第二章相交线与平行线（5个类型85题）-【常考压轴题】七年级数学下册压轴题攻略（北师大版）（解析版）

第二章相交线与平行线压轴题专练内容导航一、与余角（补角）有关的压轴题（15题）二、与三角板旋转有关的压轴题（15题）三、平行线的性质与判定（29题）四、平行线的实际应用问题（10题）五、平行线+三角板旋转的综合问题（16题）一、与余角（补角）有关的压轴题1．已知：如图1，点是直线上一点，过点作射线，使，过点作射线，使．如图2，绕点以每秒9°的速度顺时针旋转得，同时射线绕点以每秒3°的速度顺时针旋转得射线，当射线落在的反向延长线上时，射线和同时停止，在整个运动过程中，当时，的某一边平分（指不大于180°的角）．【答案】t=2或t=30或t=54【分析】本题分情况讨论，当OE'平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'，用t的式子表示∠MOE'，∠A'OE'，求出t的值，当ON'平分∠A'OM，∠MON'=∠A'ON'，此时分为两种情况，第一种情况：ON'没有旋转完360°，第二种情况：ON'旋转完了360°．用t的式子表示∠MON'，∠A'ON'，分别求出t的值即可．【详解】解：∵∠EOM=∠EON，∠EOM+∠EON=180°得：∠EOM=30°，∠EON=150°①OE'平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'∠MOE'=30+9t∠A'OE'=60+3t-9t∴30+9t=60+3t-9t解得t=2，②ON'平分∠A'OM，此时分为两种情况，第一种情况：ON'没有旋转完360°，∠MON'=∠A'ON'∠MON'=9t-180

∠A'ON'=90+(9t-180)-3t∴9t-180=90+(9t-180)-3t解得t=30，第二种情况：ON'旋转完了360°∠MON'=∠A'ON'∠MON'=180-9t+360，∠A'ON'=180-(3t-90)-(180-9t+360)180-9t+360=180-(3t-90)-(180-9t+360)解得t=54，故答案为：t=3或t=30或t=54

【点睛】此题主要考查角的和差，角平分线的性质与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解.2．直观想象，逻辑推理已知点O为直线AB上一点．(1)如图，过点O作射线OC，使，求与的度数；(2)如图，射线OC为内部任意一条射线，射线OD、OE分别是、的角平分线，求的度数，并写出简要的推理过程；(3)写出上图中所有互余的角和互补的角．【答案】(1)∠AOC=108°，∠BOC=72°；(2)90°；过程见详解；(3)互余的角为：∠AOD和∠COE，∠AOD和∠EOB，∠DOC和∠COE，∠DOC和∠EOB；互补的角为：∠AOD和∠DOB，∠DOC和∠DOB，∠AOC和∠BOC，∠BOE和∠AOE，∠COE和∠AOE；【分析】（1）设∠AOC=3x，∠BOC=2x，列方程求解即可；（2）根据角平分线的定义，求∠DOC和∠COE的和即可；（3）根据余角和补角的定义，等角的余角（补角）相等，结合图形解答；【详解】（1）解：设∠AOC=3x，∠BOC=2x，由图可得：3x＋2x=180°，5x=180°，x=36°，∴∠AOC=3×36°=108°，∠BOC=2×36°=72°；（2）解：由题意可得：∠AOD=∠DOC=∠AOC，∠BOE=∠EOC=∠BOC，∵∠AOC＋∠BOC=180°，∴（∠AOC＋∠BOC）=90°，∴∠DOC＋∠COE=90°，∴∠DOE=90°；（3）解：由（2）的条件和结论可得：∵∠AOD＋∠COE=90°，∠AOD＋∠EOB=90°，∠DOC＋∠COE=90°，∠DOC＋∠EOB=90°，∴互余的角为：∠AOD和∠COE，∠AOD和∠EOB，∠DOC和∠COE，∠DOC和∠EOB；∵∠AOD＋∠DOB=180°，∠DOC＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠BOC=180°，∠BOE＋∠AOE=180°，∠COE＋∠AOE=180°，∴互补的角为：∠AOD和∠DOB，∠DOC和∠DOB，∠AOC和∠BOC，∠BOE和∠AOE，∠COE和∠AOE；【点睛】此题考查了一元一次方程方程的应用，角平分线的定义（平分所在的角）；等角的余角（补角）；余角的定义：若两角和为90°则这两个角互余；补角的定义：若两角和为180°则这两个角互补；掌握定义结合图形是解题的关键．3．已知直线与相交于点O．（Ⅰ）如图1，若，平分，则_________．（Ⅱ）如图2，若，，平分，求的大小；（Ⅲ）如图3，若，，平分，求的大小（用含的式子表示）．【答案】（Ⅰ）135°；（Ⅱ）54°；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；（Ⅱ）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可；（Ⅲ）与（2）的解法相同．【详解】解（Ⅰ），平分，，，，即的度数为；（Ⅱ）设，，，平分，，，，，即的度数为；（Ⅲ）设，，，平分，，，，．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）（3）难点在于根据∠BOM列出方程．4．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数；(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数；（2）由角平分线得出，，继而由得出结论．（3），结合已知和可求，再由，根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答．【详解】（1）解：，，，是的平分线，，；答：的度数为．（2）解：是的平分线．，是的平分线，，，，，答：的度数为．（3）解：由（2）得；，，又，，，，，，，当，，，当，，，故的度数为：或．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．5．如图①，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．

(1)若，求和的度数；(2)试猜想与的数量关系，并说明理由；(3)如图②，是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合叠放在一起，，若平分，试判断是否平分，并说明理由；并直接写出与的数量关系．【答案】(1)，(2)，理由见详解(3)平分，理由见详解；【分析】（1）可得，由即可求解；（2）可得，，从而可得，即可求解；（3）可求，由可得，即可求解；可得，，由，即可求解．【详解】（1）解：由题意得，；（2）解：，理由如下：因为，所以，因为，所以，所以，所以；（3）解：平分，理由如下：因为是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合叠放在一起，所以，因为平分，所以，所以，所以，所以平分；，理由：因为，所以，因为，所以，所以．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算，理解定义，正确表示出角的和差是解题的关键．6．已知：平分，和互为补角．

(1)如图，求的度数；(2)如图，平分，求证：；(3)如图，在（）的条件下，连接，，，求的度数．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)．【分析】（1）由平分得到，再根据和互为补角即可得到的度数；（2）由平分得到，再根据和互为补角得到，从而得到，最后根据即可完成证明；（3）在()的条件下可得到，，由得到，最后由和可求得的度数．【详解】（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，即，∴；（2）∵平分，∴.，∵，∴，∴，由()知：，即，∴，∴，∴；（3）在(2)的条件下，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了求角的度数和证明角相等的问题，掌握角平分线的性质和互为补角的关系是解题的关键．7．如图1，是直线上的一点，，平分．

(1)若，求的度数；(2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．①探究和的度数之间的关系，并说明理由；②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)①，理由见解析；②【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案（2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可．【详解】（1）解：，，，，，平分，；（2）解：①，理由如下：根据题意可得：，，，平分，，，；②画出图如图所示：

，则，，，整理得：，，，，，，．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键．8．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”．(1)如图1，，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由；(2)若平分，且为的“分余线”，则______；(3)如图2，，在的内部作射线，，，使为的平分线，为的“分余线”．当为的“分余线”时，请直接写出的度数．【答案】(1)是，理由见解析(2)(3)或或100°【分析】（1）利用求出的度数，进而得到，即可得证；（2）根据角平分线平分角，以及“分余线”的定义，列式求解即可；（3）如图，分和，两种情况，每种情况再分和两种情况，进行讨论求解．【详解】（1）解：是；理由如下：∵，，∴，∴，∴是的“分余线”；（2）解：∵平分，∴，∵为的“分余线”，∴，∴；故答案为：；（3）解：∵为的平分线，∴；由图可知：，∵为的“分余线”，①当时，即：，当为的“分余线”时，、当时，即：，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；、当时，即：，∴，∴，即：，∴；②当时，即：，∴当为的“分余线”时，、当时，即：，∴，∵，∴，∴，∴，∴；、当时，即：，∴，∴，∵，∴，即：，∴，此时：，故这种情况不存在；综上：当为的“分余线”时，或或100°．【点睛】本题考查角的和差计算．理解并掌握“分余线”的定义，是解题的关键．注意分类讨论．9．点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，作的平分线．(1)求与的度数；(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线当时，求旋转的时间．【答案】(1)，(2)或(3)8秒或秒【分析】（1）根据，，即可得出的度数，根据角平分线的定义得出，然后根据得出的度数；（2）根据题意得出的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线在内部时；②当射线在外部时；分别进行计算即可；（3）根据平分得出，根据题意画出图形，计算的角度，然后计算时间即可．【详解】（1）解：由题意可知，，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，①当射线在内部时，如图2（1），；②当射线在外部时，如图2（2），，综上所述，的度数为或；（3）∵平分，∴，①如图3，，∵平分，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；②如图3（1），此时，，∵平分，∴，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；综上所述，旋转的时间为8秒或秒．【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线旋转的过程中，和的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图．10．如图，过点在内部作射线．，分别平分和，与互补，．(1)如图1，若，则______°，______°，______°；(2)如图2，若平分．①当时，求度数；②试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)，，(2)①，②是定值，【分析】（1）根据互补的定义可得，然后求得，再根据角平分线的定义可得和,再根据角的和差可得；（2）①由互补的定义可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，然后根据得到关于a的方程求解即可；②由①可得，然后分别表示出和，最后做商即可解答．【详解】（1）解：∵,∴∴∵，分别平分和∴,∴故答案为，，．（2）解：①∵，与互补，∴又∵平分，平分，平分，∴∴，解得：∴.②由①得：∴，∴．【点睛】本题主要考查了补角的定义、角平分线的应用、角的和差等知识点，灵活运用角平分线的定义是解答本题的关键．11．如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．(1)若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度数；(2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为（直接写出答案）．【答案】(1)60°，120°(2)∠DOM+∠AON+∠BOC=180°(3)或或【分析】(1)设∠AOD＝2∠BOC=2x，根据∠AOD+∠BOC=180°，列方程求解即可．(2)画出图形，根据∠AOD＝2∠BOC，则∠COD+∠BOA=∠BOC，根据互余性质，列方程求解即可．(3)画出图形，分OB、OC都没有转过OE线，OB、OC都转过OE线和OB转过一周后三种情况求解．【详解】（1）设∠AOD＝2∠BOC=2x，∵∠AOD+∠BOC=180°，∴2x+x=180，解得x=60°，2x=120°，故∠AOD=120°，∠BOC=60°．（2）画图如下：作OM⊥OC，垂足为O，ON⊥OB，垂足为O，∴∠DOM=90°-∠COD，∠AON=90°-∠BOA，∵∠AOD＝2∠BOC，∴∠COD+∠BOA=∠BOC，∴90°-∠DOM+90°-∠AON=∠BOC，∴∠DOM+∠AON+∠BOC=180°．（3）如图1，当OB、OC都没有转过OE线时，∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，根据题意，得∠AOB＝6t，∠COD＝5t，∠AOE＝60°，∠DOE＝60°，∴∠BOE=60°-6t＜∠COE=60°-5t，∴∠BOE=60°-6t，∠BOC=120°-6t-5t=120°-11t，∵OE恰好是∠BOC的四等分线，∴∠BOC=4∠BOE，∴120°-11t=4(60°-6t)，解得；如图2，当OB、OC都转过OE线时，∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，根据题意，得∠AOB＝6t，∠COD＝5t，∠AOE＝60°，∠DOE＝60°，∴∠COE=5t-60°＜∠BOE=6t-60°，∴∠BOC=120°-(120°-6t)-(120°-5t)=11t-120°，∵OE恰好是∠BOC的四等分线，∴∠BOC=4∠COE，∴11t-120°=4(5t-60°)，解得；如图3，当OB转过一周后，此时，∠COE=360°-5t+60°=420°-5t，∠BOE=60°-(6t-360°)=420°-6t，∴∠BOC=∠COE+∠BOE=840°-11t，∴840°-11t=4(420°-6t)，解得；综上所述，当或或时，符合题意．【点睛】本题考查了角的计算，互余的作图，分类计算，角的平分线，熟练掌握互余的作图，解一元一次方程是解题的关键．12．阅读下面材料小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补．小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD．如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD．因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补．(1)根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由；(2)参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）；(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是．【答案】(1)理由见解析(2)见解析(3)45°或|β﹣45°|【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BOC＝∠COD，根据等角的补角相等即可求得答案；（2）先通过分析明确射线在的外部，作（或）的垂线，再利用量角器画出（或）的平分线即可得；【详解】（1）如图3中，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD，∵∠AOC+∠COD＝180°，∴∠AOC+∠BOC＝180°，即∠AOC与∠BOC互补；（2）与互余，，，射线在的外部，先作（或）的垂线，再利用量角器画出（或）的平分线，如图所示：或（3）如图，∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF，∵∠EPQ和∠FPQ互余，∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，即∠EPF＝90°，∴∠MPN＝45°；如图：∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|∠EPQ﹣∠FPQ|，∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β，∴∠FPQ＝90°﹣β，∴∠MPN＝|β﹣∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|，故答案为：45°或|β﹣45°|．【点睛】本题考查了画垂线和角平分线、与角平分线有关的计算，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．13．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线AB的同一侧作射线，，使．（1）如图①，若平分，求的度数；（2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置时，使得所在射线把分成两个角．①若，求的度数；②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）依据角平分线的定义可求得，再依据角的和差依次可求得和，根据邻补角的性质可求得结论；（2）①根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根据比例关系可得，最后依据角的和差和邻补角的性质可求得结论；②根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根据比例关系可得，最后依据角的和差和邻补角的性质可求得结论．【详解】解：（1）∵平分，，∴，∴，∴，∴；（2）①∵，∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，∴∠EOC=∠BOD，∵，，∴，∴，∴，∴；②∵，∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，∴∠EOC=∠BOD，∵，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查邻补角的计算，角的和差，角平分线的有关计算．能正确识图，利用角的和差求得相应角的度数是解题关键．14．已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，．（1）如图1，，当平分时，求的度数．（2）如图2，若，且，求（用表示）．（3）若，点在射线上，若射线绕点顺时针旋转（），，平分，当时，求的值．【答案】（1）50°；（2）；（3）168或72．【分析】（1）利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠BOC和∠EOC，再利用角的和差即可求得∠BOE；（2）先根据已知数量关系求得∠DOE，再利用角的和差即可得出结论；（3）设，分①若在的内部，②当在射线的两侧时两种情况，利用角的和差列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵，平分，∴，，又，∴，∴；（2）∵，，∴，，，∴，∴；（3）①如图，若在的内部设

则依题意有：，∵，，∴，又∵平分，∴，又，∴，∴；②当在射线的两侧时如图设，则依题意有，∵，，∴，又平分，∴，又，∴，∴，∴综上所述顺时针旋转的角度为168或72．【点睛】本题考查邻补角的有关计算，角平分线的有关计算，角的和差，一元一次方程的应用．（3）中能分类讨论画出图形，结合图形利用角的和差列出方程是解题关键．15．如图（1）所示，线段与线段重合，点是它们的中点，保持不动，将绕点顺时针旋转）；射线从与射线重合开始，绕点逆时针旋转（至多旋转到与射线重合为止）．在此基础上，我们给出如下定义：比较与的大小，若，则将其中较小角的度数定义为对的“迷你角度”；若，则将或的度数定义为对的“迷你角度”．

(1)当时，①如图（2）所示，若，求对的“迷你角度”是多少度；②若对的“迷你角度”为，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出的值是多少．(2)若时，对的“迷你角度”是，请直接写出的值，不用说明理由．【答案】(1)①②；(2)或【分析】（1）①根据“迷你角度”的定义计算即可；②分为当是对的“迷你角度”时和当是对的“迷你角度”时，分别画图计算即可；（2）分为当是对的“迷你角度”和当是对的“迷你角度”，当时，分别计算即可；【详解】（1），①如图（2）所示，若，则，对的“迷你角度”是；②若对的“迷你角度”为，则或，当是对的“迷你角度”时，如图，，；

当是对的“迷你角度”时，如图，，；

综上，或；（2）设则对的“迷你角度”是，①当是对的“迷你角度”，在之间时，如图，，，，则，，符合要求；

当是对的“迷你角度”，在之间时，如图，，，，则，，不符合要求；

②当是对的“迷你角度”，在之间时，如图，，，；则，，故符合题意；

当是对的“迷你角度”，在之间时，如图，，；则，，故不符合题意；

③当时，对的“迷你角度”是，此时，不符合题意；综上，或．【点睛】该题主要考查了角度计算的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是进行分类讨论解题思想解答．二、与三角板旋转有关的压轴题（15题）16．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：

①在图1的情况下，在内作，则平分；②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；④的角度恒为．其中正确的结论个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．【详解】①如图可得，所以平分，①正确；②当时，设，∵平分，∴，∴，，∴，当时，设，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，故②正确；③时，时，时故③正确；④当时，当时，故④错误；综上所述，正确的结论为①②③；故选：C．【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．17．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中．(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为度；(2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．【答案】(1)(2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析(3)或或或【分析】（1）先根据平分得到，即可求出；（2）根据题意可得，作差即可求解；（3）先求出旋转前的夹角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况讨论解答即可．【详解】（1）解：平分，，三角板旋转的角∶，故答案为：．（2）当在外部时，，理由如下∶，，，当在内部时，，理由如下∶，；（3）射线平分，射线平分，，旋转前，旋转前与的夹角为：，与第一次相遇的时间为：秒，此时旋转的角度为：此时OC与的夹角为：与OD第二次相遇的时间为：(秒)，设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为，①，解得∶，②，解得∶，③，解得∶，，④，解得∶，．在OC与OD第二次相遇前，当时，旋转时间为或或或．【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念才能在求解角度时需要合理运用“等量代换”；求解角的旋转时会出现多种情况运用“分类讨论思想”．本题难点在于旋转后的多种情况的分析，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键．18．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上(1)当秒时，平分；(2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为；②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由．(3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中与的关系．【答案】(1)(2)①，②(3)【分析】（1）根据，平分，可得，结合运动特点可得：，解方程即可求解；（2）①分别表示出，，即有，问题得解；②分别表示出，，即有，问题得解；（3）分类讨论，第一种情况：、同时在直线的异侧，根据运动的特点：，，根据，，可得，即有；第二种情况：、同时在直线的右侧，同理可求出，问题得解．【详解】（1）解：∵，∴当平分时，，∴∴（秒）．故答案为：．（2）解：①，理由如下：∵，，∴，∴，∴；故答案为：；②，理由如下：∵，，∴，∴，∴．（3）解：，理由如下：分类讨论，第一种情况：、同时在直线的异侧，如图，根据运动的特点：，，∴，，∴，∴；第二种情况：、同时在直线的右侧，如图，根据运动的特点：，，∴，，∴，∴；综上可知：．【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．19．如图，一副三角板的边在直线上，直角顶点C、M分别在直线的上方和下方，．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，则；(2)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转到图2的位置，使在的内部，求的度数；(3)将图1中的三角板同时绕点O按逆时针方向旋转，速度分别为每秒和每秒，当三角板第一次旋转到起始位置时，一副三角板都停止运动．设运动时间为t秒，当直线恰好平分时，求t的值．【答案】(1)30(2)(3)或【分析】（1）由，再根据旋转角的定义即可得到结论；（2）由，易得，代入即可求的度数；（3）先根据已知条件设的旋转角度为，的旋转角度为，再根据直线恰好平分，分三种情况列出方程即可得到结论．【详解】（1）解：如图，图1中的三角板绕点O逆时针旋转，，，，故答案为：30；（2）解：，；（3）解：设的旋转角度为，的旋转角度为，如图1，此时：，解得：；如图2，此时：，解得；但当时，，不符合实际；如图3，此时：，解得，综上，或．【点睛】本题考查角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键．20．点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在O处，射线平分．(1)如图（1），若，则______；(2)将图（1）中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图（2）的位置，一边在直线上方，另一边在直线下方．①试探究的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由；②当时，求的度数．【答案】(1)(2)①②【分析】（1）由补角的定义可求，再由角平分线定义可求，由即可求解；（2）①由余角的定义可求，再由补角的定义可求，即可求解；②设，由角平分线的定义可得，由补角的定义及余角的定义可求，即可求解．【详解】（1）解：，，射线平分，，，，故答案：；（2）解：①是定值，，理由如下：，，，，；②设，射线平分，，，，，，，解得：，．【点睛】本题考查了角平分线相关角的数量关系，角平分线的定义，补角的定义，余角的定义，一元一次方程，理解定义，能用方程思想求角度是解题的关键．21．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．(1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，则________；（答案写在右边一栏答题区域）(2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数和的度数；(3)将三角板绕点逆时针旋转过程中，当时，直接写出的度数．【答案】(1)25(2)(3)或【分析】本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的．（1）根据和的度数可以得到的度数．（2）根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数，从而可得的度数．（3）分两种情况，在左边或右边，分情况讨论即可．【详解】（1）解：∵，∴．故答案为：25；（2）∵是的角平分线，即；（3）当在左边时，当在右边时，，，∴的度数为或．22．一副三角板如图1放置，点A，O，B在直线上，其中，，(1)如图2，平分，平分，求的度数；(2)如图3，若三角板绕点O逆时针旋转，平分，平分，求；(3)若三角板绕点O逆时针旋转（），（2）中其它条件不变，请求出的度数．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．（1）利用角平分线定义求得，，进一步计算即可求解；（2）同（1）利用角平分线定义求得，，进一步计算即可求解；（3）分、和以及四种情况讨论，画出图形，利用角平分线定义和角的计算即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，，∵平分，平分，∴，，∴；

；（2）解：如图，，，∵平分，平分，∴，，∴；

；（3）解：分类讨论，当时，如图，

同理，；当时，如图，

；当时，如图，

，当时，如图，

，综上，．23．已知是直线上的一点，射线在直线的上方，，将一个直角三角板的直角顶点放在处，且直角三角板在直线的上方．

(1)如图，若直角三角板的边在的内部，请直接写出与之间的数量关系；(2)若恰好平分，求和的度数；(3)将图中的三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，是否存在值，使？若存在，请求出的值，并求出此时的度数．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）根据角的和差求解；（2）根据角的平分线的意义及角度和差求解；（3）分类讨论，根据角的和差列方程求解．【详解】（1），，；（2），，平分，，由得：，；（3）情况一：

，，，，，，；情况二：，，，

，，由得：，，，解得，．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角的和差倍分运算，掌握角的和差和分类讨论思想是解题的关键．24．小明利用三角尺进行数学探究活动：

如图，为直线上一点，将一三角尺的直角顶点放在点处，平分．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，若平分，求的度数；(3)当时，绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数；（2）由角平分线的定义可得，进而可求解；（3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解．【详解】（1）解：，．，．平分，．．（2）解：平分，平分，，．．，．（3）解：①当时，如图①所示．

由题意得，．平分，．．．②当时，如图②所示．

由题意得，．平分，．．．【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．25．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．

(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，求此时的度数；(2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由；(3)若在三角板开始转动的同时，射线也绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线平分．直接写出的值．（本题中的角均为大于且小于的角）【答案】(1)(2)存在，或4或16(3)或或【分析】（1）先根据补角定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据余角定义即可求出的度数；（2）分三种情况讨论，①当平分时，②当平分时，③当平分时，可分别求出t的值；（3）设运动时间为t，分三种情况分别画出图形进行讨论，利用角平分线的定义列方程即可求出t的值．【详解】（1）解：∵，∴，又∵平分，∴，∵，∴；（2）存在，当平分时，，

即，解得：；当平分时，，

即，解得：；当平分时，，

即，解得：；综上所述：或4或16；（3）∵平分，∴，①设运动时间为t，如图，，，

∴时，解得：，②如图，，，

∴，解得：，③当回到起始位置后，

∵平分，∴，，∴，所以t的值为或或．【点睛】本题考查了补角，余角及角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的动态定义的理解，掌握分类讨论思想是关键．26．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．

(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了秒；(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．①试用字母t分别表示与；②在旋转的过程中，当t为何值时平分．【答案】(1)9(2)；成立，证明见解析(3)①，；②【分析】（1）根据即可解决问题；（2）①结论：；由，，可得；②如图3中，结论仍然成立．证明方法类似；（3）①，；②由平分，可得，由此列出方程，即可解决问题；【详解】（1）解：如图1中，

∵，∴．故答案为9．（2）①结论：；理由：如图2中，

∵，，∴；②如图3中，结论仍然成立．

理由：∵，，∴．（3）①，；②∵平分，∴，∴，解得：，∴当t为时，平分．【点睛】本题考查三角形综合题、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型．27．如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺（分别含和的角）按图中方式放在点O处，使．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转后停止设运动时间为t秒．(1)当时，__________；(2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．①在线段与第一次相遇前，t为何值时，平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使．若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①②存在，或【分析】（1）如图1，记旋转后的位置为，先计算旋转前的的值，求解时的旋转的角度，然后根据计算求解即可；（2）①如图2，记旋转后的位置分别为，在线段与第一次相遇前，平分，则有，，即，计算求解即可；②由题意知，，，当，分三种情况求解：情况一：如图，当在左侧，在左侧；情况二：如图，当在右侧，在左侧；情况三：如图，当在右侧，在右侧；分别表示出，，然后令，计算求解满足要求的值即可；【详解】（1）解：如图1，记旋转后的位置为，由题意知，，∵，∴，当时，此时，∴，故答案为：；（2）解：①如图2，记旋转后的位置分别为，∵线段与第一次相遇前，平分，∴，∴，即，解得，∴在线段与第一次相遇前，时，平分；②解：存在，或；由题意知，，，当，分三种情况求解：情况一：如图，当在左侧，在左侧时，，；令，即，解得；情况二：如图，当在右侧，在左侧时，，；令，即，解得；情况三：如图，当在右侧，在右侧时，，；令，即，解得（不合题意，舍去）；综上所述，存在，当或时，使．【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线，三角板中的角度计算等知识，解题的关键在于准确表示出旋转后的角．28．现有一副三角尺，将和重合于点放置，且，，．将三角尺绕点逆时针旋转一周（旋转过程中和均是指小于的角），分别作出、的平分线、(1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点在上，直接写出图1中______度；(2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点在的延长线上，直接写出图2中______度(3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若，①______．（用含的代数式表示）②请求出的度数．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根据三角板得到，，根据角平分线的定义求出，，相加可得结果；（2）求出、，利用角平分线的定义得到，，最后根据得出结果；（3）①求出，根据角平分线的定义可得结果；②求出，根据角平分线的定义求出，再加上和即可得解．【详解】（1）解：如图所示：，，∵、分别平分、，∴，，∴；（2）∵，，∴，∴，，∵、分别平分、，∴，，∴；（3）①∵，，∴，∵平分，∴；②∵，，∴，∵平分，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角板中的角度运算，角的和差，解题的关键是仔细分析，得出每个小问中的的构成．29．以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；(2)将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，①若恰好平分，求此时的度数；②若，求此时的度数；(3)直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．【答案】(1)40°；(2)①，②；(3)【分析】（1）根据两个角互为余角，求出的度数；（2）①根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出；②如图，先求出，，然后代入计算即可．（3）根据题意，分成两种情况进行分析：当在内部时；当在外部时，分别求出答案即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案为：40°；（2）解：①∵，∴，∵恰好平分，∴，∴；②如图，当在的内部时，∵，，∴．∵，，∴．∵，∴，∴；（3）解：当在内部时，如图所示，∵，，∴．当在外部时，如图所示，∵，，∴；综合上述，则；【点睛】本题考查了作图——复杂作图、余角和补角，几何图形中的角度计算，角平分线的定义等知识的综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键．．30．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线、的垂足O处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点O顺时针旋转．(1)如图2，若，则______，______；(2)若射线是的角平分线，且．①旋转到图3的位置，______．（用含的代数式表示）②在旋转过程中，若，则此时______．【答案】(1)；(2)①；②或【分析】（1）根据，以及角的和差计算即可；（2）①先求，再利用得出结论；②分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，解答即可．【详解】（1）解：，∴，∵，∴，∵，∴；∵，，∴；故答案为：；．（2）解：①∵，，∴，∵射线是的角平分线，∴，∴，∵，∴；故答案为：；②当旋转到左侧时，如图所示：∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；当旋转到右侧时，如图所示：设，∵，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；综上分析可知，的值为：或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合，分情况讨论是解题的关键．三、平行线的性质与判定（30题）31．如图，，，点是射线上一点，连接，将沿着翻折得，点的对应点为点，若，那么．

【答案】或/或【分析】分在上方和在下方，两种情况进行讨论，设，根据平行线的性质和翻折得出角的关系，列出方程即可得出答案．【详解】解：分两种情况：①如图，当在上方时，

设，将沿着翻折得，，，，，，，，，，解得：，；②如图，当在下方时，

设，将沿着翻折得，，，，，，，，，，解得：，，，综上所述，或，故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握平行线的性质及分类讨论的数学思想是解决问题的关键．32．已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止．此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为秒时，．

【答案】或或【分析】分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间．【详解】解：①当时，如图，则，∵，∴，即，解得，（）；

②当时，如图，则，∵，∴，即，解得，（）；

③当时，如图，则，

∵，∴，即，解得，（）；综上，当射线旋转的时间为秒或秒或秒时，．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．33．如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.

(1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（

）内填写依据.证明：过点P作直线，（已作），（______），又，（已知）______，（______），______.(2)如图2，若的平分线与的平分线交于点.①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由；②【结论运用】若，求的度数.(3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______.【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行；(2)①，理由见解析；②(3)【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案；（2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案；（3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论．【详解】（1）证明：过点作直线，（已作），（两直线平行，内错角相等）又，（已知），，（平行于同一直线的两直线平行），，；（2）解：①.理由：如图1，分别过点P，Q作，.的平分线与的平分线交于点，，..同（1）可证得，②，，.又，

（3）过点P、H作，∵，∴，∴，∴，即故答案为：

【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键．34．已知：直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，(1)连接，，平分，平分，且，所在直线交于点．①如图1，若，，则的度数为；②如图2，设，，则的度数为（用含有α，β的式子表示）．(2)如图3，平分，平分，，则和的数量关系是．(3)如图4，若，，且平分，平分，猜想的结果并且证明你的结论；【答案】(1)①；②(2)(3)，证明见解析【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义及等式的性质，添加辅助线是解题的关键．（1）①如图1所示，过点作，根据，，由平行线性质及角平分线定义即可求出的度数；②如图2所示，过点作，，，由平行线性质及角平分线定义即可求出的度数．（2）根据（1）的结论，再利用角平分线的定义求解；（3）根据（1）的结论，再利用等式的性质求解求解．【详解】（1）解：①过点作，如图1所示：

，，∴，，，即，平分，平分，，，，，；故答案为：；②过点作，如图2所示：

，，，∴，，，即，平分，平分，，，，，．故答案为：；（2）解：∵平分，平分，∴，∵，∴，由（1）中的结论得：，∴，故答案为：；（3）解：∵平分，平分，∴，，由（1）的结论得：①，②，得：．35．已知：如图，，直线分别交于点G，H，点P为直线上的点，连接．

(1)如图1，点P在线段上时，请你直接写出，，的数量关系；(2)如图2，点P在的延长线上时，连接交于点Q，连接，若，求证：；(3)在（2）的条件下，如图3，平分，平分，与交点K，连接，若，，，求的大小．【答案】(1)(2)见详解(3)【分析】（1）过P作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；（2）过点Q作，证出，根据平行线的传递性即可证明；（3）根据三角形内角和即可算出，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出，结合（2）即可解出，过K作，证出根据平行线性质得出即可得，即可求解；【详解】（1）过P作，

，，，，；（2）过点Q作，

，，，；（3）平分，平分，，，，，由（2）知，即，，过K作，

∵，，，即，，，【点睛】本题考查平行线的性质“两直线平行内错角相等”、角平分线的定义、平行线的传递性“两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”等，解题的关键是会添加常用辅助线(即过“拐点”作平行线，一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线)，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题．36．如图，，点，，，不在同一条直线上．(1)如图，求证：(2)如图，直线，交于点，且，．①试探究与的数量关系；②如图，延长交射线于点，若，，则的度数为用含的式子表示．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】（1）过E作，根据平行线的性质即可得到结论；（2）①设，由（1）知，，过P作，根据平行线的性质即可得到结论；②过P作，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：如图1，过E作，，，，，∴，即；（2）解：∵，，∴设，由（1）知，，如图2，过P作，，，，，，即；②如图3，过P作，，，，，由①知，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．37．如图1，，为、之间一点．(1)若平分，平分．求证：；(2)如图2，若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并且证明你的结论；(3)如图3，若点是射线之间一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)，见解析【分析】（1）根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可求解，进而证明结论；（2）分别过，作，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义结合，，可求解；（3）根据垂线的定义可求得，再根据角平分线的定义可求解．【详解】（1），，平分，平分，，，，即；（2）分别过，作，，，，，，，，，，同理：，，平分，平分，，，，，，，；（3）．证明：，，，，平分，平分，，，，．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．38．已知．

知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：．知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：；（3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系．知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么______；只要直接填上正确结论即可（5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么______用含的式子表示【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）【分析】过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答；利用的结论可得得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后进行计算即可解答；根据角平分线的定义可得，，再利用的结论，从而进行计算可得，再利用的结论可得，然后进行计算即可解答；过点作，过点作，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用角平分线的定义可得，，从而利用的结论可得，进行计算即可解答；过点作，过点作，过点作，利用的解题思路进行计算即可解答．【详解】解：过点作，

，，，，，；由得：，，、分别平分、，，，，即；，理由：、分别平分、，，，，由得：，，即；过点作，过点作，

，，，，，，，，，，，，、分别平分、，，，，故答案为：；过点作，过点作，过点作，

，，，，，，，，、分别平分、，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．39．如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为交于点，且，．(1)判断是否平分，并说明理由．(2)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作交于，①当点在线段上时，若，求的度数；②当点在运动过程中，设和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．【答案】(1)平分，理由见解析(2)①，②或【分析】（1）根据平行线的性质得出，等量代换得到，即可解答；（2）①易得，设，则，推出，，最后根据，即可求解；②用和①一样的方法，进行分类讨论：当点在线段上时；当点在延长线上时；即可解答．【详解】（1）解：平分，理由如下：∵，∴，∵，∴，即平分；（2）解：①∵，，∴，设，∵平分，∴，∵，，由（1）可得：，∴；∵，∴；②情况一：当点在线段上时，∵，，∴，设，∵平分，∴，∵，，由（1）可得：，∴；∵，，∴，即；情况二：当点在延长线上时，∵，，∴，设，∵平分，∴，∵，，由（1）可得：，∴；∵，，∴，即．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角行动，同旁内角互补；以及根据图形，得出角度之间的数量关系．40．【问题解决】如图①，，点是，内部一点，连接，．若，，求的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点作（________________），（已知）（________________）（________）（________________________）又（________________）（________________），（已知）（等量代换）【问题迁移】请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：

如图③，，射线与直线，分别交于点，，射线与直线，分别交于点，，点在射线上运动，连接，，设，．（1）如图③，当点在，两点之间运动时（点不与点，重合），写出，和之间满足的数量关系，并说明理由；（2）当点在，两点外侧运动时（点不与点，重合），请画出图形，并直接写出，和之间满足的数量关系；【答案】问题解决：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；；两直线平行，内错角相等；角的和与差；等量代换；问题迁移：（1），理由见解析；（2）或【分析】问题解决：根据过程填写依据即可；问题迁移：（1）过点作，可证，，由即可求解；（2）①当在上时，过点作，同理可证：，，由，即可求解；②当在上时，过点作，同理可证：，，由，即可求解．【详解】问题解决：解：过点作（两直线平行，内错角相等）（已知）（平行于同一条直线的两直线平行）（两直线平行，内错角相等）又（角的和与差）（等量代换），（已知）（等量代换）问题迁移：（1）解：理由：过点作

（两直线平行，内错角相等）（已知）（平行于同一直线的两直线平行）（两直线平行，内错角相等）又（角的和与差）（等量代换），（已知）（等量代换）（2）如图所示解：①如图，当在上时，，

理由：过点作，由（1）同理可证：，，，，，，；②如图，当在上时，，

理由：过点作，由（1）同理可证：，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质综合运用，角的和差等，掌握判定方法及性质，并能作出恰当的辅助线是解题的关键．41．如图1，，点、分别在、上，点在直线、之间，且．(1)求的值；(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如图1，过点作，利用两直线平行，同旁内角互补的性质分别求得，，再根据，即可求出的值；（2）如图2，过点作，过点作，利用两直线平行，内错角相等的性质，得到，再根据角平分线的性质，得到，，进而可求出的值；（3）如图3，设直线交于点，与相交于点，由得到，根据三角形外角与内角关系得到，进而得到，再由三角形外角与内角关系求得，即可得到与的关系，即，再由题意可求得，，然后由，化简可得方程，求解即可．【详解】（1）解：如图1，过点作，，，，，，，，，．

（2）解：如图2，过点作，过点作，，，，，，，平分，平分，，，又由（1）得，

．

（3）解：如图3，设直线交于点，与相交于点，，，，，，，即，，在内，，，，，，，即，，解得．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键．42．如图，直线，直线与直线，分别交于点，，点在射线上运动（点不与点，重合），是直线上的一个定点，连接，过点作直线，在直线上取一点，使得．

(1)若直线，则的度数是______；(2)若直线l与a相交于点D，完成以下问题：①当时，猜想与之间有怎样的数量关系，并写出证明过程；②当时，判断①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出它们之间的数量关系．【答案】(1)(2)①，证明见解析；②不成立，【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而利用等腰直角三角形的性质解答；（2）①过作，根据两直线平行，内错角相等和三角形内角和定理解答即可；②过作，根据两直线平行，内错角相等和三角形内角和定理解答即可．【详解】（1）解：直线，

，直线，，，，，，故答案为：；（2）解：①，理由如下：过作，

直线，，，，，，，，，，，，，即；②，理由如下：过作，

直线，，，，，，，，，，即．【点睛】本题是几何综合题，此题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．43．综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，直线直线，直线分别交直线、直线于点H、G，求证：．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答．“如图2，点N在射线上，点M在射线上，点Q在射线上，点P在射线上，连结，且，探究直线与直线之间的位置关系并说明理由；”问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，连接，使平分，，若给出与一定的数量关系，则图3中所有已经用字母标记的角中，有些角是可以求出来的，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，若，求∠PMH的度数并说明理由．”

【答案】（1）见解析（2）见解析（3），理由见解析【分析】（1）根据等角代换即可证明；（2）延长，交于点K，由题意得，又，可得，又，结合三角形外角的性质可得，即可求解；（3）分别作，，再由平行公理的推论得，又由结合平分求得，再由已知，借助方程的思想，再通过角之间的转换，由即可求解．【详解】解：（1）如图1，

∵，∴．又∵，∴．（2）如图2，

延长，交于点K，∵，∴．又，∴．又∵，，又，∴．∴．∴．（3）解：如图3，

过M作，过K作，∵，∴．∵平分，∴．∵，∴可设．又，∴．∴平分．∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴．即．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定和平行公理的推论，需要熟练掌握角之间的转化是关键．44．如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________【答案】(1)；(2)(3)（或）【分析】（1）作，可得，再利用角平分线求出结果；（2）设，求出，再利用角平分线及平行的性质求得，最后根据即可求解；（3）过点作，由角平分线求得、，最后利用整理式子即可得到答案．【详解】（1）解：如图，作，，，，，，平分，，平分，，；

（2）如图，设交于点M，平分，设，则，由（1）得，，，平分，，，，，在中，；

（3）如图，过点作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，．

【点睛】本题考查平行线的性质，平行线的拐角问题，角平分线的性质，掌握辅助线的作法是解决本题的关键．45．如图，直线，点E、F分别在上，点M为两平行线内部一点．

(1)如图1，探究的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若和的角平分线交于点N，且，直接利用（1）中的结论，求的度数；(3)如图3，点G为直线CD上一点，连接并延长交直线于点Q，在线段上取一点P，连接，使，在射线取一点H，连接，使，设，求的度数（用含的代数式表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）过点作，利用平行线的性质可得，，由，等量代换可得结论；（2）利用（1）中的结论以及角平分线的定义解答即可；（3）设，，则，，设交于．证明，求出即可解决问题．【详解】（1），理由如下：过点作，如图：

，，，，，，；（2）由（1）中的结论可得：，，，，，分别平分和，，，，，即；（3）设，，则，，设交于，如图：

，，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是作出适当的辅助线，学会利用参数解决问题．46．如图1，直线，直线分别交于点，，点在线段上（不在端点处），点在直线上，点在直线上，连接．

(1)如图1，点在线段上，若，则的度数为_________；(2)如图2，点在线段上，点为直线与之间区域的一点，点在线段上（不与端点重合），连．若，求的度数；(3)如图3，于点，点在射线上运动（不与重合），与的角平分线所在直线交于点与的角平分线所在直线交于点与的角平分线交于点，直接写出与的数量关系．【答案】(1)；(2)；(3)，证明见解析【分析】（1）设延长线交于点S，根据平行线的性质得出，再根据余角得出的度数即可；（2）过点K作，交于点W，设，，根据平行线的性质得出，根据四边形内角和为求出的值即可；（3）过点C作交于点O，根据角平分线的性质和平行线的性质得出角的关系即可．【详解】（1）解：设延长线交于点S，

∵，，∴，∵，∴是直角三角形，∴，故答案为：；（2）过点K作，交于点W，

∴，，设，，∴，，，∴，，∵，，∴，即，∴的度数为；（3）过点C作交于点O，

在四边形中，，∵与的角平分线所在直线交于点G，与的角平分线所在直线交于点F，与的角平分线交于点T，∴，，∵，∴，在四边形中，，∴，即，∴，即．【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和垂线的性质是解得关键．47．已知，点为平面内的一点，，垂足为．(1)问题呈现如图1，，则；(2)问题迁移如图2，点在的上方，请探究，之间的数量关系，并说明理由；(3)联想拓展如图3，在（2）的条件下，已知，，请求出的度数．

【答案】(1)150；(2)，理由见解析；(3)【分析】（1）过作,根据平行线的性质得到，,根据垂直的定义得到,于是得到结论；（2）过点作,根据平行线的性质和垂直的定义即可得到结论；（3）过点作,由（2）可知:,根据平行线的性质得到,根据角的和差倍分即可得到结论；【详解】（1）过作，

，，，，，，，，故答案为：150；（2），理由：过点作，

，，，，，．，，；（3）过点作，

由（2）可知：，，，，，，，，由（2）知，，．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，正确地作出辅助线是解题的关键48．已知：，EG平分．

(1)如图1，，，，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由；(2)如图2，，，当时，的度数为___________；(3)如图2，试写出、、之间满足什么关系时，，并说明理由．【答案】(1)，见解析(2)(3)，见解析【分析】（1）根据可得，根据角的和差关系和角平分线的性质可得，从而得证；（2）根据可得，根据平行线的性质以及角平分线的性质可得；（3）根据可得，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质即可得．【详解】（1）结论：，证明：∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴∵∴，∵平分，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案为：（3）结论：证明：∵∴∴∴∵平分，即，∴∵∴∴∴∴．【点睛】本题考查了平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的性质、角的和差关系是解题的关键．49．已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中三边与两条平行线分别交于点、、、．(1)【特例探究】如图1，．①______度；②若与的角平分线相交于点，则______度；(2)【一般探索】如图2，，．①若，，求与的关系；②若，（且为整数），直接写出与的关系；(3)【拓展应用】如图3，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果）【答案】(1)①，②(2)①；②(3)【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可；②证明即可；（2）①利用平行线的性质证明和即可；②利用平行线的性质证明和即可；（3）利用（2）中的结论计算即可．【详解】（1）①过点作平行于，过点作平行于

∵，∴，，∴，，，，∴，，∵，∴，，∴，②∵与的角平分线相交于点，则______度；∴，，∴故答案为：①，②；（2）①过点作平行于，过点作平行于

∵，∴，，∴，，，，∴，，即，，∴，∵，，∴，∴，即；②同①可得，∵，，∴，∴，即；（3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，∴，∴由（2）得∴．【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键．50．如图1，已知直线，线段在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点，E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于的角）

(1)当线段运动到图2位置时，若与互余，求的度数；(2)在线段在直线a上运动过程中，请直接写出，和之间的数量关系；(3)当线段运动到如图3所示的位置时，的平分线交直线a于点F，G为直线a上点A左侧一点，且，求证：．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）在左边作，可证得，求解即可；（2）在左边作，根据（1）的思路可证得；（3）在左边作，利用（2）结论，再推理即可．【详解】（1）在左边作，则

，∵，∴，∴,∵，∴，∵与互余，∴（2）在左边作，则

，∵，∴，∴,∵，∴;（3）在左边作，则，，

，∵，∴，∴,∵，∴，∵，∴，∴，∵的平分线，∴，∵，∴．【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和，掌握平行线的性质定理是解题的关键．51．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．

解：过点作，所以，，又因为，所以．

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图1，已知，求的度数；(3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、．①如图2，已知，，请直接写出的度数；②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)；(2)(3)①；②，理由见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论；（2）过点作，根据两直线平行同旁内角互补得出，，即可得到最后结论；（3）①的度数为，过点作，根据平行线性质求得，，即可求得的度数；②，过点作，根据平行线性质得到，，即可退出最后结论．【详解】（1）解：过点作，，，又因为，所以；

（2）解：如图，过点作，

，，，，，，；（3）解：①的度数为；

理由：过点作，，，，，，，；②，

理由：过点作，，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理．52．如图，直线中的边与直线m相交于D、E两点，边与直线n交于F、G两点．

(1)将如图1位置摆放，如果，则______；(2)将如图2位置摆放，H为上一点，，请写出与之间的数量关系，并说明理由；(3)将如图3位置摆放，若，延长交直线n于点K，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)或【分析】（1）过点C作，由知，，则可得，，再由，求得，进而求得的度数；（2）过点C作，则，则，结合已知即可求得与之间的数量关系；（3）分点P在线段上或的延长线上两种情况考虑即可求得．【详解】（1）解：过点C作，如图，∵，∴，∴，，∵，∴，∴；

故答案为：；（2）解：，理由如下：过点C作，则，

∴，∵，∴，

∵，∴，（3）解：过点P作，则；①点P在线段上时，如图，

∴，，∴，∴；②点P在线段的延长线上时，如图，

∵，∴，∵，，∴，即，综上：或．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，角的和差关系，构造平行线是本题的关键，注意分类讨论．53．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．

(1)填空：______°；(2)若灯射线先转动45秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达