正数与负数、有理数与无理数压轴题八种模型全攻略（解析版）

专题01正数与负数、有理数与无理数压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一正负数的意义】 1【考点二相反意义的量】 2【考点三正负数的实际应用】 3【考点四有理数的概念】 4【考点五0的意义】 5【考点六有理数的分类】 6【考点七带“非”字的有理数】 8【考点八无理数的识别】 10【过关检测】 12【典型例题】【考点一正负数的意义】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家.若气温上升，记作：，那么气温下降可记作（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若上升记为正，则下降就记为负，直接得出结论即可．【详解】解：若气温上升，记作：，那么气温下降，可记作：，故选：C．【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式训练】1．（2023·河南南阳·统考三模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若小文同学通过微信抢红包“收入”元，记作“元”，则他用微信消费元应记作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】根据正负数的意义，一个量用正数表示，那么与它相反意义的量就用负数表示解答即可．【详解】解：收入”元，记作“元，收入与消费互为相反意义的量，∴消费元应记为元，故选：B．【点睛】本题考查正负数表示互为相反意义的量，掌握概念是解题关键．2．（2023·全国·七年级假期作业）下列各数中，是正数的是(

)A． B．0 C．2 D．【答案】C【分析】根据正数的意义判断即可．【详解】解：A.是负数，不符合题意；B.0既不是正数又不是负数，不符合题意；C.2是正数，符合题意；D.−5是负数；不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键．【考点二相反意义的量】例题：（2023·江苏·七年级假期作业）气温上升记为，则气温下降记为___________．【答案】【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：气温上升记为，则气温下降记为：，故答案为：．【点睛】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式训练】1．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）如果零上记为，那么表示__________________．【答案】零下【分析】根据相反意义即可得到答案．【详解】解：由题意可得，规定了零上为正，则零下为负，故答案为：零下．【点睛】本题考查相反意义量的表示：规定一方为正反方向为负，解题的关键是找到相反意义．2．（2023·四川达州·七年级校考期末）如果把收入100元记作，那么支出60元记作______【答案】【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，收入100元记作元，那么支出60元则为元，【详解】收入100元记作，那么支出60元应记作，故答案为：．【点睛】本题考查正数和负数，理解正负数的意义是解决问题的前提．【考点三正负数的实际应用】例题：（2023·甘肃武威·统考中考真题）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“________米”．【答案】【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．【详解】解：把海平面以上9050米记作“米”，则海平面以下10907米记作米，故答案为：．【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）一袋食品的包装袋上标有的字样，它的含义是______．【答案】这袋食品的质量与标准质量相比，超重不超过，不足也不超过【分析】利用生活中的数学知识，利用表示比标准质量可能多也可能少解决本题即可．【详解】解：表示比超重不超过，不足也不超过．故答案为：这袋食品的质量与标准质量相比，超重不超过，不足也不超过．【点睛】本题考查了有理数中正负数的实际应用，把正数和负数与日常生活相联系是解答本题的关键．2．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期末）某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是___________kg．【答案】【分析】根据正负数的意义计算即可．【详解】∵包装上标有：，∴这袋大米最轻的重量是．故答案为:．【点睛】本题考查了正负数的意义,正确理解是解题的关键．【考点四有理数的概念】例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在，，，0，中，有理数有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据有理数的定义，即可求解，分数与整数统称为有理数．【详解】解：在，，，0，中，有理数有，，，0，共4个故选：C．【点睛】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·上海·六年级专题练习）在数π，0，，，，25中，有理数有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据有理数的概念进行解答．【详解】解：π不是有理数；0，25，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；，，是有限小数，属于有理数；故有理数有0，，，，25，共5个．故选：D．【点睛】本题考查的是认识有理数问题，关键是能判断一个数是否是有理数．2．（2023·全国·七年级假期作业）下列各数中，负有理数有（

）个，，，0，，120，，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据负有理数的分为负整数和负分数，逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：负有理数有、、，共3个，故选C．【点睛】本题考查了有理数分类，解题关键是掌握负有理数包括负整数和负分数．【考点五0的意义】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）下面关于0的说法，正确的是（

）A．0既不是正数也不是负数 B．0既不是整数也不是分数C．0不是有理数 D．0的倒数是0【答案】A【分析】依据倒数，有理数相关概念以及有理数分类判断即可．【详解】A．0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，符合题意；B．0是整数，不是分数，故此选项错误，不符合题意；C．0是有理数，故此选项错误，不符合题意；D．0不存在倒数，故此选项错误，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了有理数，0是重要的数字，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列结论中正确的是（

）A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数【答案】D【分析】根据这个实数的相关知识，进行判断即可．【详解】解：0既不是正数，也不是负数；是整数，也是有理数；是最小的自然数；还是正数和负数的分界线；故选：D．【点睛】本题考查了有理数的相关知识，熟知：①既不是正数，也不是负数；②是整数，也是有理数；③是最小的自然数；④是正数和负数的分界；是解本题的关键．2．（2023秋·云南昭通·七年级校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．整数就是自然数 B．0不是自然数C．正数和负数统称有理数 D．0是整数而不是负数【答案】D【分析】根据有理数的分类即可作出判断．【详解】A、整数为正整数，0及负整数，自然数为正整数与0，说法错误，不符合题意，此选项错误；B、0是自然数，说法错误，不符合题意，此选项错误；C、正数，0和负数统称为有理数，说法错误，不符合题意，此选项错误；D、0是整数而不是负数，说法正确，符合题意，此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数与自然数和整数的区别，以及0的意义是本题关键．【考点六有理数的分类】例题：（2023·江苏·七年级假期作业）请把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，．正数集合：{…}；分数集合：{…}；整数集合：{…}；有理数集合：{…}．【答案】，5.2，，；，5.2，，；0，，；，5.2，0，，，，．【分析】根据有理数的分类，可得答案．【详解】解：，，，，，，，．正数集合：，5.2，，，；分数集合：，5.2，，，；整数集合：，，，；有理数集合：，5.2，0，，，，，．故答案为：，5.2，，；，5.2，，；0，，；，5.2，0，，，，．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）把下列将数填入相应的集合中：，，，28，0，4，，．

【答案】见解析【分析】根据有理数的分类解答即可．【详解】解：如图所示：

【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．2．（2023·全国·七年级假期作业）把下列各数分别填入相应的集合内：2，，，，，，(1)正数集合：{

…}；(2)负数集合：{

…}；(3)整数集合：{…}；(4)分数集合：{…}；【答案】(1)2，，(2)，，(3)2，(4)，【分析】根据有理数的分类方法求解即可．【详解】（1）解：正数有：2，，，故答案为：2，，；（2）解：负数有：，，；故答案为：，，；（3）解：整数有：2，；故答案为：2，；（4）解：分数有：，；故答案为：，．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．【考点七带“非”字的有理数】例题：（2023·江苏·七年级假期作业）把下列各数，，，，，填在相应集合里．非正数集合：；分数集合：；整数集合：．【答案】，，，；，，；，，．【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解．【详解】非正数集合：，，，；分数集合：，，；整数集合：，，．故答案为：，，，；，，；，，．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数填入相应集合的括号内．，，，0，，13，，，，，(1)正分数集合：{____________…}；(2)整数集合：{____________…}；(3)非负数集合：{____________…）．【答案】(1)，，；(2)0，13，，；(3)，，0，13，，．【分析】（1）根据正分数的定义：比0大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写，据此逐一进行判断即可得到答案；（2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案；（3）根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案【详解】（1）解：根据正分数的定义，正分数有：，，，故答案为：，，；（2）解：根据整数的定义，整数有：0，13，，，故答案为：0，13，，；（3）解：根据非负数的定义，非负数有：，，0，13，，，故答案为：，，0，13，，．【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别．2．（2023·江苏·七年级假期作业）请把下列各数填在相应的集合内：，，，，，，．正数集合{……}；负整数集合{……}；整数集合{……}；分数集合{……}；非正数集合{……}；非负整数集合{……}．【答案】，，；，；，，，；，，；，，，；，．【分析】根据有理数的分类逐个分析判断即可求解．【详解】正数集合，，，；负整数集合，，；整数集合，，，，；分数集合，，，；非正数集合，，，，；非负整数集合，，．故答案为：，，；，；，，，；，，；，，，；，．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【考点八无理数的识别】例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）下列各数是无理数的是（

）A． B．0 C． D．【答案】D【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．【详解】解：在，0，，中，，0，是有理数，是无理数，故选：D【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．【变式训练】1．（2023春·甘肃定西·七年级校考阶段练习）实数3.14，，，0中，无理数是（

）A．3.14 B． C． D．0【答案】C【分析】根据无理数的概念逐一判断即可．【详解】解：实数3.14，，，0中，无理数是．故选：C．【点睛】本题主要考查了无理数，无理数是无限不循环小数，分数和整数属于有理数．2．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）下列几个数中，属于无理数的数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选项．【详解】解：A.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；C.是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；D.是无理数，故本选项符合题意，故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像相邻两个2中间依次多1个，等有这样规律的数．【过关检测】一、选择题1．（2023·江苏·七年级假期作业）下列实数中，无理数是()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据无理数的定义即可得出答案．【详解】A．是整数，属于有理数，不符合题意；B．是无理数，符合题意；C．是分数，是有理数，不符合题意；D．是整数，属于有理数，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是无理数的定义：无限不循环小数．2．（2023春·湖南永州·七年级校考期中）如果向北走3米记作米，那么米表示（

）A．向东走8米 B．向西走8米 C．向南走8米 D．向北走8米【答案】C【分析】利用相反意义的量即可判断．【详解】向北走3米记作米，米表示向南走8米，故选择：C．【点睛】本题考查相反意义的量，掌握相反意义的量，会用相反词识别相反意义的量是解题关键．3．（2023秋·广西北海·七年级统考期末）下列各数：，0.8，，0，，8.3，，其中负数的有（）个A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据负数的定义可以判断题目中的哪些数据是负数，从而可以解答本题．【详解】解：负数有，，，，共4个，故选C．【点睛】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确负数的定义，可以判断一个数是否为负数．4．（2023秋·广东佛山·七年级统考期末）下列四组量中，不具有相反意义的是（

）A．海拔“上升200米”与“下降400米”B．温度计上“零上15℃”与“零下5℃”C．盈利100元与亏本25元D．长3米与重10千克【答案】D【分析】根据相反意义的量的特征逐一判断即可．【详解】解：A.海拔上升与下降是相反意义，故A选项正确，不符合题意；B.温度计零上与零下是相反意义，故B选项正确，不符合题意；C.盈利100与亏本25元相反意义，故C选项正确，不符合题意；D.长3米与重10千克不是相反意义，故D选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量有两个特征：（1）表示的是同一类量；（2）意义相反，是解题的关键．5．（2023·全国·七年级假期作业）下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③既是负数也是整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据有理数的分类方法逐一判断即可．【详解】解：①整数包括正整数、负整数和0，故原说法错误，不符合题意；②分数包括正分数和负分数，故原说法正确，符合题意；③既是负数也是整数，但不是自然数，故原说法正确，符合题意；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误，不符合题意；⑤非负分数就是正分数，故原说法正确，符合题意．∴正确的个数是3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．二、填空题6．（2023秋·福建莆田·七年级统考期末）如果收入10.5元表示为+10.5元，那么支出6元可表示为____元．【答案】-6【分析】根据相反意义的量，表示即可．【详解】因为收入为“+”，所以支出为“-”，所以支出6元可表示为-6元，故答案为：-6【点睛】本题考查了相反意义的量，熟练掌握相反意义的量的意义是解题的关键．7．（2023·江苏·七年级假期作业）在实数，，－1.0202202220……，0中无理数有______个.【答案】2【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【详解】无理数有：，－1.0202202220……，共2个故答案为：2【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是注意无限不循环小数为无理数．8．（2023·江苏·七年级假期作业）下列各数：，，，0，，，其中分数的个数是______个．【答案】3【分析】根据有理数的分类进行判断即可，有理数分为整数和分数．【详解】解：和0是整数，，，是分数，是无理数，故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的分类；熟练掌握有理数的分类是解题的关键．9．（2023·全国·七年级假期作业）在、4.6、、、0、、、中，正数有______，负数有______．【答案】4.6、、、、、【分析】根据正数与负数的定义（正数就是大于0的数，负数就是小于0的数）即可得．【详解】解：正数有4.6、、，负数有、、、，故答案为：4.6、、；、、、．【点睛】本题考查了正数与负数，熟记正数与负数的定义是解题关键．10．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）在数，，，0，，，，，中，___________是负分数．【答案】，，【分析】根据有理数的分类逐一判断即可得到答案．【详解】解：负整数：，；正整数：；正分数：；负分数：，，；无理数：，故答案为：，，．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握负分数的概念是解题关键，注意所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，而无限不循环小数，不能化成分数的形式．三、解答题11．（2023秋·七年级单元测试）把下列各数的序号填入相应的横线内：①，②＋8，③20%，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（每两个“1”之间依次多一个“3”）．整数：{

}；负分数：{

}；无理数：{

}．【答案】整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨【分析】先化简多重符号及绝对值，然后根据有理数及无理数的定义求解即可．【详解】解：，，整数：＋8，0，；负分数：，；无理数：，（每两个“1”之间依次多一个“3”）．故答案为：整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨．【点睛】题目主要考查数的分类及化简，熟练掌握数的分类是解题关键．12．（2023·江苏·七年级假期作业）请把下列各数填入相应的集合中：﹣(＋4)，|﹣3.5|，0，，10%，2018，＋(﹣5)，﹣2.030030003…（每两个3之间逐次加一个0）．正分数集合：{

…}；负有理数集合：{

…}；非负整数集合：{

…}；【答案】|﹣3.5|，10%；﹣（+4），+（-5）；0，2018【分析】根据大于0的分数是正分数；小于0的有理数是负有理数；大于或等于0的整数为非负整数，据此回答即可．【详解】正分数集合：{|﹣3.5|，10%，…}；负有理数集合：{﹣（+4），+（-5），…}；非负整数集合：{0，2018，…}；【点睛】本题考查了有理数的分类，熟知整数，分数及有理数的定义是解答本题的关键．13．（2023·江苏·七年级假期作业）把下列各数填入它所属的集合内：，，0，，2，，（每两个2之间依次增加一个1）．正数集合：{…}；无理数集合：{…}；分数集合：{…}；非负整数集合：{…}．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类求解即可．【详解】解：正数集合：{，2，…}；无理数集合：{，（每两个2之间依次增加一个1）…}；分数集合：{，…}