难点探究：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略（原卷版）

专题14难点探究专题：利用一元一次方程解决实际问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一一元一次方程的应用--古代问题】 1【类型二一元一次方程的应用--销售问题】 5【类型三一元一次方程的应用--方案问题】 12【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】 18【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】 25【典型例题】【类型一一元一次方程的应用--古代问题】例题：（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中第六章《均输》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（读fú，指野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”题目大意是：今有野鸭从南海起飞，天到北海；大雁从北海起飞，天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞（两者的飞行路线相同），问经过多少天相遇？【变式训练】1．（2022·江西新余·统考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客几何？译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．2．（2023秋·七年级课时练习）《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一．其内容为：一位妇人在河边洗碗．津吏问道：“为什么要洗这么多碗？”妇人回答：“家里来客人了．”津吏问：“有多少客人？”妇人回答：“每二人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗．”共有位客人．3．（2023秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题，“今有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三，问人数几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．则买单的人有个．4．（2023秋·七年级课时练习）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份去测，那么绳子会多出四尺；如果将绳子折成四等份去测，那么绳子会多出一尺．绳长和井深各多少尺？5．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）在数学课上，同学们分组讨论解决下列问题的方法．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？6．（2023·安徽六安·统考模拟预测）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？7．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪），是代数学的创始人之一．在他的墓碑上记载着：“他生命的是幸福的童年；再活了他生命的，两䎦长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了．”(1)设丢番图的寿命为x岁，根据题意得儿子出生时丢番图的年龄为_________岁，儿子的寿命为_________岁；(2)用你喜欢的方式，求出丢番图和儿子的寿命分别为多少岁？【类型二一元一次方程的应用--销售问题】例题：（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）2023年4月16日至18日“金沙贡茶文化节”在岩孔贡茶古镇举行，开幕式上12家茶企茶商代表进行了集中签约．其中某采购商计划购进甲、乙两种茶叶商品．已知甲种茶叶商品的每件进价比乙种茶叶商品的每件进价少20元．若购进甲种茶叶商品5件，乙种茶叶商品3件，共需要700元．(1)求甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是多少元?(2)该采购商购进了甲种茶叶商品300件，乙种茶叶商品200件．在销售时，甲种茶叶商品的每件售价为110元，要使得这500件茶叶商品所获利润率为，求每件乙种茶叶商品的售价是多少元?【变式训练】1．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）列方程解应用题：某商场经销甲、乙两种服装．甲种服装每件进价250元，售价400元；乙种服装每件进价400元，售价600元．(1)销售甲种服装每件利润为元__________，销售乙种服装每件利润率为__________．(2)该商场同时购进甲、乙两种服装共50件，总进价恰好为元，求商场销售完这批服装共盈利多少？(3)在元旦当天，该商场实行“每满300元减100元”的优惠活动（比如某顾客购物300元，他只需付款200元，购物1000元，他只需付款700元），后又加推，晚上八点后，先打折再参与“每满300元减100元”的活动，张女士想买一件标价为1600元的羽绒服，细心的张女士发现，打折后价格在1200元到1440元之间，如果在晚上八点后购买，可以再便宜92元，求商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加满减活动？2．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同类型的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．(1)若商场用9万元同时购进甲、乙两种不同型号的电视机共50台，求应购进甲、乙两种电视机各多少台？(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．试问：同时购进两种不同型号电视机的方案可以有几种（每种方案必须刚好用完9万元）？为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？并说明理由．3．（2023秋·湖北随州·七年级统考期末）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，某农业科技公司对两种玉米进行实验种植对比研究．去年A，B两种玉米分别种植了5亩、10亩，收获后通过测算，A种玉米平均亩产量为400千克，B种玉米平均亩产量比A种高，A，B两种玉米以相同价格全部售出后总收入为25200元．(1)求去年A，B两种玉米的售价为多少？(2)今年科技公司优化了玉米的种植方法，在A，B两种玉米均保持去年种植面积不变的情况下，预计A，B两种玉米平均亩产量将在去年的基础上分别增加和，而A种玉米的售价保持不变，B种玉米的售价将在去年的基础上下降10%．已知A，B两种玉米全部售出后总收入在去年的基础上将增加，求的值．4．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市中小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学本学期剩余时间全部进行线上教学．七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺的标价为90元/副，优惠活动如下：销售量单价不超过10副的部分每副立减14元超过10副但不超过20副的部分每副立减22元超过20副的部分每副立减30元(1)①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了___________元；②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了___________元；③若该班级家委会购买了副这种防蓝光眼镜，花了___________元；（用含x的代数式表示）(2)若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量．5．（2023秋·四川成都·七年级校考期末）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行，某经销商销售带有“蓉宝”吉祥物标志的甲、乙两种纪念品，若经销商购进30个甲类纪念品和40个乙类纪念品共需要4300元．已知甲、乙两种纪念品的进价和售价如表：种类种类进价（元/件）售价（元/件）甲a80乙90(1)甲、乙两种纪念品每件进价各多少元？(2)经销商第一次购进甲类和乙类纪念品共200个，全部售完后总利润（利润售价进价）为4700元，求甲类和乙类纪念品分别购进多少个？(3)经销商第二次购进了与第（2）问中第一次同样多的甲类和乙类纪念品，由于两类纪念品进价都比上次优惠了，甲类纪念品进行打折出售，乙类纪念品价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚1400元，求甲类纪念品打了几折？【类型三一元一次方程的应用--方案问题】例题：（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x条（）(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？【变式训练】1．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）暑假期间，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩，甲、乙两单位共人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够人．经了解，该风景区的门票价格如下表：数量(张)张及以上单价(元/张)元元元如果两单位分别单独购买门票，一共应付元．(1)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？(2)如果甲单位有名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？2．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）某学校计划购买书柜20张和书架x只（），现从A、B两家超市了解到：书柜每张300元，书架每只80元．A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架；B超市的优惠政策为所有商品八折．(1)若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是______元（用含x的式子表示），到B超市购买费用是_____元（用含x的式子表示）；(2)在（1）的条件下，当购买书架x多少只时？到A、B两家超市购买费用相等．(3)学校要购买20张书柜和60只书架．①若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是______元，到B超市购买费用是____元；②假如你是本次购买的负责人，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使购买费用更少，并求出购买费用是多少元？3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）年月日，神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完成全自主快速交会对接．中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．正式开启了中国空间站常态化运营的新篇章．中国空间站模型在某商店价格规定如下表：购买数量套套套以上每套价格元元元某校七年级（1）班和（2）班共人计划购买模型，其中（1）班有多人，不足人，经估算，如果两个班以班为单位每人购买一套，则一共应付元，问：(1)两班各有多少学生？(2)如果两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省多少钱？(3)如果七年级（1）班单独组织去购买模型，作为组织者的你如何采购才最省钱？4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）有下列两种移动电话计费方法：月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫A套餐381000.2免费B套餐985000.25免费其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费．(1)小慧的爸爸6月份主叫时间200分钟，则选用A套餐比选用B套餐节省_________元．(2)小宇的爸爸选择A套餐，小谦的爸爸选择B套餐，7月份他们的通话费相等，小宇的爸爸比小谦的爸爸主叫时间少20分钟，求小宇的爸爸7月份的主叫时间．(3)设主叫时间为t分钟，直接写出t满足什么条件时，B套餐省钱．【类型四一元一次方程的应用--电费和水费问题】例题：（2023秋·七年级课时练习）目前，某市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．一户居民一个月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）第1档不超过180度的部分第2档超过180度的部分(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费________元．(2)若该市某户12月用电量为度，请用含的式子分别表示和时该户12月应交电费多少元．(3)若该市某户12月应交电费126元，则该户12月用电量为多少度？【变式训练】1．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行“阶梯电价”收费，收费标准如下表：每户每月用电量（度）电费（元/度）不超过200度超过200度且不超过500度的部分超过500度的部分(1)小明家今年3月份用电310度，求小明家3月份应缴电费多少元？(2)小明家今年7月份用电增大，7月份的平均电价为元/度，求小明家今年7月份用电多少度？2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一家通讯公司推出两种移动电话计费方法，如表所示：计费方法A计费方法B每月基本服务费（元/月）68元98元每月免费通话时间（分）200分500分超出后每分钟收费（元/分）0.25元0.20元(1)若月通话时间是5小时，则使用计费方法A的用户话费为元，使用计费方法B的用户话费为元；(2)若月通话时间是x分钟，则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示）(3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？3．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）某地今年夏季降雨量大幅下降，水电发电量严重受限，再加上高温天气持续，居民用电量居高不下，电力供需形势十分严峻．已知该地为节约用电，利用价格调控的手段，规定了居民生活用电的阶梯收费标准如下：价目表每月用电量价格不超过180千瓦时的部分0.5元/千瓦时超过180千瓦时，但不超过280千瓦时的部分0.6元/千瓦时超过280千瓦时的部分0.8元/千瓦时(1)若小明家8月份用电200千瓦时，则应缴多少电费；(2)若小明家8月份用电a千瓦时（其中），则应缴多少电费；（用含a的代数式表示，并化简）(3)若小明家8月份缴电费326元，求小明家8月份用电多少千瓦时．4．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市2022年自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题：每月用水量价格价不超出的部分元目超出不超出的部分4元表超出的部分元(1)若某用户9月份用水，则应交水费__________元；(2)若该用户10月份应收水费77元，则用水__________(3)若该用户11月份和12月份两个月共用水（11月份用水量超过了12月份），设12月份用水，求该用户两个月各交水费多少元．（用含的代数式表示，并化简）5．（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额：消费金额（元）小于或等于500元500～10001000～15001500以上返还金额（元）060100150注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1200元的商品，则消费金额为960元，获得的优惠额为（元）．(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)若顾客在该商场购买一件标价x元的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示）(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x元的商品后，第二次又购买了一件标价为800元的商品，两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的标价是多少？【类型五一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）[应用意识]如图，数轴上两点所表示的数分别为为原点，为数轴上一动点且表示的数为．点以2个单位长度/秒的速度，点以3个单位长度/秒的速度，分别自两点同时出发，相向而行，在数轴上运动．设运动时间为秒．(1)若点在点处相遇，求点所表示的数；(2)若，求的值；(3)当时，求的值；(4)若同时一只宠物鼠以4个单位长度/秒的速度从点出发，与点相向而行，宠物鼠遇到点后立即返回，又遇到点后立即返回，又遇到点后立即返回……直到点相遇为止．求宠物鼠在整个过程中所经过的路程．【变式训练】1．（2023秋·广西桂林·七年级统考期末）如图，点O为数轴原点，点A、B、C都在数轴上，．已知点A表示的数为．

(1)直接写出点B表示的数；(2)一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；另一动点Q同时从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，已知P、Q两点恰好在点C相遇，求点C表示的数．(3)在（2）的条件下，当点P分别到A、B、C三点的距离之和为68个单位长度时，求点P的运动时间．2．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）已知数轴上点、点对应的数分别为、，满足

(1)______，______；(2)若点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，求点、点同时出发，几秒后点与点相距4个单位长度？(3)在（2）的条件下，点以每秒4个单位长度的速度从原点出发沿数轴向右运动，求点、点、点同时出发，几秒后点到点的距离与点到点的距离相等？3．（2023秋·陕西西安·七年级统考期末）问题提出：（1）如图，点在数轴上表示的数分别是，且满足，则______，______．

问题探究：（2）将小木棒放到图上的位置．长为，长为6