专项17-勾股定理与翻折问题-专题培优

勾股定理与翻折问题-重难点培优一．选择题（共5小题）1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为（）A．6 B．8 C．12 D．142．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AD＝8，AE＝4，AB＝6，则△EBF周长的大小为（）A．8 B．10 C．12 D．63．如图，矩形纸片ABCD，已知AB＝2，BC＝4，若点E是AD上一动点（与A不重合），其0＜AE≤2，沿BE将△ABE翻折，点A落在点P处，连结PC，有下列说法：①△ABE和△PBE关于直线BE对称；②线段PC的长有可能小于2；③四边形ABPE有可能为正方形；④当△PCD是等腰三角形时，PC＝2或5．其中正确的序号是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（）A．33 B．4 C．5 D．65．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别在AC、BC上且DE∥AB，将△ABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F处，则AF的长是（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4二．填空题（共8小题）6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC＝8，AB＝10，则CD的长为．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，将∠C沿AD对折，使点C恰好落在AB边上的点E处，则BD的长度是．8．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为．9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则AD＝．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上点C1处，则CD的长为．11．如图，将直角△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC＝6，AB＝10，则DB＝．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，若CD＝4，CE＝3，则AB的长为．13．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF＝13，则AE的长等于．三．解答题（共10小题）14．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD．（1）直接写出AB的长是；（2）求CD的长．15．综合与实践在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为BC边上的任意一点，将∠C沿过点D的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，问是否存在△BDE是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时CD的长度．探究展示：勤奋小组很快找到了点D、E的位置如图2，作∠CAB的角平分线交BC于点D，此时∠C沿AD所在的直线折叠，点E恰好在AB上，且∠BED＝90°，所以△BDE是直角三角形问题解决：（1）按勤奋小组的这种折叠方式，CD的长度为；（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来；（3）在（2）的条件下，求出CD的长．16．如图，有一个△ABC，三边长为AC＝6，BC＝8，AB＝10，沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）求线段CD的长．17．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，将Rt△ABC沿AD折叠后，使点C落在AB上的点E处，求CD．18．（1）如图1，已知AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则∠EBC等于度．（2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边AC＝3，BC＝4，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．19．我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'．尝试解决：（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长．（2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG．①求证：PE＝DF；②求AP的长．20．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D在BC上，将△ACD沿AD对折，点C刚好落在AB上的E点，求CD的长．21．如图，在矩形纸片ABCD中，已知边AB＝3，BC＝5，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，且B′C′恰好经过点D．求线段CE的长度．22．如图，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，BC＝4，若点E是AD上的一个动点（与点A不重合），且0＜AE≤2，沿BE将△ABE对折后，点A落到点P处，连接PC．（1）下列说法正确的序号是①△ABE与△PBE关于直线BE对称②以B为圆心、BA的长为半径画弧交BC于H，则点P在AH上（点A除外）③线段PC的长有可能小于2．④四边形ABPE有可能为正方形（2）试求下列情况下的线段PC的长（可用计算器，精确到0.1）．①以P、C、D为顶点的三角形是等腰三角形；②直线CP与BE垂直．23．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF；（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由．

勾股定理与翻折问题-重难点培优（解析版）一．选择题（共5小题）1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为（）A．6 B．8 C．12 D．14【分析】利用勾股定理求出AB＝10，利用翻折不变性可得AE＝AC＝6，推出BE＝4即可解决问题．【解析】在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∴AB=6由翻折的性质可知：AE＝AC＝6，CD＝DE，∴BE＝4，∴△BDE的周长＝DE+BD+BE＝CD+BD+E＝BC+BE＝8+4＝12，故选：C．2．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AD＝8，AE＝4，AB＝6，则△EBF周长的大小为（）A．8 B．10 C．12 D．6【分析】设AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝8﹣a，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角互补可得出∠BFE＝∠AEH，从而得出△EBF∽△HAE，根据相似三角形的周长比等于对应比即可求出结论．【解析】设AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝8﹣a，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°，AE＝4，AH＝a，EH＝DH＝8﹣a，∴EH2＝AE2+AH2，即（8﹣a）2＝42+a2，解得：a＝3．∵∠BFE+∠BEF＝90°，∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠BFE＝∠AEH．又∵∠EAH＝∠FBE＝90°，∴△EBF∽△HAE，∴C△EBF∵C△HAE＝AE+EH+AH＝AE+AD＝12，∴C△EBF=23C△故选：A．3．如图，矩形纸片ABCD，已知AB＝2，BC＝4，若点E是AD上一动点（与A不重合），其0＜AE≤2，沿BE将△ABE翻折，点A落在点P处，连结PC，有下列说法：①△ABE和△PBE关于直线BE对称；②线段PC的长有可能小于2；③四边形ABPE有可能为正方形；④当△PCD是等腰三角形时，PC＝2或5．其中正确的序号是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④【分析】根据折叠的性质，以及圆的定义即可作出判断①②③；以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况，点P与BC的中点H重合时和点P在CD的中垂线上两种情况进行讨论，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，利用勾股定理即可求得PC的长．【解析】①根据折叠的性质可得△ABE与△PBE关于直线BE对称，则①正确；②当AE＝AB＝2时，PC的长度最小，此时P在BC上，则PC＝2，四边形ABPE是正方形，故②错误，③正确．④以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况．第1种情况：点P与BC的中点H重合时：CH＝CD．即PC＝CH＝2；第2种情况：点P在CD的中垂线上时，PD＝PC，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，则四边形PFCK是矩形，PF＝CK＝1，PB＝2．∴BF=3∴FC＝4−3PC2＝（4−3）2+12∴PC=20−8故④错误．∴①③正确，故选：B．4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（）A．33 B．4 C．5 D．6【分析】根据折叠的性质得到AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，根据等腰三角形的性质得到AF＝CF，于是得到结论．【解析】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴AF＝CF，∴AC＝2AB＝6，故选：D．5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别在AC、BC上且DE∥AB，将△ABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F处，则AF的长是（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4【分析】连接CF，根据折叠的性质可知，CF⊥DE，得到CF⊥AB，根据勾股定理求出AF的长．【解析】连接CF，根据题意得，CF⊥DE，又DE∥AB，∴CF⊥AB，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，12×AC×BC=12∴CF＝4.8，∴AF=A故选：A．二．填空题（共8小题）6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC＝8，AB＝10，则CD的长为258【分析】解法一：根据D，C，E，F四点共圆，可得∠CDE＝∠CFE＝∠B，再根据CE＝FE，可得∠CFE＝∠FCE，进而根据∠B＝∠FCE，得出CF＝BF，同理可得CF＝AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=12AB＝5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2＝CD×CA，进而得出解法二：由对称性可知CF⊥DE，可得∠CDE＝∠ECF＝∠B，得出CF＝BF，同理可得CF＝AF，由此可得F是AB的中点，求得CF＝5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2＝CD×CA，进而得出CD的长．【解析】由折叠可得，∠DCE＝∠DFE＝90°，∴D，C，E，F四点共圆，∴∠CDE＝∠CFE＝∠B，又∵CE＝FE，∴∠CFE＝∠FCE，∴∠B＝∠FCE，∴CF＝BF，同理可得，CF＝AF，∴AF＝BF，即F是AB的中点，∴Rt△ABC中，CF=12由D，C，E，F四点共圆，可得∠DFC＝∠DEC，由∠CDE＝∠B，可得∠DEC＝∠A，∴∠DFC＝∠A，又∵∠DCF＝∠FCA，∴△CDF∽△CFA，∴CF2＝CD×CA，即52＝CD×8，∴CD=25故答案为：258解：由对称性可知CF⊥DE，又∵∠DCE＝90°，∴∠CDE＝∠ECF＝∠B，∴CF＝BF，同理可得CF＝AF，∴F是AB的中点，∴CF=12又∵∠DFC＝∠ACF＝∠A，∠DCF＝∠FCA，∴△CDF∽△CFA，∴CF2＝CD×CA，即52＝CD×8，∴CD=25故答案为：2587．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，将∠C沿AD对折，使点C恰好落在AB边上的点E处，则BD的长度是23．【分析】先求出AB，AC，利用翻折的性质得到AE＝AC，DE＝CD，设DE＝DC＝x，在RT△BED中利用勾股定理解决．【解析】在RT△ABC中，∵AC＝3，∠B＝30°∴AB＝2AC＝6，BC=AB2∵△ADE是由△ACD翻折，∴AE＝AC＝3，DE＝DC，设DE＝DC＝x，在RT△BDE中，∵BE2+ED2＝BD2，∴32+x2＝（33−x）2∴x=3∴BD＝BC﹣CD＝33−3=故答案为23．8．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为12．【分析】利用勾股定理求出AB＝10，利用翻折不变性可得AE＝AC＝6，推出BE＝4即可解决问题．【解析】在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，由翻折的性质可知：AE＝AC＝6，CD＝DE，∴BE＝4，∴△BDE的周长＝DE+BD+BE＝CD+BD+BE＝BC+BE＝8+4＝12，故答案为：12．9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则AD＝35．【分析】由勾股定理可知BC＝8．由折叠的性质得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90˚，设DE＝DC＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BED中依据勾股定理列方程得出CD＝3，再由勾股定理即可得出AD的长．【解析】在Rt△ACB中，由勾股定理可知AC2+BC2＝AB2，∴BC=A由折叠的性质得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90˚．设DE＝DC＝x，则BD＝8﹣x，BE＝AB﹣AE＝4．在Rt△BED中，BE2+DE2＝BD2．∴42+x2＝（8﹣x）2．∴x＝3，∴CD＝3，∴AD=AC2故答案为：35．10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上点C1处，则CD的长为3．【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AC1，BC1的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．【解析】∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，由折叠可得AC1＝AC＝6，∴BC1＝10﹣6＝4，设CD＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△DBC1中，42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3．∴CD＝3，故答案为：3．11．如图，将直角△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC＝6，AB＝10，则DB＝5．【分析】翻折前后，对应线段、对应角不变，据此构建直角三角形，根据勾股定理，列方程解答即可．【解析】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，根据勾股定理得：BC＝8根据题意得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°则BE＝4．设DE＝x，则DB＝8﹣x．在Rt△BDE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝16+x2解得x＝3，即DB＝5．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，若CD＝4，CE＝3，则AB的长为485【分析】由勾股定理可求DE＝5，由三角形面积公式可求OC=125，由折叠的性质可求CF=245，由直角三角形的性质可得AF＝CF＝BF【解析】如图，设DE与CF的交点为O，∵CD＝4，CE＝3，∠ACB＝90°，∴DE=C∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE，∵S△CDE=12×CD×CE=1∴OC=12∴CF=24∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，且∠CDE+∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，∴∠A＝∠ACF，∴AF＝CF=24同理可求：BF＝CF=24∴AB＝AF+BF=48故答案为：48513．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF＝13，则AE的长等于16924【分析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG＝5，轴对称的性质可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可证明∠EAH＝∠GFE，从而可证明△ADA′≌△FGE，故此可知GE＝DA′＝5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．【解析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′．在Rt△EFG中，EG=E∵轴对称的性质可知AA′⊥EF，∴∠EAH+∠AEH＝90°．∵FG⊥AD，∴∠GEF+∠EFG＝90°．∴∠DAA′＝∠GFE．在△GEF和△DA′A中，∠EGF=∠D=90°FG=AD∴△GEF≌△DA′A．∴DA′＝EG＝5．设AE＝x，由翻折的性质可知EA′＝x，则DE＝12﹣x．在Rt△EDA′中，由勾股定理得：EA′2＝DE2+A′D2，即x2＝（12﹣x）2+52．解得：x=169故答案为：16924三．解答题（共10小题）14．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD．（1）直接写出AB的长是10；（2）求CD的长．【分析】（1）根据在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，利用勾股定理可以求得AB的长；（2）根据折叠的性质和角平分线的性质，可以得到CD＝DE，AC＝AE，然后设CD＝x，利用勾股定理即可得到CD的长．【解析】（1）∵直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=A故答案为：10；（2）由折叠的性质可知，AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，AC＝AE，∴DC＝DE，∵AC＝6，AB＝10，∴AE＝6，BE＝4，设CD＝x，则BD＝8﹣x，DE＝x，∵DE⊥BE，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得，x＝3，即CD的长是3．15．综合与实践在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为BC边上的任意一点，将∠C沿过点D的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，问是否存在△BDE是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时CD的长度．探究展示：勤奋小组很快找到了点D、E的位置如图2，作∠CAB的角平分线交BC于点D，此时∠C沿AD所在的直线折叠，点E恰好在AB上，且∠BED＝90°，所以△BDE是直角三角形问题解决：（1）按勤奋小组的这种折叠方式，CD的长度为3；（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来；（3）在（2）的条件下，求出CD的长．【分析】（1）由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠C＝∠BED＝90°，由勾股定理可求解；（2）如图所示；（3）由折叠的性质可得CF＝EF，CD＝DE，∠C＝∠FED＝90°，∠CDF＝∠EDF＝45°，可得DE＝CD＝CF＝EF，通过证明△DEB∽△CAB，可得DEAC【解析】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=A由折叠的性质可得：△ACD≌△AED，∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠C＝∠BED＝90°，∴BE＝10﹣6＝4，∵BD2＝DE2+BE2，∴（8﹣CD）2＝CD2+16，∴CD＝3，故答案为：3；（2）如图3，当DE∥AC，△BDE是直角三角形，（3）∵DE∥AC，∴∠ACB＝∠BDE＝90°，由折叠的性质可得：△CDF≌△EDF，∴CF＝EF，CD＝DE，∠C＝∠FED＝90°，∠CDF＝∠EDF＝45°，∴EF＝DE，∴DE＝CD＝CF＝EF，∵DE∥AC，∴△DEB∽△CAB，∴DEAC∴DE∴DE=24∴CD=16．如图，有一个△ABC，三边长为AC＝6，BC＝8，AB＝10，沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）求线段CD的长．【分析】（1）利用勾股定理得的逆定理判断得出即可；（2）设CD＝x，则DE＝x，BD＝8﹣x在Rt△BDE中，则DE2+BE2＝BD2，进而求出即可．【解析】（1）△ABC是直角三角形，理由如下：在△ABC中，∵62+82＝102，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°；（2）∵△ADE是△ADC沿直线AD翻折而成，∴∠C＝∠DEB＝90°，CD＝DE，AC＝AE＝6，设CD＝x，则DE＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，∵DE2+BE2＝BD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x2+16＝64﹣16x+x2，∴x＝3，即CD长为3．17．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，将Rt△ABC沿AD折叠后，使点C落在AB上的点E处，求CD．【分析】利用勾股定理先求得AB＝13，然后利用翻折的性质可求得BE＝8，然后再证明△BED∽△BCA，利用相似三角形的性质可求得ED的长．【解析】在Rt△ABC中由勾股定理得：AB=A由翻折的性质可知；AC＝AE，CD＝DE，∠C＝∠AED＝90°．∴BE＝8，∠DEB＝90°．∴∠DEB＝∠C．又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA．∴EDAC=BE解得：ED=10∴CD=1018．（1）如图1，已知AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则∠EBC等于45度．（2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边AC＝3，BC＝4，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【分析】（1）由折叠的性质可知∠EDA＝∠ADC＝45°，即∠EDC＝90°，DC＝DE，又AD为△ABC的中线，故BD＝DC，即BD＝DE，△BDE为等腰直角三角形，可得∠EBC＝45°；（2）由折叠的性质可知DE＝CD，AC＝AE，∠AED＝∠C＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，由BE＝AB﹣AE，设CD＝DE＝x，则BD＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理求x即可．【解析】（1）依题意，得∠EDA＝∠ADC＝45°，即∠EDC＝90°，又∵DC＝DE，AD为△ABC的中线，∴BD＝DC，即BD＝DE，△BDE为等腰直角三角形，∴∠EBC＝45°；（2）令CD＝x，则DB＝4﹣x，由于是直角三角形且是折叠，所以AB＝5，AE＝AC＝3，DE＝x，EB＝2，因为∠AED＝∠C＝90°，故在Rt△BDE中运用勾股定理得：（4﹣x）2＝22+x2，16﹣8x＝4，解得x=32，即CD19．我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'．尝试解决：（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长．（2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG．①求证：PE＝DF；②求AP的长．【分析】（1）求出AC＝10，由折叠的性质得出△ADC≌△ADC'．则CD＝C'D，∠AC'D＝∠ACD＝90°，由勾股定理可求出答案；（2）①证明△DPG≌△EFG（ASA），得出PG＝FG，则可得出结论；②由全等三角形的性质得出PE＝DF＝PA，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，则EF＝DP＝AD﹣AP，得出BF＝2+AP，由勾股定理可得出答案．【解析】（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=A∵将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，∴△ADC≌△ADC'．∴CD＝C'D，∠AC'D＝∠ACD＝90°，即∠DC'B＝180°﹣∠AC'D＝180°﹣90°＝90°，AC＝AC'＝6，∴BC'＝AB﹣AC'＝10﹣6＝4，∴△DC'B为直角三角形，且∠DC'B＝90°，∴C'D2+C'B2＝DB2，即CD2+42＝（8﹣CD）2，∴CD＝5；（2）①由折叠可知△PAB≌△PEB，∴PE＝PE，∠A＝∠E＝90°，在△DPG和△EFG中，∠D=∠E=90°DG=EG∴△DPG≌△EFG（ASA），∴PG＝FG，∴PG+GE＝FG+GD，即PE＝DF；②∵△PAB≌△PEB，△DPG≌△EFG，AB＝8，AD＝6，∴PE＝DF＝PA，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，∴EF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣EF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，∵∠C＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，∴AP=20．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D在BC上，将△ACD沿AD对折，点C刚好落在AB上的E点，求CD的长．【分析】翻折前后，对应线段、对应角不变，据此构建直角三角形，根据勾股定理，列方程解答即可．【解析】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，BC＝8，根据题意得：AE＝AC＝6，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，则BE＝4．设CD＝DE＝x，则DB＝8﹣x．在Rt△BDE中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝16+x2，解得x＝3，即CD＝5．21．如图，在矩形纸片ABCD中，已知边AB＝3，BC＝5，点E在边CD上，连接AE，将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，且B′C′恰好经过点D．求线段CE的长度．【分析】由矩形的性质可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质可得AB＝AB'＝3，CE＝C'E，B'C'＝BC＝5，∠B'＝∠B＝90°，∠C＝∠C'＝90°，由勾股定理可求B'D的长，可得C'D的长，由勾股定理可求CE的长．【解析】∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝90°∵将四边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，∴AB＝AB'＝3，CE＝C'E，B'C'＝BC＝5，∠B'＝∠B＝90°，∠C＝∠C'＝90°∵B'D=AD∴C'D＝B'C'﹣B'D＝1，∵DE2＝C'E2+C'D2，∴（3﹣CE）2＝CE2+1，∴CE=22．如图，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，BC＝4，若点E是AD上的一