专题14 图形初步认识（讲义）

专题14图形初步认识核心知识点精讲复习目标1.了解线段、射线、直线的区别与联系．掌握它们的表示方法．2.掌握“两点确定一条直线”的性质，了解“两条直线相交只有一个交点”．3.理解线段的和与差的概念，会比较线段的大小，理解“两点之间线段最短”的性质．4.理解线段的中点和两点间距离的概念．5.会用尺规作图作一条线段等于已知线段．6.理解角的概念，理解平角、直角、周角、锐角、钝角的概念．7.掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分．8.掌握角的平分线的概念，会画角的平分线．9.会解决有关余角、补角的计算问题：会用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行推理．10.灵活运用对顶角和垂线的性质：11.掌握并灵活运用平行线的性质和判定进行有关的推理和计算：12.理解和识别方向角考点梳理考点1：直线、射线与线段的概念注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸：线段不能延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。考点2：基本事实1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短考点3：基本概念1.两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离。2.线段的等分点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点考点4：双中点模型C为AB上任意一点，M、N分别为AC、BC中点，则考点5：角及其平分线1.度量角的大小：可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分：1分=60秒。2，余角：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.3.补角：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.性质：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的补角相等．4.角的平分线的性质（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于123、画射线OC，射线OC即为所求。（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。5.角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上。考点6：相交线1.对顶角：如图1所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。2.邻补角：如图2所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。图1图23.三线八角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。4．垂线的性质（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．5.垂直平分线的性质（1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.考点7：平行线1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。2.平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。3.平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。（2）内错角相等，两直线平行。（3）同旁内角互补，两直线平行。4.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理考点8：命题内容定义能判断一件事情的语句，叫做命题。组成命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项表达形式通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。分类题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。典例引领【题型1线与角概念和基本性质】【典例1】（2023•临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（）A．50° B．80° C．130° D．150°即时检测1.（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（）A．① B．② C．③ D．④2．（2021•包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3典例引领【题型2：平行线的性质和判定】【典例2】（2023•大连）如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝20°，则∠E的度数为（）A．20° B．25° C．35° D．45°即时检测1．（2023•深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝（）A．70° B．65° C．60° D．50°2．（2023•达州）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（）A．52° B．50° C．45° D．25°3．（2023•陕西）如图，直线l1∥l2，点A在l2上，AB⊥l3，垂足为B．若∠1＝138°，则∠2的度数为（）A．32° B．38° C．42° D．48°典例引领【题型3：度、分、秒的计算】【典例3】（2021•兴安盟）74°19′30″＝°．即时检侧1．（2020•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是．典例引领【题型4：三角板放置产生的角度计算】【典例4】（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60° B．50° C．45° D．40°即时检测1．（2023•济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．45°2．（2023•盐城）小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（）A．45° B．60° C．75° D．105°3．（2023•襄阳）将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（）A．30° B．20° C．15° D．10°典例引领【题型5：命题】【典例5】（2023•达州）下列命题中，是真命题的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形即时检测1．（2023•内蒙古）下列命题正确的是（）A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件B．3.14精确到十分位C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3）D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则甲成绩比乙的稳定2．（2023•无锡）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形：②正多边形是中心对称图形：③正六边形的外接圆半径与边长相等：④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（2023•岳阳）下列命题是真命题的是（）A．同位角相等 B．菱形的四条边相等 C．正五边形是中心对称图形 D．单项式5ab2的次数是4基础过关一．选择题（共13小题）1．下列四个图形中，经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A． B． C． D．2．下列图形中，∠1和∠2互为余角的是（）A． B． C． D．3．下列叙述正确的是（）A．线段AB可表示为线段BA B．射线CD可表示为射线DC C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短4．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为（）A．100cm B．150cm C．100cm或150cm D．120cm或150cm5．如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（）A．圆 B．长方形 C．三角形 D．梯形6．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方向角是（）A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60°7．如图，AB⊥AC，AD⊥BC垂足分别为A，D，图中互余的角共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对8．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线9．如图，直线a，b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．50° B．120° C．130° D．140°10．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝60°，则∠2的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°11．下列作图能表示点A到BC的距离的是（）A．B． C．D．12．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A13．将一把直尺和一块含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，若∠1＝33°，则∠2为（）A．63° B．107° C．117° D．120°二．填空题（共4小题）14．把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN＝．15．如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“等”字一面相对的面上的字是．16．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC＝115°，则∠BOD＝．17．如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝43˚，则∠2＝度．三．解答题（共3小题）18．如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点．（1）若AB＝16cm，CD＝6cm，求AC+BD的长和M，N的距离：（2）如果AB＝m，CD＝n，用含m，n的式子表示MN的长．19．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD：（2）求∠C的度数．20．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．（1）求证：EF∥AD：（2）求证：∠BAC+∠AGD＝180°．能力提升一．选择题（共10小题）1．将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠CBD等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是（）A．④ B．③ C．② D．①3．如图①所示的是一个正方体的表面展开图，将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻过第1格、第2格，到第3格时正方体朝上的一面上的字是（）A．世 B．真 C．精 D．彩4．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，李约瑟称它是“东方最古老的消遣品之一”，图1是边长为4的大正方形，图2是王林同学将其分割制作的七巧板摆拼而成的“奔跑者”图，则图2中阴影部分的面积为（）A．4 B．4+ C．6 D．4+5．将如图所示的圆锥的侧面展开，则点A和点B在展开图中的相对位置正确的是（）A． B．C． D．6．如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（）立方分米．A．105π B．54π C．36π D．18π7．将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝25°，则∠3的度数为（）A．120° B．125° C．130° D．135°8．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°9．如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①：②OF平分∠BOD：③∠POE＝∠BOF：④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，将木条a、b和c用螺丝钉在一起，且∠1＝70°，∠2＝50°，若木条b、c位置不动，将木条a绕固定点顺时针旋转，使得a∥b，则旋转的角度可以是（）A．10° B．20° C．30° D．50°二．填空题（共1小题）11．如图，将边长为2cm的正方形纸片沿AE，AF，EF折叠，折成一个三棱锥A﹣CEF，则折痕EF的长度为cm．三．解答题（共1小题）12．如图，已知AB∥CD，连接BC．点E，F是直线AB上不重合的两点，G是CD上一点，连接ED交BC于点N，连接FG交BC于点M．若∠ENC+∠CMG＝180°．（1）求证：∠2＝∠3：（2）若∠A＝∠1+60°，∠ACB＝50°，求∠B的度数．真题感知1．（2023•绵阳）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为（）A．32° B．58° C．68° D．78°2．（2023•湖北）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（）A．55° B．45° C．35° D．25°3．（2023•山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°4．（2023•重庆）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．50° D．55°5.（2023•内蒙古）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°6．（2023•广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（）A．160° B．150° C．140° D．130°7．（2023•枣庄）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为（）A．14° B．16° C．24° D．26°8．（2023•江西）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°9．（2022•上海）下列说法正确的是（）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题10．（2023•宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．110° B．70° C．40° D．30°11.（2023•金昌）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上：反射光线和入射光线位于法线的两侧：反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（）A．60° B．70° C．80° D．85°12．（2023•德阳）如图，直线AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点M，N，∠BMN的平分线MF交CD于点F，∠MNF＝40°，则∠DFM＝（）A．70° B．110° C．120° D．140°13.（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝cm．14．（2023•通辽）将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF＝度．

专题14图形初步认识核心知识点精讲典例引领【题型1线与角概念和基本性质】【典例1】（2023•临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（）A．50° B．80° C．130° D．150°【答案】C【解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．故选：C．即时检测1.（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解答】解：根据题意可得，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．故选：B．2．（2021•包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3【答案】C【解答】解：根据题意分两种情况，①如图1，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB﹣BC＝2，∵D是线段AC的中点，∴AD＝＝：②如图2，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB+BC＝6，∵D是线段AC的中点，∴AD＝＝×6＝3．∴线段AD的长为1或3．故选：C．典例引领【题型2：平行线的性质和判定】【典例2】（2023•大连）如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝20°，则∠E的度数为（）A．20° B．25° C．35° D．45°【答案】B【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠A＝∠DFE，∵∠A＝45°，∴∠DFE＝45°，∵∠DFE是△CEF的一个外角，∴∠DFE＝∠C+∠E，∵∠C＝20°，∴45°＝20°+∠E，∴∠E＝25°，故选：B．即时检测1．（2023•深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝（）A．70° B．65° C．60° D．50°【答案】A【解答】解：∵DE∥AB，∠ABD＝50°，∴∠D＝∠ABD＝50°，∵∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角，∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°．故选：A．2．（2023•达州）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（）A．52° B．50° C．45° D．25°【答案】B【解答】解：∵AE∥CD，∠2＝35°，∴∠1＝∠2＝35°，∵AC平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠1＝70°，∵∠D＝60°，∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣70°＝50°，故选：B．3．（2023•陕西）如图，直线l1∥l2，点A在l2上，AB⊥l3，垂足为B．若∠1＝138°，则∠2的度数为（）A．32° B．38° C．42° D．48°【答案】D【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠3＝∠1＝138°，∵AB⊥l3，∴∠ABC＝90°，∵∠3＝∠2+∠ABC，∴∠2＝48°．故选：D．典例引领【题型3：度、分、秒的计算】【典例3】（2021•兴安盟）74°19′30″＝74.325°．【答案】见试题解答内容【解答】解：30×（）′＝0.5′，19′+0.5′＝19.5′，19.5×（）°＝0.325°，74°+0.325°＝74.325°，故答案为：74.325．即时检测1．（2020•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是126°42′32″．【答案】126°42′32″．【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝53°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，故答案为：126°42′32″．典例引领【题型4：三角板放置产生的角度计算】【典例4】（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】D【解答】解：延长AB交直线n于点D，∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故选：D．即时检测1．（2023•济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．45°【答案】A【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝70°，∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故选：A．2．（2023•盐城）小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（）A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】C【解答】解：设AB与DF交于点O，由题意得，∠F＝45°，∠A＝60°，∵AB∥EF，∴∠AOF＝∠F＝45°，∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠AOF＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故选：C．3．（2023•襄阳）将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（）A．30° B．20° C．15° D．10°【答案】C【解答】解：如图所示：依题意得：AB∥CD，∠EFH＝45°，∴∠1＝∠EFG，又∵∠1＝30°，∴∠EFG＝∠1＝30°，∴∠2＝∠EFH﹣∠EFG＝45°﹣30°＝15°．故选：C．典例引领【题型5：命题】【典例5】（2023•达州）下列命题中，是真命题的是（）A．平行四边形是轴对称图形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形【答案】C【解答】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意：B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意：C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意：D、在△ABC中，当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，△ABC不是直角三角形，故本选项说法是假命题，不符合题意：故选：C．即时检测1．（2023•内蒙古）下列命题正确的是（）A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 B．3.14精确到十分位 C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3） D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则甲成绩比乙的稳定【答案】C【解答】解：A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，故本选项命题错误，不符合题意：B、3.14精确到百分位，故本选项命题错误，不符合题意：C、点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3），命题正确，符合题意：D、甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则乙成绩比甲的稳定，故本选项命题错误，不符合题意：故选：C．2．（2023•无锡）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形：②正多边形是中心对称图形：③正六边形的外接圆半径与边长相等：④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：（1）各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题：（2）正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题：（3）正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题：（4）根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题．故选：C．3．（2023•岳阳）下列命题是真命题的是（）A．同位角相等 B．菱形的四条边相等 C．正五边形是中心对称图形 D．单项式5ab2的次数是4【答案】B【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意：B、菱形的四条边相等，正确，是真命题，符合题意：C、正五边形不是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意：D、单项式5ab2的次数是3，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：B．基础过关一．选择题（共13小题）1．下列四个图形中，经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以A、D选项错误：当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以B选项错误，C选项正确．故选：C．2．下列图形中，∠1和∠2互为余角的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：根据余角的定义，两角之和为90°，这两个角互余．D中∠1和∠2之和为90°，互为余角．故选：D．3．下列叙述正确的是（）A．线段AB可表示为线段BA B．射线CD可表示为射线DC C．直线可以比较长短 D．射线可以比较长短【答案】A【解答】解：A．线段AB可表示为线段BA，故说法正确，符合题意：B．射线CD不可表示为射线DC，故说法错误，不合题意：C．直线不可以比较长短，故说法错误，不合题意：D．射线不可以比较长短，故说法错误，不合题意：故选：A．4．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为（）A．100cm B．150cm C．100cm或150cm D．120cm或150cm【答案】C【解答】解：当PB的2倍最长时，得PB＝30cm，AP＝PB＝20cm，AB＝AP+PB＝50cm，这条绳子的原长为2AB＝100cm：当AP的2倍最长时，得AP＝30cm，AP＝PB，PB＝AP＝45cm，AB＝AP+PB＝75cm，这条绳子的原长为2AB＝150cm．故选：C．5．如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（）A．圆 B．长方形 C．三角形 D．梯形【答案】B【解答】解：由水平面与圆柱的底面垂直，得水面的形状是长方形．故选：B．6．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方向角是（）A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60°【答案】B【解答】解：如图所示：∵OA是北偏东30°方向的一条射线，∠AOB＝90°，∴∠1＝90°﹣30°＝60°，∴OB的方向角是北偏西60°．故选：B．7．如图，AB⊥AC，AD⊥BC垂足分别为A，D，图中互余的角共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于D，∴∠B+∠C＝90°，∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，则互余的角共有4个．故选：C．8．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线【答案】B【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：B．9．如图，直线a，b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．50° B．120° C．130° D．140°【答案】C【解答】解：∵c⊥a，∴∠AOB＝90°，∵∠1＝40°，∴∠AOC＝90°+40°＝130°，∵∠2＝∠AOC，∴∠2＝130°．故选：C．10．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝60°，则∠2的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】D【解答】解：在△DEF中，∠1＝60°，∠DEF＝90°，∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝30°．∵AB∥CD，∴∠2＝∠D＝30°．故选：D．11．下列作图能表示点A到BC的距离的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、BD表示点B到AC的距离，故此选项错误：B、AD表示点A到BC的距离，故此选项正确：C、AD表示点D到AB的距离，故此选项错误：D、CD表示点C到AB的距离，故此选项错误：故选：B．12．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A【答案】D【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．故选：D．13．将一把直尺和一块含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，若∠1＝33°，则∠2为（）A．63° B．107° C．117° D．120°【答案】C【解答】解：∵EF∥GH，∴∠1＝∠DAB，∵∠1＝33°，∴∠DAB＝33°，∵∠C＝30°，∴∠ADC＝180°﹣（∠C+∠DAB）＝117°，∴∠2＝∠ADC＝117°，故选C．二．填空题（共4小题）14．把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN＝127.5°．【答案】127.5°．【解答】解：∵CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，∴∠MCB＝＝22.5°，∠DCN＝DCE＝30°，∴∠MCN＝180°﹣∠MCB﹣∠DCN＝180°﹣22.5°﹣30°＝127.5°．故答案为：127.5°15．如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“等”字一面相对的面上的字是我．【答案】我．【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可得，和“等”字一面相对的面上的字是“我”，故答案为：我．16．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC＝115°，则∠BOD＝65°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠AOC＝115°，∴∠BOD＝∠COD+∠AOB﹣∠AOC＝90°+90°﹣115°＝65°．故答案为：65°．17．如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝43˚，则∠2＝133度．【答案】见试题解答内容【解答】解：过B作直线BD∥n，则BD∥m∥n，∵AB⊥m，∠1＝43˚，∴∠ABD＝90°，∠DBC＝∠1＝43°∴∠2＝∠ADB+∠1＝90°+43°＝133°．故填133．三．解答题（共3小题）18．如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点．（1）若AB＝16cm，CD＝6cm，求AC+BD的长和M，N的距离：（2）如果AB＝m，CD＝n，用含m，n的式子表示MN的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝16cm，CD＝6cm，∴AC+BD＝AB﹣CD＝10cm，∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝AB﹣（AC+BD）＝16﹣5＝11（cm）：（2）∵AB＝m，CD＝n，∴AC+BD＝AB﹣CD＝m﹣n，∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝AB﹣（AC+BD）＝m﹣（m﹣n）＝．19．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD：（2）求∠C的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD：（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，∴∠3＝25°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝25°．20．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．（1）求证：EF∥AD：（2）求证：∠BAC+∠AGD＝180°．【答案】（1）证明见解答过程：（2）证明见解答过程．【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（垂直的定义），∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）：（2）∵EF∥AD，∴∠1＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠BAD（等量代换），∴DG∥BA（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．能力提升一．选择题（共10小题）1．将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠CBD等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【解答】解：由题意可知：∠ABE＝∠EBA'，∠A'BD＝∠DBC，∵∠ABE＝20°，∴∠CBD＝∠A'BC＝（180°﹣∠ABA'）＝×（180°﹣2∠ABE）＝×（180°﹣2×20°）＝70°，故选：C．2．如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是（）A．④ B．③ C．② D．①【答案】A【解答】解：由题意知，剪掉小正方形①或②或③阴影部分能折叠成一个正方体，剪掉小正方形④阴影部分不能折叠成一个正方体，故选：A．3．如图①所示的是一个正方体的表面展开图，将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻过第1格、第2格，到第3格时正方体朝上的一面上的字是（）A．世 B．真 C．精 D．彩【答案】B【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“世”与“彩”相对，“界”与“真”相对，“杯”与“精”相对，翻过第1格时，“世”在下面，“界”在右面，“杯”在前面，翻过第2格时，“世”在后面，“界”在右面，“杯”在下面，翻过第3格时，“界”在下面，因此“真”在上面，故选：B．4．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，李约瑟称它是“东方最古老的消遣品之一”，图1是边长为4的大正方形，图2是王林同学将其分割制作的七巧板摆拼而成的“奔跑者”图，则图2中阴影部分的面积为（）A．4 B．4+ C．6 D．4+【答案】C【解答】解：将图1都分割成最小的三角形，发现一共可以分成16个．又图2中的阴影部分可以分割成6个这样的小三角形，所以阴影部分的面积占正方形面积的＝．又正方形的边长为4，则面积为16．所以阴影部分的面积为：．故选：C．5．将如图所示的圆锥的侧面展开，则点A和点B在展开图中的相对位置正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解答】解：点B在圆锥的母线上，将圆锥侧面展开后，点B应在扇形的半径上，且A，B间距离为扇面的一半，故选：C．6．如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（）立方分米．A．105π B．54π C．36π D．18π【答案】B【解答】解：∵近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米，∴圆柱体的半径为：36÷2÷6＝3（分米），∴圆柱的体积为：π×32×6＝54π（立方分米），故选：B．7．将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝25°，则∠3的度数为（）A．120° B．125° C．130° D．135°【答案】B【解答】解：如图，由题意可知a∥b，∴∠2＝∠4．∵∠2＝∠1+30°＝25°+30°＝55°，∴∠4＝55°．又∵∠3+∠4＝180°∴∠3＝180°﹣∠4＝125°．故选：B．8．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】B【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF：∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．故选：B．9．如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①：②OF平分∠BOD：③∠POE＝∠BOF：④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵AB//CD，∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，∴∠ABO＝∠BOD＝α，∵OE平分∠BOC，∴，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴，∴，即OF平分∠BOD，∵OP⊥CD，∴∠POC＝90°，∴，∴∠POE＝∠BOF∠POB＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，，所以④错误：故答案为：C．10．如图，将木条a、b和c用螺丝钉在一起，且∠1＝70°，∠2＝50°，若木条b、c位置不动，将木条a绕固定点顺时针旋转，使得a∥b，则旋转的角度可以是（）A．10° B．20° C．30° D．50°【答案】B【解答】解：根据题意，当木条a绕固定点顺时针旋转，使得a∥b时，∠1′＝∠2，∵未旋转前，∠1＝70°，∠2＝50°，∴旋转后，∠1′＝∠2＝50°，即木条a绕固定点顺时针旋转，使得a∥b，则旋转的角度可以是∠1﹣∠1′＝70°﹣50°＝20°，故选：B．二．填空题（共1小题）11．如图，将边长为2cm的正方形纸片沿AE，AF，EF折叠，折成一个三棱锥A﹣CEF，则折痕EF的长度为cm．【答案】．【解答】解：根据折叠知CF＝DF＝1cm，BE＝CE＝1cm，在Rt△EFC中，EF2＝CF2+CE2，即EF2＝12+12＝2，∴EF＝（舍去负值），故答案为：．三．解答题（共1小题）12．如图，已知AB∥CD，连接BC．点E，F是直线AB上不重合的两点，G是CD上一点，连接ED交BC于点N，连接FG交BC于点M．若∠ENC+∠CMG＝180°．（1）求证：∠2＝∠3：（2）若∠A＝∠1+60°，∠ACB＝50°，求∠B的度数．【答案】（1）证明过程见解答：（2）35°．【解答】（1）证明：∵∠CMG＝∠FMN，又∵∠ENC+∠CMG＝180°，∴∠ENC+∠FMN＝180°，∵ED∥FG，∴∠2＝∠D（两直线平行，同位角相等），又∵AB∥CD（已知），∴∠3＝∠D（两直线平行，内错角相等），∴∠2＝∠3（等量代换）：（2）解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠B，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，又∵∠A＝∠1+60°且∠ACB＝50°，∴∠1+60°+∠1+50°＝180°，∴∠1＝35°，∴∠B＝∠1＝35°．真题感知1．（2023•绵阳）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为（）A．32° B．58° C．68° D．78°【答案】B【解答】解：∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．故选：B．2．（2023•湖北）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（）A．55° B．45° C．35° D．25°【答案】C【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠ABC＝∠1＝55°，∵∠BAC＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°．故选：C．3．（2023•山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】C【解答】解：∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠2＝30°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．故选：C．4．（2023•重庆）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．50° D．55°【答案】A【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠1＝180°，∵∠1＝55°，∴∠BAC＝125°，∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，故选：A．5.（2023•内蒙古）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上