专项07-坐标与综合-专题训练（30道）

坐标与综合-专题训练（30道）1．已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．2．如图A（﹣4，0），B（6，0），C（2，4），D（﹣3，2）．（1）求四边形ABCD的面积；（2）在y轴上找一点P，使△APB的面积等于四边形的一半．求P点坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移，使点A（0，3）平移到A'（5，0），B平移到B'（1，﹣3）．（1）则B点的坐标为；（2）求△AB'B的面积．4．如图，在平面直角坐标系中：A（0，1），B（2，0），将点B向上平移1.5个单位得到点C．（1）求△ABC的面积．（2）如果在第二象限内有一点P（a，1），使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？求出P点的坐标．5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）如图1，三角形ABC的面积为；（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求三角形ACD的面积；②P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形AOC的面积，请求出点P的坐标．6．如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．（1）直接写出点E的坐标；（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：①当t＝秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；②求点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示，写出过程）；③当三角形PAB的面积为3.2时，求此时P点的坐标；④P点在运动过程中，三角形PAB面积的最大值是．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．（1）求点A、B的坐标；（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；（2）求四边形AA'B'B的面积；（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．9．在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图所示．（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD．如图2所示，若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m=−32时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点11．在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使S△PCDS△BCD=23（S△12．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣2，0），（4，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接AC、BD、CD．（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积．（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点F是直线BD上一个动点，连接FC、FO，当点F在直线BD上运动时，请直接写出∠OFC与∠FCD，∠FOB的数量关系．13．在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数，我们称P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，﹣2），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．（1）点A和点B的12系和点的坐标为（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．①求m的值；②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，求k的值．14．综合与实践问题背景如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，5），将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度．动手操作（1）画出AB平移后的线段CD，直接写出B的对应点D的坐标；探究证明（2）连接BD，试探究∠BAC，∠BDC的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸（3）若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，请求出∠ADB：∠AEB的值，并写出推理过程．15．已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO平移至线段BC，其中点A与点B对应．（1）如图1，若A（1，3），B（3，0），连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得S△AOD＝2S△ABC，求点D的坐标；（2）如图2，若∠AOB＝60°，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出∠CPO与∠BCP之间的数量关系（不用证明）．16．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D均在坐标轴上，AB∥CD．（1）求证：∠ABO+∠CDO＝90°；（2）如图2，BM平分∠ABO交x轴于点M，DN平分∠CDO交y轴于点N，求∠BMO+∠OND的值．17．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，AB⊥BC，AO＝OB＝2，BC＝3（1）写出点A、B、C的坐标．（2）如图②，过点B作BD∥AC交y轴于点D，求∠CAB+∠BDO的大小．（3）如图③，在图②中，作AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的度数．18．如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+c−4（1）求a，b，c的值．（2）求四边形AOBC的面积．（3）是否存在点P（x，−12x），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍？若存在，求出点19．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移个单位长度；②点B的坐标为；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，P（x0，y0）为△ABC内任意一点，若将△ABC作平移变换，使A点落在B点的位置上，已知A（3，4）；B（﹣2，2）；C（2，﹣2）．（1）请直接写出B点、C点、P点的对应点B1、C1、P1的坐标；（2）求S△AOC．23．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|+b−4=0，点（1）求a，b的值及S△ABC；（2）若点M在x轴上，且S△ACM=13S△ABC，试求点24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．25．已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．（1）求△ABC的面积是多少？（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S△ACP＝2S△ABC，求点P的坐标？（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S△BCQ＝2S△ABC，求点Q的坐标？26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），O为原点．（1）求三角形AOB的面积；（2）将线段AB沿x轴向右平移4个单位，得线段A′B′，坐标轴上有一点C满足三角形A′B′C的面积为9，求点C的坐标．27．已知点A（a，3），点B（b，6），点C（5，c），AC⊥x轴，CB⊥y轴，OB在第二象限的角平分线上：（1）写出A、B、C三点坐标；（2）求△ABC的面积；（3）若点P为线段OB上动点，当△BCP面积大于12小于16时，求点P横坐标取值范围．28．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5．（1）若点P在y轴上且S△PAD＝S△poc，求点P的坐标；（2）若点P在梯形内且S△PAD＝S△POC，S△PAO＝S△PCD，求点P的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=3−b+b−3−1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）∠DCP+∠BOP∠CPO30．如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．（1）直接写出点E的坐标；（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：①当t＝秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；③当3秒＜t＜5秒时，设∠CBP＝x°，∠PAD＝y°，∠BPA＝z°，试问x，y，z之间的数量关系能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由．

坐标与综合专项训练（30道）解析版1．已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【分析】（1）过点C向x、y轴作垂线，垂足分别为D、E，然后依据S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD求解即可．（2）设点P的坐标为（x，0），于是得到BP＝|x﹣2|，然后依据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD＝3×4−12×2×4−＝12﹣4﹣1﹣3＝4．（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．∵△ABP与△ABC的面积相等，∴12×1×|解得：x＝10或x＝﹣6．所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．2．如图A（﹣4，0），B（6，0），C（2，4），D（﹣3，2）．（1）求四边形ABCD的面积；（2）在y轴上找一点P，使△APB的面积等于四边形的一半．求P点坐标．【分析】（1）分别过C、D两点作x轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形求面积和；（2）设△APB的AB边上高为h，根据S△APB=12×S四边形ABCD，列方程求h，再根据所求P点可能在y【解答】解：（1）分别过C、D两点作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则S四边形ABCD＝S△ADF+S梯形CDFE+S△BCE=12×1×2+（2）设△APB的AB边上高为h，则由S△APB=12×S12×10×h解得h＝2.4又∵P点在y轴上，∴P（0，2.4）或（0，﹣2.4）．3．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移，使点A（0，3）平移到A'（5，0），B平移到B'（1，﹣3）．（1）则B点的坐标为（﹣4，0）；（2）求△AB'B的面积．【分析】（1）根据A和A′点的坐标可得平移方法，然后可得B点坐标；（2）利用平移的性质进行计算即可．【解答】解：（1）∵点A（0，3）平移到A′（5，0），∴平移的水平距离为5，铅垂距离为3，又∵B平移到B′（1，﹣3），∴B（﹣4，0），故答案为：（﹣4，0）；（2）如图1，连接AA'，由平移可得，AB∥B'A'，∴S△ABB'＝S△ABA'=12A'B×AO=14．如图，在平面直角坐标系中：A（0，1），B（2，0），将点B向上平移1.5个单位得到点C．（1）求△ABC的面积．（2）如果在第二象限内有一点P（a，1），使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？求出P点的坐标．【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可；（2）根据四边形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵将点B向上平移1.5个单位得到点C，∴点C的坐标为（2，1.5），∴△ABC的面积=1（2）∵四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，∴12解得：a＝±1，∵在第二象限内有一点P（a，1），∴a＝﹣1，所以点P的坐标（﹣1，1）．5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）如图1，三角形ABC的面积为6；（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求三角形ACD的面积；②P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形AOC的面积，请求出点P的坐标．【分析】（1）求出OA，OB，OC，可得结论．（2）①连接OD，根据S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC，求解即可．②根据面积关系构建方程，求出m即可．【解答】解：（1）∵点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，∴S△ABC=1故答案为：6．（2）①连接OD．由题意D（5，4），S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC=12×2×5+②由题意，12×2×|m|解得m＝±4，∴点P的坐标为（﹣4，3）或（4，3）．6．如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．（1）直接写出点E的坐标（﹣2，0）；（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：①当t＝2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；②求点P在运动过程中的坐标（用含t的式子表示，写出过程）；③当三角形PAB的面积为3.2时，求此时P点的坐标；④P点在运动过程中，三角形PAB面积的最大值是4．【分析】（1）根据BC＝AE＝3，OA＝1，推出OE＝2，可得结论．（2）①满足条件的点P坐标为（﹣2，2），由此可得结论．②分两种情形：点P在线段BC上或点P在线段CD上，分别求解即可．③首先判断满足条件的点P在线段CD上，设此时PD的长为m．构建方程求解即可．④当点P与D重合时，△PAB的面积最大．【解答】解：（1）∵C（﹣3，2），A（1，0），∴BC＝3，OA＝1，∵BC＝AE＝3，∴OE＝AE﹣AO＝2，∴E（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．（2）①由题意当P（﹣2，2）时，满足条件，此时t＝2．故答案为：2．②当点P在线段BC上时，点P的坐标（﹣t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（﹣3，5﹣t）．③当点P在线段BC上时，三角形PAB的面积最大为12×BC×OB=12×3×2＝3，所以三角形PAB如图，设此时PD的长为m．∵△PAB的面积＝四边形ABCD的面积﹣△PBC的面积﹣△PAD的面积=12（3+4）×2−12×（2﹣＝7﹣3+32m＝4−12∴4−12m＝1.6此时P点的坐标是（﹣3，1.6）．④当点P与D重合时，△PAB的面积最大，最大值为12故答案为：4．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3（b+1）＝6．（1）求点A、B的坐标；（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）得出b的值后代入解答即可；（2）根据三角形的面积公式得出点C的坐标即可；（3）根据△PBC的面积等于△ABC的面积的一半得出OP解答即可．【解答】解：（1）解方程：3（b+1）＝6，得：b＝1，∴A（﹣3，0），B（0，4），（2）∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∵△ABC的面积为12，S△ABC∴BC＝8，∵B（0，4），∴OB＝4，∴OC＝4，∴C（0，﹣4）；（3）存在，∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，C（0，﹣4），B（0，4），∴BC上的高OP为32∴点P的坐标（32，0）或（−8．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；（2）求四边形AA'B'B的面积；（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．【分析】（1）利用平移变换的性质解决问题即可．（2）利用分割法确定四边形的面积即可．（3）分两种情形：点P在点C的上方，点P在点C的下方，分别求解即可．【解答】解：（1）∵点A（2，6），B（4，3），又∵将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，∴线段A′B′是由线段AB向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，∴A′（﹣2，0），B′（0，﹣3）．（2）S四边形ABB′A′＝6×9﹣2×12×（3）连接AD．∵B（4，3），B′（0，﹣3），∴BB′的中点坐标为（2，0）在x轴上，∴D（2，0）．∵A（2，6），∴AD∥y轴，同法可证C（0，3），∴OC＝OB′，∵A′O⊥CB′，∴A′C＝A′B′，同法可证，B′A′＝B′D，∴∠A′DB＝∠DA′B′，∠A′CB′＝∠A′B′C，当点P在点C的上方时，∵∠PCA′+∠A′CB′＝180°，∠A′B′C+∠DA′B′＝90°，∴∠PCA′+90°﹣∠A′DB′＝180°，∴∠PCA′﹣∠A′D′B′＝90°，当点P在点C的下方时，∠PCA′+∠A′DB′＝90°．9．在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图所示．（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD．如图2所示，若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．【分析】（1）利用平移规律解决问题即可．（2）连接OD．根据S△BCD＝S△BOC+S△COD﹣S△BOD构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），∴设3+a＝﹣2，0+b＝4，∴a＝﹣5，b＝4，即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），∴A点平移后的对应点D（﹣4，2）．（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，∴C（0，2+y），D（﹣2，y），连接OD，S△BCD＝S△BOC+S△COD﹣S△BOD=12OB×OC+12OC×2−∴y＝2，∴C（0，4），D（﹣2，2）．10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝﹣1，b＝3；（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m=−32时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；（2）根据三角形面积公式列式整理即可；（3）先根据（2）计算S△ABM，再分两种情况：当点P在y轴正半轴上时、当点P在y轴负半轴上时，利用割补法表示出S△BMP，根据S△BMP＝S△ABM列方程求解可得．【解答】解：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2＝0，∴a+1＝0且b﹣3＝0，解得：a＝﹣1，b＝3，故答案为：﹣1，3；（2）过点M作MN⊥x轴于点N，∵A（﹣1，0）B（3，0）∴AB＝1+3＝4，又∵点M（﹣2，m）在第三象限∴MN＝|m|＝﹣m∴S△ABM=12AB•MN=12×（3）当m=−32时，M（﹣2，∴S△ABM＝﹣2×（−3点P有两种情况：①当点P在y轴正半轴上时，设点p（0，k）S△BMP＝5×（32+k）−12×2×（32+k）−1∵S△BMP＝S△ABM，∴52k+解得：k＝0.3，∴点P坐标为（0，0.3）；②当点P在y轴负半轴上时，设点p（0，n），S△BMP＝﹣5n−12×2×（﹣n−32）−12×5∵S△BMP＝S△ABM，∴−52n解得：n＝﹣2.1∴点P坐标为（0，﹣2.1），故点P的坐标为（0，0.3）或（0，﹣2.1）．11．在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使S△PCDS△BCD=23（S△【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD＝7（S△BCD建立方程求解，即可，（3）设出点P的坐标，表示出PC用S△PCD【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），∴设3+a＝﹣2，0+b＝4，∴a＝﹣5，b＝4，即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，∴C（0，2+y），D（﹣2，y），连接OD，S△BCD＝S△BOC+S△COD﹣S△BOD=12OB×OC+12OC×2−∴y＝2，∴C（0，4）．D（﹣2，2）；（3）设点P（0，m），∴PC＝|4﹣m|，∵S△PCD∴12|4﹣m|×2=∴|4﹣m|=14∴m=−23或m∴存在点P，其坐标为（0，−23）或（0，12．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣2，0），（4，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接AC、BD、CD．（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积．（2）在x轴上是否存在一点E，使得△DEC的面积是△DEB面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点F是直线BD上一个动点，连接FC、FO，当点F在直线BD上运动时，请直接写出∠OFC与∠FCD，∠FOB的数量关系．【分析】（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到12×6×2＝2×12×|4﹣x|×2，解得x（3）分类讨论：当点F在线段BD上，作FM∥AB，根据平行线的性质由MF∥AB得∠2＝∠FOB，由CD∥AB得到CD∥MF，则∠1＝∠FCD，所以∠OFC＝∠FOB+∠FCD；同样得到当点F在线段DB的延长线上，∠OFC＝∠FCD﹣∠FOB；当点F在线段BD的延长线上，得到∠OFC＝∠FOB﹣∠FCD．【解答】解：（1）∵点A，B的坐标分别是（﹣2，0），（4，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A，B的对应点C，D，∴点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；四边形ABDC的面积＝2×（4+2）＝12；（2）存在．设点E的坐标为（x，0），∵△DEC的面积是△DEB面积的2倍，∴12×6×2＝2×12×|4﹣x∴点E的坐标为（1，0）和（7，0）；（3）当点F在线段BD上，作FM∥AB，如图1，∵MF∥AB，∴∠2＝∠FOB，∵CD∥AB，∴CD∥MF，∴∠1＝∠FCD，∴∠OFC＝∠1+∠2＝∠FOB+∠FCD；当点F在线段DB的延长线上，作FN∥AB，如图2，∵FN∥AB，∴∠NFO＝∠FOB，∵CD∥AB，∴CD∥FN，∴∠NFC＝∠FCD，∴∠OFC＝∠NFC﹣∠NFO＝∠FCD﹣∠FOB；同样得到当点F在线段BD的延长线上，得到∠OFC＝∠FOB﹣∠FCD．13．在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数，我们称P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，﹣2），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．（1）点A和点B的12系和点的坐标为（32（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．①求m的值；②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，求k的值．【分析】（1）点M和点N的k系和点的定义求解即可．（2）①由题意D（2k+mk，2k），根据点D在在第一、三象限角平分线上，构建方程求解即可．②判断出D的坐标，可得结论．【解答】解：（1）由题意：12（1+2）=32∴点A和点B的12系和点的坐标为（3故答案为：（32（2）①∵点D（x，y）为B（2，0）和C（m，2）的k系和点，∴x＝2k+mk，y＝2k．即D（2k+mk，2k），∵点D在第一、三象限角平分线上，∴2k+mk＝2k．∴mk＝0．∵k≠0，∴m＝0．②如图1中，由题意，当D（3，3）或D′（﹣1，﹣1）时，满足条件．∵C（0，2），B（2，0），∴k（0+2）＝3或k（0+2）＝﹣1，∴k＝32或−14．综合与实践问题背景如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，5），将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度．动手操作（1）画出AB平移后的线段CD，直接写出B的对应点D的坐标；探究证明（2）连接BD，试探究∠BAC，∠BDC的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸（3）若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，请求出∠ADB：∠AEB的值，并写出推理过程．【分析】（1）利用A、C点的坐标确定平移的方向与距离，从而得到D点坐标；（2）利用平移的性质得到AB∥CD，AC∥BD，再根据平行线的性质得∠ABD+∠BDC＝180°，∠BAC+∠ABD＝180°，所以∠BAC＝∠BDC；（3）先由AC∥BD得到∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE，再由∠EAD＝∠CAD，然后利用等量代换可确定∠AEB＝2∠ADB．【解答】解：（1）如图，CD为所作，因为AB向右平移7个单位，所以D点坐标为（7，1）；（2）∠BAC＝∠BDC．理由如下：∵AB平移后的线段CD，∴AB∥CD，AC∥BD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∠BAC+∠ABD＝180°，∴∠BAC＝∠BDC；（3）∠ADB：∠AEB＝1：2；理由如下：∵AC∥BD，∴∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE，∵∠EAD＝∠CAD，∴∠CAE＝2∠CAD，∴∠AEB＝2∠ADB，即∠ADB：∠AEB＝1：2．15．已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段AO平移至线段BC，其中点A与点B对应．（1）如图1，若A（1，3），B（3，0），连接AB，AC，在坐标轴上存在一点D，使得S△AOD＝2S△ABC，求点D的坐标；（2）如图2，若∠AOB＝60°，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合），请直接写出∠CPO与∠BCP之间的数量关系（不用证明）．【分析】（1）根据平移的性质和三角形的面积解答即可；（2）延长BC交y轴与E点，分三种情况进行解答即可．【解答】解：（1）由线段平移，A（1，3）平移到B（3，0），即向右平移2个单位，再向下平移3个单位，点O（0，0）平移后的坐标为（2，﹣3），可得出C（2，﹣3），所以S△ABC=9∴S△AOD＝9，而△AOD的高是1，∴△AOD的底为18．∴D（6，0）或D（﹣6，0）或（0，﹣18）或（0，18）；（2）延长BC交y轴于E点，利用OA∥BC及∠AOB＝60°，∴∠AOY＝∠BEY＝30°，再用三角形的内角和为180°，分三种情况可求：①当P在y轴的正半轴上时：∠BCP＝∠CPO+30°．②当P在y轴的负半轴上时：ⅰ：若P在E点上方（含与E点重合）时，∠BCP+∠CPO＝210°．ⅱ：若P在E点下方时，∠BCP＝∠CPO+150°．综合可得：∠CPO与∠BCP的数量关系是：∠BCP＝∠CPO+30°或∠BCP+∠CPO＝210°或∠BCP＝∠CPO+150°．16．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D均在坐标轴上，AB∥CD．（1）求证：∠ABO+∠CDO＝90°；（2）如图2，BM平分∠ABO交x轴于点M，DN平分∠CDO交y轴于点N，求∠BMO+∠OND的值．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABO＝∠DCO，然后结合等量代换证明；（2）根据角平分线的定义、结合（1）中结论计算．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠DCO，∵∠DCO+∠CDO＝90°；∴∠ABO+∠CDO＝90°；（2）∵BM平分∠ABO，DN平分∠CDO，∴∠MBO=12∠ABO，∠NDO=1∴∠MBO+∠NDO=12（∠ABO+∠∴∠BMO+∠OND＝135°．17．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，AB⊥BC，AO＝OB＝2，BC＝3（1）写出点A、B、C的坐标．（2）如图②，过点B作BD∥AC交y轴于点D，求∠CAB+∠BDO的大小．（3）如图③，在图②中，作AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的度数．【分析】（1）根据图形直接写出答案；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD＝∠CAB，则∠CAB+∠BDO＝∠ABD+∠BDO＝90°；（3）根据角平分线的定义可得∠CAE+∠BDE，过点E作EF∥AC，然后根据平行线的性质求出∠AED＝∠CAE+∠BDE．【解答】解：（1）依题意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（2，3）；（2）∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠BAC，∴CAB+∠BDO＝∠ABD+∠BDO＝90°；（3）：∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠BAC，∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠CAE+∠BDE=12（∠BAC+∠BDO）=12（∠ABD+∠过点E作EF∥AC，则∠CAE＝∠AEF，∠BDE＝∠DEF，∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠CAE+∠BDE＝45°．18．如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+c−4（1）求a，b，c的值．（2）求四边形AOBC的面积．（3）是否存在点P（x，−12x），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍？若存在，求出点【分析】（1）根据“几个非负数相加和为0，则每一个非负数的值均为0”解出a，b，c的值；（2）由点A、O、B、C的坐标可得四边形AOBC为直角梯形，根据直角梯形的面积公式计算即可；（3）设存在点P（x，−12x），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍．根据面积列出方程12×2×|【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣3）2+c−4∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣4＝0，∴a＝2，b＝3，c＝4；（2）∵A（0，2），O（0，0），B（3，0），C（3，4）；∴四边形AOBC为直角梯形，且OA＝2，BC＝4，OB＝3，∴四边形AOBC的面积=12×（OA+BC）×（3）设存在点P（x，−12x），使△AOP的面积为四边形∵△AOP的面积=12×2×|x∴|x|＝2×9，∴x＝±18∴存在点P（18，﹣9）或（﹣18，9），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍．19．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度；②点B的坐标为（6，3）；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①根据平移的性质解决问题即可．②根据点B的位置即可解决问题．（2）利用分割法求三角形的面积即可．（3）设P（0，m），利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3单位长度，再向上平移5个单位长度；故答案为：右、3、上、5．②B（6，3），故答案为（6，3）．（2）如图，S（3）存在．设P（0，m），由题意12×|4﹣解得m＝3或5，∴点P坐标为（0，3）或（0，5）．20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．【分析】（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）分三种情形：当点P在线段OC上时，当点P在线段OC的延长线上时，当点P在CO的延长线上时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图一中，结论：∠CPB＝90°+∠PBA．理由：∠CPB+∠APB＝180°，∠APB+∠PAB+∠PBA＝180°∴∠CPB＝∠POB+∠PBA，∠POB＝90°，∴∠CPB＝90°+∠PBA．（2）①如图二中，当点P在线段OC上时，结论：∠DPB＝∠CDP+∠PBA．理由：作PE∥CD．∵AB∥CD，PE∥CD，∴PE∥AB，∴∠CDP＝∠DPE，∠PBA＝∠EPB，∴∠DPB＝∠DPE+∠BPE＝∠CDP+∠PBA．②如图二①中，当点P在线段OC的延长线上时，结论：∠PBA＝∠PDC+∠DPB．理由：设BP交CD于T．∵CD∥OB，∴∠PTC＝∠PBA，∵∠PTC＝∠PDC+∠DPB，∴∠PBA＝∠PDC+∠DPB．③如图二②中，当点P在CO的延长线上时，结论：∠PDC＝∠PBA+∠DPB．理由：设PD交AB于T．∵CD∥OB，∴∠PDC＝∠PTA，∵∠PTA＝∠PDC+∠DPB，∴∠PDC＝∠PBA+∠DPB．综上所述，∠DPB＝∠CDP+∠PBA或∠PBA＝∠PDC+∠DPB或∠PDC＝∠PBA+∠DPB．21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；（2）存在，当BF=12CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，根据坐标与图形性质求得点【解答】解：（1）C（0，2），D（4，2）S四边形ABDC＝AB•OC＝4×2＝8；（2）存在，当BF=12CD时，三角形DFC的面积是三角形∵C（0，2），D（4，2），∴CD＝4，BF=12∵B（3，0），∴F（1，0）或（5，0）．22．如图，P（x0，y0）为△ABC内任意一点，若将△ABC作平移变换，使A点落在B点的位置上，已知A（3，4）；B（﹣2，2）；C（2，﹣2）．（1）请直接写出B点、C点、P点的对应点B1、C1、P1的坐标；（2）求S△AOC．【分析】（1）由点A及其对应点的坐标得出平移的方向和距离，根据平移变换点的坐标变化规律可得；（2）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）由点A（3，4）平移后的对应点的坐标为（﹣2，2），所以需将△ABC向左平移5个单位、向下平移2个单位，则点B（﹣2，2）的对应点B1的坐标为（﹣7，0），点C（2，﹣2）的对应点C1的坐标为（﹣3，﹣4），点P（x0，y0）的对应点P1的坐标为（x0﹣5，y0﹣2）；（2）如图所示，过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴，则AD＝3、CE＝2、OD＝4、OE＝2，∴S△AOC=12×（2+3）×6−＝15﹣6﹣2＝7．23．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|+b−4=0，点（1）求a，b的值及S△ABC；（2）若点M在x轴上，且S△ACM=13S△ABC，试求点【分析】（1）由“|a+2|+b−4=0”结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出S△（2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合S△ACM=13S△ABC，即可得出AM的值，从而得出点【解答】解：（1）∵|a+2|+b−4∴a+2＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴点A（﹣2，0），点B（4，0）．又∵点C（0，3），∴AB＝|﹣2﹣4|＝6，CO＝3，∴S△ABC=12AB•CO（2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，又∵S△ACM=13S△∴12AM•OC=∴12|x∴|x+2|＝2，即x+2＝±2，解得：x＝0或﹣4，故点M的坐标为（0，0）或（﹣4，0）．24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．【分析】（1）由点的坐标得出BC＝6，即可求出△ABC的面积；（2）求出OA＝4，OB＝8，由S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP和已知条件得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵B（8，0），C（8，6），∴BC＝6，∴S△ABC=1（2）∵A（0，4），B（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP=12×4×8+12又∵S四边形ABOP＝2S△ABC＝48，∴16﹣2m＝48，解得：m＝﹣16，∴P（﹣16，1）．25．已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．（1）求△ABC的面积是多少？（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S△ACP＝2S△ABC，求点P的坐标？（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S△BCQ＝2S△ABC，求点Q的坐标？【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；（3）分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0），∴AC＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，点B到AC的距离为3，∴△ABC的面积=1（2）∵S△ACP＝2S△ABC＝12，∴以AC为底时，△ACP的高＝12×2÷4＝6，∴点P在y轴正半轴时，P（0，6）；点P在y轴负半轴时，P（0，﹣6）；（3）∵S△BCQ＝2S△ABC＝12，∴以CQ为底时，△BCQ的高为3，底边CQ＝12×2÷3＝8，∴点Q在C的左边时，Q（﹣3﹣8，0），即Q（﹣11，0）；点Q在C的右边时，Q（﹣3+8，0），即Q（5，0）．26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），O为原点．（1）求三角形AOB的面积；（2）将线段AB沿x轴向右平移4个单位，得线段A′B′，坐标轴上有一点C满足三角形A′B′C的面积为9，求点C的坐标．【分析】（1）由点A（﹣2，0），B（0，3），得到OA＝2，OB＝3，于是得到结论；（2）由平移的性质得到A′（2，0），B′（4，3），当C在x轴上时，根据三角形的面积公式得到A′C＝6，设C（x，0），则有|x﹣2|＝6，于是得到C（﹣4，0）或（8，0）；C在y轴的正半轴上时，设C（0，y），根据三角形的面积公式得到y＝6，当C在y轴的负半轴上时，设C（0，y），根据三角形的面积公式得到y＝6，于是得到结论．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，∴△AOB的面积=1（2）由平移得，A′（2，0），B′（4，3），当C在x轴上时，则S△A′B′C=12A′∴A′C＝6，设C（x，0），则有|x﹣2|＝6，∴x＝﹣4，x＝8，∴C（﹣4，0）或（8，0）；当C在y轴的正半轴上时，设C（0，y），则S△A′B′C=12[4（3+y）﹣2解得：y＝6，当点C在y轴的负半轴上时，同法可得y＝﹣12时，也满足条件∴C（0，6）或（0，﹣12），综上所述，C（﹣4，0）或（8，0）或（0，6）或（0，﹣12）．27．已知点A（a，3），点B（b，6），点C（5，c），AC⊥x轴，CB⊥y轴，OB在第二象限的角平分线上：（1）写出A、B、C三点坐标；（2）求△ABC的面积；（3）若点P为线段OB上动点，当△BCP面积大于12小于16时，求点P横坐标取值范围．【分析】（1）根据题意得出A和C的横坐标相同，B和C的纵坐标相同，得出A（5，3），C（5，6），由角平分线的性质得出B的坐标；（2）求出BC＝5﹣（﹣6）＝11，即可得出△ABC的面积；（3）设P的坐标为（p，﹣p），则△BCP的面积=12×11×（6+p），根据题意得出不等式12＜【解答】解：（1）如图所示：∵AC⊥x轴，CB⊥y轴，∴A和C的横坐标相同，B和C的纵坐标相同，∴A（5，3），C（5，6），∵B在第二象限的角平分线上，∴B（﹣6，6）；（2）∵BC＝5﹣（﹣6）＝11，∴△ABC的面积=12×（3）设P的坐标为（p，﹣p），则△BCP的面积=12×∵△BCP面积大于12小于16，∴12＜12×解得：−4211＜即点P横坐标取值范围为：−4211＜28．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5．（1）若点P在y轴上且S△PAD＝S△poc，求点P的坐标；（2）若点P在梯形内且S△PAD＝S△POC，S△PAO＝S△PCD，求点P的坐标．【分析】（1）分点P在AO上与在AO