高等数学（第五版）课件 3.1导数的概念

第三章

导数与微分第三章导数与微分

在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、线速度、化学反应速度以及生物繁殖率等；而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题．所有这些在数量上都归结为函数的变化率，即导数．

第一节导数的概念

第二节导数的运算法则

第三节函数的微分

第四节MATLAB数学实验（三）

导数思想最早由法国数学家

Ferma在研究极值问题中提出.微积分学的创始人:英国数学家

Newton德国数学家

Leibniz微分学导数

描述函数变化快慢微分

描述函数变化程度导数的概念速度切线导数的概念

本节由实例给出了一元函数的导数和高阶导数的概念，由此归纳出了求函数导数的一般法则，介绍了导数的几何意义，并给出了可导和连续的关系.两个实例

两个实例：

微分学的第一个最基本的概念——导数，来源于实际中两个最典型的朴素概念：速度与切线.两个实例

两个实例

引例3.1：

变速直线运动的瞬时速度

设一质点自原点开始作直线运动，已知运动方程，现在求质点

在时刻的瞬时速度.

当时间

在

有一增量

时，质点

在

这段时间内走过的路程为图3.1于是，比值两个实例

引例3.1：

变速直线运动的瞬时速度

设一质点自原点开始作直线运动，已知运动方程，现在求质点

在时刻的瞬时速度.图3.1

当时间

在

有一增量

时，质点

在

这段时间内走过的路程为引例3.2：

平面曲线的切线斜率

设

为曲线

上的一点，当自变量

在点

处取得增量

时，在曲线

相应地得到另一点连接此两点得割线

，设其与

轴的夹角为

，则割线的斜率为.两个实例

两个实例

图3.1引例31：

变速直线运动的瞬时速度

设一质点自原点开始作直线运动，已知运动方程，现在求质点

在时刻的瞬时速度.

当时间

在

有一增量

时，质点

在

这段时间内走过的路程为于是，比值两个实例

设

为曲线

上的一点，当自变量

在点

处取得增量

时，在曲线

相应地得到另一点连接此两点得割线

，设其与

轴的夹角为

，则割线

的斜率为.两个实例

引例3.2：

平面曲线的切线斜率思路分析思路分析（1）求函数增量

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)（2）求比值

x

x

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)（3）求极限1.函数

在点

处的导数

y

f

(

x0

x)

f

(

x0

)导数的定义

定义3.1：

设函数

在点

的某个邻域内有定义，导数的定义

定义3.1设函数

在点

的某个邻域内有定义，即：记为：若极限存在，则称此极限值为函数

在点

处的导数，并称函数

在点

处可导.1.函数

在点

处的导数如果极限不存在，则称函数

在点

不可导.若令

，则有

，当

时

，可得等价表达式导数的定义左右导数

既然极限问题有左极限、右极限之分，而函数

在点

的导数是用一个极限式定义的，自然就有左导数和右导数的问题.导数的概念定义3.2

若

和

分别记为函数

在点

处的左导数和右导数，则可定义如下：导数的概念定理3.1根据左、右极限的性质，有下面定理：

函数

在点

的左、右导数存在且相等的充要条件是函数

在点

可导.导数的概念若函数

在

内的每一点处都可导，则称函数

在内可导，其导数值是随

的变化而变化的函数，称为导函数，简称导数，记为

，

或显然，函数

在点

处的导数

等于

在点

处的函数值，即：

根据左、右极限的性质，有下面定理：导数的概念引例3.3:【变速直线运动的瞬时加速度】

我们知道，变速直线运动的速度

是距离

对时间

的导数，即

或

，而速度

也是时间

的函数，它对时间的导数则是物体在时刻

的瞬时加速度，即

这种导数的导数

或

叫做

对

的二阶导数，记作

或

.导数的概念定义3.3

如果函数

的导数

在点

处可导，则称

在点

处的导数为函数

在点

处的二阶导数，记为

或.类似地，如果二阶导数

的导数仍然存在，就将二阶导数的导数称为的三阶导数，记为

或.一般地，如果

阶导数的导数存在，就称

阶导数的导数为函数

的

阶导数，记为或高阶导数

（2）算比值：（3）取极限：求

的导数．例3.1（1）求增量：

解：习题讲解即：类似地，有（2）算比值：（3）取极限：设

求例3.2（1）求增量：

解：习题讲解由

知

求函数在某点的导数，一般是先求导函数，然后求导函数在该点的函数值，所以，

即可.

一般地，对于幂函数

（

为任意实数），有：

求已知函数

的导数

的运算，称为求导运算.由导数定义，只要计算极限导数的概念（1）

（

为常数）;（2）

（

为任意实数）；（3）

（4）（5）

（6）（7）

（8）基本导数公式（9）

（10）

（11）

（12）（13）

（14）（15）

（16）基本导数公式导数的定义例3.3解:先求一阶导数求函数

的二阶导数.再求函数的二阶导数思考与练习设

求

.导数的几何意义

由引例3.2可知，函数

在点

处的导数

的几何意义是曲线

在点

处切线的斜率，即若

存在不为零，曲线

在点

处的切线方程为

法线方程为若

则曲线

在点

处的切线平行于

轴，切线方程为

法线方程为若

则曲线

在点

处的切线垂直于

轴，切线方程为

法线方程为导数的几何意义

例3.4求抛物线

在点

处的切线方程和法线方程.

解：因为

由导数的几何意义知，曲线

在点处的切线斜率为

因此，所求的切线方程为即

法线方程为

即习题讲解例3.5问：曲线

上在哪一点的切线平行于直线

解:因为

且所求切线与直线

平行，得

即

解得

即曲线

在

处的切线平行于直线习题讲解求曲线

在点

处的切线方程和法线方程.思考与讨论定理3.2可导与连续

如果函数

在点

处可导，则它在点

处一定连续.证：由

在点

处可导，即

而

所以故函数

在点

处连续.

注：（1）函数

在

处连续，但在点

处不一定可导;（2）若

在

处不连续，则一定在点

处不可导.即

所以

在

处不可导.讨论函数

在

处的连续性与可导性.例3.6解：函数

在

的左、右导数分别为可导与连续

讨论函数

在

处的连续性与可导性.例3.

7解：（1）连续性：因为

由函数在一点连续的定义知，

在

处连续.（2）可导性：因为

极限不存在，所以

在

处不可导.可导与连续

思考与讨论讨论：

函数

在

和

处的连续性与可导性.升学直通车

1.