)如果当

时，

，当

时，

，则

是

的极大值点，

是

的极大值；

(2)如果当

时，

，当

时，

，则

是

的极小值点，

是

的极小值；极值的充分条件求极值的步骤求连续函数

极值的步骤：1.确定函数

的定义域；4.用驻点和不可导点把

的定义域划分成若干个区间，考察每个区间内

的符号，按照定理判断各驻点及不可导点是否为极大值点、极小值点，并由极值点求出函数的极值。（最好通过列表判断）2.求导数

；3.求出函数的驻点及不可导点；习题讲解列表判断令

，解得驻点为

无导数不存在点。例1求函数

的极值。

的定义域为

，解：则，

时，

取得极大值10，

时，

取得极小值-22。00极大值10极小值-22列表判断

令

，得驻点

，

当

时，

不存在，习题讲解例2求函数

的极值。则，

时，

取得极大值0，

时，

取得极小值.0不存在极大值0极小值-1/2解：的定义域为

，定理

（极值的第二充分条件）设函数

在点

处二阶可导，且

，

极值的充分条件注意

若

，则用此定理无法判定

是否为函数的极值点，这时需用第一充分条件定理判定。（1）若

，那么

是极大值点；（2）若

，那么

是极小值点。函数的定义域为

，解：习题讲解求函数

的极值。例3令

，得驻点

函数无不可导点，而

，

由定理知，是函数的极小值点，且极小值，

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