专项18-菱形的判定-专题训练

菱形的判定-专题训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（微山县期末）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90° D．∠AOB＝90°2．（蜀山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是（）A．AB＝CD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC⊥BD3．（醴陵市期末）如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（）A．∠A＝60˚ B．DE＝DF C．EF⊥BD D．BD是∠EDF的平分线4．（昌平区期末）如图，将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD，下列结论正确的是（）A．AD＝AB B．四边形ABCD是平行四边形 C．AD＝2AC D．四边形ABCD是菱形5．（长沙模拟）如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能6．（兰陵县期末）如图，在▱ABCD中，下列说法能判定ABCD是菱形的是（）A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC7．（渭滨区期末）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形8．（平昌县期末）下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD9．（清远一模）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC10．（江阴市期末）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（）A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（盐城期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，当AC、BD满足时，平行四边形ABCD为菱形．12．（锡山区期中）要使▱ABCD是菱形，你添加的条件是．（写出一种即可）13．（贵港期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件：可使其成为菱形（只填一个即可）．14．（北流市期中）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．15．（阜宁县校级月考）已知AD为△ABC的角平分线，点E、F为AB、AC的中点，连DE、DF使四边形AEDF为菱形，则添加条件．（只填一个条件）16．（鼓楼区校级月考）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当▱ABCD满足时，四边形EHFG是菱形．17．（南通）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是（填序号）．18．（高新区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（会宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．20．（金塔县期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．21．（浦东新区期末）如图，已知△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当∠BAC＝90°时，求证：四边形ADCE是菱形．22．如图，分别以△ABC的三边为边长，在边BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE、EF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）在△ABC中添加一个怎样的条件，可使四边形ADEF是菱形？23．（皇姑区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．24．（中山市校级月考）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．（1）求证：AF∥CE；（2）当∠BAC＝度时，四边形AECF是菱形？说明理由．

菱形的判定-专题训练（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（微山县期末）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90° D．∠AOB＝90°【分析】根据菱形的判定方法和矩形的判定方法即可作出判断．【解析】A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．2．（蜀山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是（）A．AB＝CD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC⊥BD【分析】根据菱形的判定方法和矩形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形；故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．3．（醴陵市期末）如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（）A．∠A＝60˚ B．DE＝DF C．EF⊥BD D．BD是∠EDF的平分线【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠ABF＝∠CDE，由平行线的性质可得∠ABF＝∠AED，可证DE∥BF，可得四边形DEBF是平行四边形，利用菱形的判定依次判断可求解．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠AED，∴∠ABF＝∠AED，∴DE∥BF，∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形，若DE＝DF，则四边形BFDE为菱形；若EF⊥BD，则四边形BFDE为菱形；若BD平分∠EDF，∴∠DBF＝∠DBE，∵DF∥BE，∴∠FDB＝∠DBE＝∠DBF，∴DF＝BF，∴四边形BFDE为菱形；故选：A．4．（昌平区期末）如图，将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD，下列结论正确的是（）A．AD＝AB B．四边形ABCD是平行四边形 C．AD＝2AC D．四边形ABCD是菱形【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，即可选择正确答案．【解析】∵将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，∴AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：B．5．（长沙模拟）如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．都有可能【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故选：C．6．（兰陵县期末）如图，在▱ABCD中，下列说法能判定ABCD是菱形的是（）A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC【分析】由菱形的判定可求解．【解析】∵对角线垂直的平行四边形是菱形，或一组邻边相等的平行四边形是平行四边形，∴当AC⊥BD或AB＝BC或AB＝AD或AD＝CD或BC＝CD时，平行四边形ABCD是菱形，故选：A．7．（渭滨区期末）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形【分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【解析】A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D．8．（平昌县期末）下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD【分析】直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解析】A、∵AC与BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；B、∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；C、AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；D、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；故选：C．9．（清远一模）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD＝DE即可解决问题．【解析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∵∠EBC＝∠EBD，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵BD＝DE，∴四边形DBFE是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，故选：A．10．（江阴市期末）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（）A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误【分析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形．【解析】甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∠EAO=∠BCAAO=CO∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；乙的作法正确；∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，∴AB＝AF，AB＝BE，∴AF＝BE∵AF∥BE，且AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四边形ABEF是菱形；故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（盐城期末）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，当AC、BD满足AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形．【分析】由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得出结论．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形；故答案为：AC⊥BD．12．（锡山区期中）要使▱ABCD是菱形，你添加的条件是AD＝AB（答案不唯一）．（写出一种即可）【分析】根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可推出结论．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．13．（贵港期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）可使其成为菱形（只填一个即可）．【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．【解析】▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当AC⊥BD或AB＝BC使其成为菱形．故答案为：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）．14．（北流市期中）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝145时，平行四边形CDEB【分析】首先根据勾股定理求得AB＝10，由菱形的性质可得OD＝OB，CD＝CB，根据勾股定理可得OB的值，由AD＝AB﹣2OB可求AD的长．【解析】如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=AC若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．∵12AB•OC=12AC∴OC=24∴OB=∴AD＝AB﹣2OB=故答案为：1415．（阜宁县校级月考）已知AD为△ABC的角平分线，点E、F为AB、AC的中点，连DE、DF使四边形AEDF为菱形，则添加条件AB＝AC．（只填一个条件）【分析】由三角形的中位线的性质，可得四边形AEDF为平行四边形，如AE＝AF，则四边形AEDF为菱形，则添加条件：AB＝AC．【解析】需加条件AB＝AC，这样可根据三线合一的性质，得出D是BC的中点，根据中位线定理可得，DE平行且等于AF，则AEDF为平行四边形，又可得AE＝AF，则四边形AEDF为菱形．则添加条件：AB＝AC．16．（鼓楼区校级月考）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当▱ABCD满足AB⊥BC时，四边形EHFG是菱形．【分析】由题意可证四边形EHFG是平行四边形，△EBC≌△FCB，可得EC＝BF，BH＝CH，即可得EH＝FH，则可证四边形EHFG是菱形．【解析】当▱ABCD满足AB⊥BC时，四边形EHFG是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BC∴四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，AB∥CD∵E是AB中点，F是CD中点，∴BE＝CF＝AE＝DF∵BE＝DF，AB∥CD∴四边形BEDF是平行四边形∴ED∥BF同理可得：EC∥AF∴四边形EHFG是平行四边形．在△EBC与△FCB中，∵BE=CF∠ABC=∠DCB∴△EBC≌△FCB（SAS）∴CE＝BF，∴∠ECB＝∠FBC，∴BH＝CH，∴EH＝FH，∴平行四边形EHFG是菱形，故答案为：AB⊥BC．17．（南通）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是②（填序号）．【分析】当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．只要证明四边形ADCE是平行四边形，DA＝DC即可解决问题．【解析】当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．理由：∵AE∥CD，CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴四边形ADCE是菱形．故答案为②18．（高新区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝5．【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．【解析】∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝DF=12∴四边形BGFD是菱形，设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，解得：x＝5，即BG＝5．故答案是：5．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（会宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可．【解析】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形．20．（金塔县期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．【解析】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BED∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC=12∴四边形ADCF是菱形．21．（浦东新区期末）如图，已知△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当∠BAC＝90°时，求证：四边形ADCE是菱形．【分析】（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形；（2）由∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，即得AD＝BD＝CD，证得四边形ADCE是平行四边形，即证；【解析】（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝DC，∴AE＝DC，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，（2）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线．∴AD＝CD，∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形，22．如图，分别以△ABC的三边为边长，在边BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE、EF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）在△ABC中添加一个怎样的条件，可使四边形ADEF是菱形？【分析】（1）证△BDE≌△BCA（SAS），得出DE＝AC．证出DE＝AF．同理DA＝EF，即可得出结论；（2）根据菱形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵△BCE和△ABD是等边三角形，∴BE＝BC，BD＝BA＝AD．又∵∠DBE＝60°﹣∠ABE，∠ABC＝60°﹣∠ABE，∴∠DBE＝∠ABC．在△BDE和△BAC中，BE=BC∠DBE=∠ABC∴△BDE≌△BCA（SAS）．∴DE＝AC．∵在等边三角形ACF中，EF＝AC＝AF，∴DE＝AF．同理DA＝EF．∴四边形ADE