2023-2024学年七年级数学下册 专题02 角度计算的经典八大模型（解析版）

专题02角度计算的经典八大模型【题型1双垂直模型】双垂直模型【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠BHD+∠HBD＝90°，∵BE是△ABC的高，∴∠HBD+∠C＝90°，∴∠BHD＝∠C，∵∠C＝50°，∴∠BHD＝50°．【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（）A．90° B．120° C．150° D．160°【答案】B【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，又∵CD⊥AB，∴∠BDP＝90°，∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．故选：B．【变式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数．【答案】20°，110°．【解答】解：∵BE是AC上的高，∴∠AEB＝90°，∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∴∠ABE＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵CF是AB上的高，∴∠AFC＝90°，∴∠ACF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵∠ABE＝20°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°，∵∠ACF＝20°，∠ACB＝60°，∴∠BCH＝40°，∴∠BHC＝180°﹣40°﹣30°＝110°．【题型2A字模型】A字模型图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A【典例2】探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝270°．（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝220°．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是180°+∠A．（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案为：270°；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；故答案为：180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【变式2-1】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【答案】C【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．【变式2-2】如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2＝235°，则∠A＝55度．【答案】55．【解答】解：∵1+∠2＝235°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣235°＝125°，故∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣125°＝55°．故答案是：55．【变式2-3】在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2＝230度．【答案】见试题解答内容【解答】解：由于∠1和∠2是三角形的外角，所以∠1＝∠4+50°，∠2＝∠3+50°，所以∠1+∠2＝∠4+50°+∠3+50°＝（∠4+50°+∠3）+50°＝180°+50°＝230°．【变式2-4】如图，四边形ABOC中，∠BAC与∠BOC的角平分线相交于点P，若∠B＝16°，∠C＝42°，则∠P＝13°．【答案】13．【解答】解：延长CO交AB于点D，OC与AP交于点E，根据三角形的外角的性质，∠BDC＝∠C+∠BAC＝42°+2∠BAP，∠BOC＝∠B+∠BDC＝58°+2∠BAP则∠COP＝29°+∠BAP，根据三角形的内角和定理，∠COP+∠P＝∠C+∠BAP，所以∠P＝∠C+∠BAP﹣∠COP＝13°，故答案为：13．：8字模型【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【典例3】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：6个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【变式3-1】（2023秋•石嘴山校级期中）如图1的图形我们把它称为“8字形”．（1）如图1，求证：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；（3）如图3，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，请直接写出∠P与∠B、∠D的数量关系是．【答案】（1）见解析；（2）26°；（3），【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴2∠P＝36°+16°＝52°，∴∠P＝26°．答：∠P的度数为26°．（3）解：，理由如下：∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即，【变式3-2】（2023春•汝阳县期末）如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；（2）直接写出∠D，∠C，∠P的数量关系；（3）若∠CAD与∠CBD的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．【答案】（1）∠P＝32°；（2）；（3）（2）的结论仍然成立，证明见解析过程．【解答】解：（1）∵∠AEC＝∠BEP，∠BFD＝∠AFP，∴180°﹣（∠C+∠CAE）＝180°﹣（∠P+∠PBE），180°﹣（∠D+∠DBF）＝180°﹣（∠P+∠PAF），∴，①+②，得∠C+∠CAE+∠D+∠DBF＝∠P+∠PBE+∠P+∠PAF，∵∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P，∴∠CAE＝∠PAF，∠DBF＝∠PBE，∴∠C+∠D＝2∠P，∴；（2），理由同（1）；（3）∵∠AEC＝∠BEP，∠BFD＝∠AFP，∴180°﹣（∠C+∠CAE）＝180°﹣（∠P+∠PBE），180°﹣（∠D+∠DBF）＝180°﹣（∠P+∠PAF），∴，①+②，得∠C+∠CAE+∠D+∠DBF＝∠P+∠PBE+∠P+∠PAF，∵∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P，∴∠CAE＝∠PAF，∠DBF＝∠PBE，∴∠C+∠D＝2∠P，此时∠C、∠D、∠P的关系与∠CAD与∠CBD的大小无关，∴，即（2）的结论仍然成立．【变式3-3】（2023秋•太平区期末）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．（1）如图1，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系；（3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关系．【答案】（1）详见解析；（2）2∠E＝∠A+∠C；（3）∠A+3∠C+4∠P＝180°．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图2，∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠CDE＝∠ADE，由（1）可得：∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，∴2∠E＝∠A+∠C．（3）由（1）得：∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，∴，又，，∠CDA＝180°﹣∠ADE，∴，设AD与PQ的交点为点O，则∠CBQ+∠BOD＝∠C+∠ADC，两式相减可得：，∴，∴，∵∠P＝180°﹣∠BOD﹣∠ADP，∴，即∠A+3∠C+4∠P＝180°．：飞镖模型图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【典例4】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝50°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案为：50；②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【变式4-1】一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠A＝90°，∠C＝21°，∴∠1＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°，∵∠B＝32°，∴∠BDC＝∠B+∠1＝32°+111°＝143°．又∵∠BDC＝148°，∴这个零件不合格．【变式4-2】附加题：如图，试说明：①∠BDC＞∠A；②∠BDC＝∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？【答案】见试题解答内容【解答】解：①延长BD交AC于E，则∠BDC＞∠DEC，而∠DEC＞∠A，所以∠BDC＞∠A；②由∠BDC＝∠C+∠DEC，而∠DEC＝∠A+∠B，所以∠BDC＝∠A+∠B+∠C．如果点D在线段BC的另一侧，如图所示：结论：①∠BDC与∠A无法比较大小；②∠BDC＝360°﹣（∠A+∠B+∠C），【变式4-3】如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（）A．20° B．15° C．30° D．25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝40°，∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故选：A．模型5风筝模型【典例5】（2023秋•兰山区校级月考）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠，折成如图的形状．（1）若∠1＝25°、∠2＝35°，求∠A的度数；（2）猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠AED+∠A′ED＝180°﹣∠1＝180°﹣25°＝155°，∠ADE+∠A′DE＝180°﹣∠2＝180°﹣35°＝145°，∴∠ADE+∠AED＝（155°+145°）÷2＝150°，∴∠A＝180°﹣150°＝30°；（2）猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A，∴∠1+∠2＝2∠A．【变式5-1】（2022秋•萍乡期末）如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β【答案】C【解答】解：如图，设AC交DA′于F．由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故选：C．【变式5-2】（2023秋•合江县期中）如图，在△ABC中，∠1＝120°，∠2＝50°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠C的度数是（）A．40° B．35° C．50° D．45°【答案】B【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠C＝∠2+2∠C，∴∠C＝（∠1﹣∠2）÷2＝（120°﹣50°）÷2＝35°．故选：B．【变式5-3】（2023•青岛模拟）如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°【答案】D【解答】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，∵B'D∥C'G，∴γ+β＝∠B+∠C＝α，∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y，∴x+2y＝180°①，∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②，②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故选：D．【变式5-4】（2022秋•邯山区校级期末）如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（）A．40° B．100° C．140° D．160°【答案】C【解答】解：连接AA′．∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，∵∠EAD＝∠EA′D，∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，∴∠EAD＝40°，∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，故选：C．模型6：双内角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.【结论】∠P=90°+∠A.【典例6】【问题】如图①，在△ABC中，∠A＝74°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形内角和180°）．∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．∵∠A＝74°（已知），∴∠ABC+∠ACB＝106°（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC＝∠ABC（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝∠ACB；∴（∠ABC+∠ACB）＝53°（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝127°（等式性质）．【拓展】如图②，在△ABC中，∠A＝β，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．则∠D＝（90°+）．【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E＝146°，则∠A＝44°．【答案】（1）180°﹣∠A；106°；∠ACB；53°；127°；（2）90°+；（3）44°．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．∵∠A＝74°（已知），∴∠ABC+∠ACB＝106°（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝∠ACB．∴＝53°（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝127°（等式性质）．故答案为：180°﹣∠A；106°；∠ACB；53°；127°；（2）∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．∵∠A＝β（已知），∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣β（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝∠ACB．∴＝90°﹣（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°+；故答案为：90°+；（3）∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB，∴∠CBD＝∠CBA，∠BCD＝∠BCA，∠CBE＝∠CBD，∠BCE＝∠BCD，∴∠CBA，∠BCE＝∠BCA，∵∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∠E＝146°，∴∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠E＝34°，∴∠CBE+∠BCE＝∠CBA+∠BCA＝34°，∴∠CBA+∠BCA＝136°，∵∠CBA+∠BCA+∠A＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠CBA+∠BCA）＝44°．故答案为：44°．【变式6-1】（2023秋•天津校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，依次类推，∠ABD4与∠ACD4的平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．60° B．56° C．94° D．68°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝52°，∴∠BD1C＝180°﹣＝180°﹣＝180°﹣64°．第2次∠BD2C＝180°﹣﹣×＝180°﹣60°﹣32°，∠BD5C的度数是180°﹣﹣×﹣××﹣×××﹣××××＝52°+＝56°．故选：B．【变式6-2】如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝8；（2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．【答案】（1）8；（2）EF＝EB﹣FC．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，∴EF＝EO+FO＝8，故答案为：8；（2）EF＝BE﹣CF，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得FO＝FC，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC．【变式6-3】（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°求∠BOC的度数．（2）如图（2），△A′B′C′外角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数．（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，根据三角形的外角和等于360°，所以∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°，∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°﹣n°，∴∠A+∠A′＝90°+n°+90°﹣°＝180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，∴当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．模型7：双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-∠A.【典例7】（2023秋•咸安区校级期中）如图1，点P是△ABC两外角平分线的交点．（1）若∠A＝50°，则∠P＝65°；（2）探究∠P与∠A的数量关系并说明理由；（3）如图2，点P是四边形ABCD相邻两外角平分线的交点，请直接写出∠P与∠A，∠D的数量关系．【答案】（1）65°；（2）∠P＝90°﹣∠A；（3）∠P＝360°﹣2∠P．【解答】解：（1）∵点P是△ABC两外角平分线的交点，∴∠PBC+∠PCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝[360°﹣（180°﹣∠A）]＝（180+∠A），在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A，∵∠A＝50°，∴∠P＝65°；故答案为：65°；（2）∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+∠A），在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．（3）如图，延长BA、CD交于Q，则∠P＝90°﹣∠Q，∴∠Q＝180°﹣2∠P．∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q＝180°+180°﹣2∠P＝360°﹣2∠P．【变式7】（2022春•淅川县期末）[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律．规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．[问题呈现]如图①，点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点，则∠P＝90°+∠A，∠M＝90°﹣∠A．说明∠P＝90°+∠A如下：∵BP、CP是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ABC．∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①∴∠1+∠2＝90°﹣∠A．∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+∠A．请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：（1）上述说理过程中步骤①的依据是三角形内角和等于180°．（2）结合图①，写出说明∠M＝90°﹣∠A的说理过程．[拓展延伸]如图②，点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角（∠ACD）平分线CQ的交点．若∠A＝50°，则∠Q的大小为25度．【答案】【问题呈现】（1）三角形内角和等于180°；（2）∠M＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；[拓展延伸]25．【解答】解：【问题呈现】（1）证明过程中步骤（2）的依据是三角形内角和等于180°，故答案为：三角形内角和等于180°；（2）∵BM、CM是△ABC的外角平分线，∴∠3＝∠EBC，∠4＝∠FCB，∴∠ABC＝180°﹣2∠3，∠ACB＝180°﹣2∠4，∴∠A+（180°﹣2∠3）+（180°﹣2∠4）＝180°，∴∠3+∠4＝90°+∠A，∵∠3+∠4+∠M＝180°，∴∠M＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；【拓展延伸】∵CQ平分∠ACD，∴∠1＝∠ACD，∵BQ平分∠ABC，∴∠2＝∠ABC，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝2（∠1﹣∠2），∵∠1＝∠2+∠Q，∴∠Q＝∠1＝∠2，∴∠A＝2∠Q，即∠Q＝∠A＝25，故答案为：25．模型8：内外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线【结论】∠P=∠A【典例8】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明过程见解答；（2）∠P＝A．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°