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文档简介
专题02角度计算的经典八大模型【题型1双垂直模型】双垂直模型【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE,∠ACB=∠CED.【典例1】AD、BE为△ABC的高,AD、BE相交于H点,∠C=50°,求∠BHD.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵AD是△ABC的高,∴∠BHD+∠HBD=90°,∵BE是△ABC的高,∴∠HBD+∠C=90°,∴∠BHD=∠C,∵∠C=50°,∴∠BHD=50°.【变式1-1】如图所示,在△ABC中,CD、BE分别是AB、AC边上的高,并且CD、BE交于点P,若∠A=60°,则∠BPC等于()A.90° B.120° C.150° D.160°【答案】B【解答】解:∵∠A=60°,BE⊥AC,∴∠ABE=90°﹣60°=30°,又∵CD⊥AB,∴∠BDP=90°,∴∠BPC=90°+∠ABE=120°.故选:B.【变式1-2】在△ABC中,已知∠ABC=50°,∠ACB=60°,BE是AC上的高,CF是AB上的高,H是BE和CF的交点.求∠ABE和∠BHC的度数.【答案】20°,110°.【解答】解:∵BE是AC上的高,∴∠AEB=90°,∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°,∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°,∵CF是AB上的高,∴∠AFC=90°,∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°,∵∠ABE=20°,∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=50°﹣20°=30°,∵∠ACF=20°,∠ACB=60°,∴∠BCH=40°,∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°.【题型2A字模型】A字模型图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理,∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=(∠AED+∠A)+(∠ADE+∠A)=180°+∠A【典例2】探索归纳:(1)如图1,已知△ABC为直角三角形,∠A=90°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2=270°.(2)如图2,已知△ABC中,∠A=40°,剪去∠A后成四边形,则∠1+∠2=220°.(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程,你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是180°+∠A.(4)如图3,若没有剪掉∠A,而是把它折成如图3形状,试探究∠1+∠2与∠A的关系,并说明理由.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1):∵四边形的内角和为360°,直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2=360°﹣(∠A+∠B)=360°﹣90°=270°.∴∠1+∠2等于270°.故答案为:270°;(2)∠1+∠2=180°+40°=220°,故答案是:220°;(3)∠1+∠2与∠A的关系是:∠1+∠2=180°+∠A;故答案为:180°+∠A;(4)∵△EFP是由△EFA折叠得到的,∴∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF∴∠1=180°﹣2∠AFE,∠2=180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2=360°﹣2(∠AFE+∠AEF)又∵∠AFE+∠AEF=180°﹣∠A,∴∠1+∠2=360°﹣2(180°﹣∠A)=2∠A.【变式2-1】如图,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于()A.90° B.135° C.270° D.315°【答案】C【解答】解:∵四边形的内角和为360°,直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2=360°﹣(∠A+∠B)=360°﹣90°=270°.故选:C.【变式2-2】如图,在△ABC中,E、F分别是AB、AC上的两点,∠1+∠2=235°,则∠A=55度.【答案】55.【解答】解:∵1+∠2=235°,∴∠B+∠C=360°﹣(∠1+∠2)=360°﹣235°=125°,故∠A=180°﹣(∠B+∠C)=180°﹣125°=55°.故答案是:55.【变式2-3】在如图所示的四边形中,若去掉一个50°的角得到一个五边形,则∠1+∠2=230度.【答案】见试题解答内容【解答】解:由于∠1和∠2是三角形的外角,所以∠1=∠4+50°,∠2=∠3+50°,所以∠1+∠2=∠4+50°+∠3+50°=(∠4+50°+∠3)+50°=180°+50°=230°.【变式2-4】如图,四边形ABOC中,∠BAC与∠BOC的角平分线相交于点P,若∠B=16°,∠C=42°,则∠P=13°.【答案】13.【解答】解:延长CO交AB于点D,OC与AP交于点E,根据三角形的外角的性质,∠BDC=∠C+∠BAC=42°+2∠BAP,∠BOC=∠B+∠BDC=58°+2∠BAP则∠COP=29°+∠BAP,根据三角形的内角和定理,∠COP+∠P=∠C+∠BAP,所以∠P=∠C+∠BAP﹣∠COP=13°,故答案为:13.:8字模型【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【典例3】图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:∠A+∠D=∠C+∠B;(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:6个;(3)图2中,当∠D=50度,∠B=40度时,求∠P的度数.(4)图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结果,不必证明).【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,∴∠A+∠D=∠C+∠B,故答案为:∠A+∠D=∠C+∠B;(2)①线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”;②线段AN、CM相交于点O,形成“8字形”;③线段AB、CP相交于点N,形成“8字形”;④线段AB、CM相交于点O,形成“8字形”;⑤线段AP、CD相交于点M,形成“8字形”;⑥线段AN、CD相交于点O,形成“8字形”;故“8字形”共有6个,故答案为:6;(3)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,①+②得:∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,即2∠P=∠D+∠B,又∵∠D=50度,∠B=40度,∴2∠P=50°+40°,∴∠P=45°;(4)关系:2∠P=∠D+∠B.∠D+∠1=∠P+∠3①∠B+∠4=∠P+∠2②①+②得:∠D+∠1+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P,∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P,∴∠1=∠2,∠3=∠4∴2∠P=∠D+∠B.【变式3-1】(2023秋•石嘴山校级期中)如图1的图形我们把它称为“8字形”.(1)如图1,求证:∠A+∠B=∠C+∠D;(2)如图2,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度数;(3)如图3,直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,请直接写出∠P与∠B、∠D的数量关系是.【答案】(1)见解析;(2)26°;(3),【解答】(1)证明:∵∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD,∵∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D.(2)解:∵AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD,由(1)的结论得,∠P+∠BCP=∠ABC+∠BAP①,∠P+∠PAD=∠ADC+∠PCD②,①+②得,2∠P+∠BCP+∠PAD=∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC,∴2∠P=∠ABC+∠ADC,∵∠ABC=36°,∠ADC=16°,∴2∠P=36°+16°=52°,∴∠P=26°.答:∠P的度数为26°.(3)解:,理由如下:∵直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,∴∠PAB=∠PAD,∠PCB=∠PCE,∴2∠PAB+∠B=180°﹣2∠PCB+∠D,∴180°﹣2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B,∵∠P+∠PAD=∠PCB+∠AOC=∠PCB+∠B+2∠PAD,∴∠P=∠PAD+∠B+∠PCB=∠PAB+∠B+∠PCB,∴∠PAB+∠PCB=∠P﹣∠B,∴180°﹣2(∠P﹣∠B)+∠D=∠B,即,【变式3-2】(2023春•汝阳县期末)如图,∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P.(1)若∠C=35°,∠D=29°,求∠P的度数;(2)直接写出∠D,∠C,∠P的数量关系;(3)若∠CAD与∠CBD的大小发生变化,(2)的结论是否仍然成立?若成立,说明理由,若不成立,写出成立的式子.【答案】(1)∠P=32°;(2);(3)(2)的结论仍然成立,证明见解析过程.【解答】解:(1)∵∠AEC=∠BEP,∠BFD=∠AFP,∴180°﹣(∠C+∠CAE)=180°﹣(∠P+∠PBE),180°﹣(∠D+∠DBF)=180°﹣(∠P+∠PAF),∴,①+②,得∠C+∠CAE+∠D+∠DBF=∠P+∠PBE+∠P+∠PAF,∵∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P,∴∠CAE=∠PAF,∠DBF=∠PBE,∴∠C+∠D=2∠P,∴;(2),理由同(1);(3)∵∠AEC=∠BEP,∠BFD=∠AFP,∴180°﹣(∠C+∠CAE)=180°﹣(∠P+∠PBE),180°﹣(∠D+∠DBF)=180°﹣(∠P+∠PAF),∴,①+②,得∠C+∠CAE+∠D+∠DBF=∠P+∠PBE+∠P+∠PAF,∵∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P,∴∠CAE=∠PAF,∠DBF=∠PBE,∴∠C+∠D=2∠P,此时∠C、∠D、∠P的关系与∠CAD与∠CBD的大小无关,∴,即(2)的结论仍然成立.【变式3-3】(2023秋•太平区期末)我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形,如图1,AD,BC相交于点O,连接AB,CD得到“8”字图形ABDC.(1)如图1,试说明∠A+∠B=∠C+∠D的理由;(2)如图2,∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E,利用(1)中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系;(3)如图3,点E为CD延长线上一点,BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线,且∠CBQ=∠ABC,∠EDP=∠ADE,QB的延长线与DP交于点P,请探索∠P与∠A、∠C的关系.【答案】(1)详见解析;(2)2∠E=∠A+∠C;(3)∠A+3∠C+4∠P=180°.【解答】解:(1)如图1,∵∠AOB+∠A+∠B=∠COD+∠C+∠D=180°,∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D.(2)如图2,∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E,∴∠ABE=∠CBE,∠CDE=∠ADE,由(1)可得:∠A+∠ABE=∠E+∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+∠CBE,∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠CBE,∴2∠E=∠A+∠C.(3)由(1)得:∠A+∠ABC=∠C+∠CDA,∴,又,,∠CDA=180°﹣∠ADE,∴,设AD与PQ的交点为点O,则∠CBQ+∠BOD=∠C+∠ADC,两式相减可得:,∴,∴,∵∠P=180°﹣∠BOD﹣∠ADP,∴,即∠A+3∠C+4∠P=180°.:飞镖模型图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【典例4】探究与发现:如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品一圆规,我们,不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下问题:①如图(2),把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=40°,则∠ABX+∠ACX=50°.②如图(3),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)如图(1),∠BDC=∠BAC+∠B+∠C,理由是:过点A、D作射线AF,∵∠FDC=∠DAC+∠C,∠BDF=∠B+∠BAD,∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B,即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①如图(2),∵∠X=90°,由(1)知:∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°,∵∠A=40°,∴∠ABX+∠ACX=50°,故答案为:50;②如图(3),∵∠A=40°,∠DBE=130°,∴∠ADE+∠AEB=130°﹣40°=90°,∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB,∴∠ADC+∠AEC==45°,∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°.【变式4-1】一个零件的形状如图,按要求∠A=90°,∠B=32°,∠C=21°,检验工人量得∠CDB=148°,就断定这个零件不合格,运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.【答案】见试题解答内容【解答】解:如图,延长CD交AB于E,∵∠A=90°,∠C=21°,∴∠1=∠A+∠C=90°+21°=111°,∵∠B=32°,∴∠BDC=∠B+∠1=32°+111°=143°.又∵∠BDC=148°,∴这个零件不合格.【变式4-2】附加题:如图,试说明:①∠BDC>∠A;②∠BDC=∠B+∠C+∠A.如果点D在线段BC的另一侧,结论会怎样?【答案】见试题解答内容【解答】解:①延长BD交AC于E,则∠BDC>∠DEC,而∠DEC>∠A,所以∠BDC>∠A;②由∠BDC=∠C+∠DEC,而∠DEC=∠A+∠B,所以∠BDC=∠A+∠B+∠C.如果点D在线段BC的另一侧,如图所示:结论:①∠BDC与∠A无法比较大小;②∠BDC=360°﹣(∠A+∠B+∠C),【变式4-3】如图,△ABC中,∠A=30°,D为CB延长线上的一点,DE⊥AB于点E,∠D=40°,则∠C为()A.20° B.15° C.30° D.25°【答案】A【解答】解:∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∵∠D=40°,∴∠ABD=180°﹣∠D﹣∠DEB=50°,∵∠ABD=∠A+∠C,∠A=30°,∴∠C=∠ABD﹣∠A=50°﹣30°=20°.故选:A.模型5风筝模型【典例5】(2023秋•兰山区校级月考)现有一张△ABC纸片,点D、E分别是△ABC边上两点,若沿直线DE折叠,折成如图的形状.(1)若∠1=25°、∠2=35°,求∠A的度数;(2)猜想∠1、∠2和∠A的数量关系,并说明理由.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)由折叠得:∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,∠AED+∠A′ED=180°﹣∠1=180°﹣25°=155°,∠ADE+∠A′DE=180°﹣∠2=180°﹣35°=145°,∴∠ADE+∠AED=(155°+145°)÷2=150°,∴∠A=180°﹣150°=30°;(2)猜想:∠1+∠2=2∠A,理由是:由折叠得:∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,∵∠ADB+∠AEC=360°,∴∠1+∠2=360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED=360°﹣2∠ADE﹣2∠AED,∴∠1+∠2=2(180°﹣∠ADE﹣∠AED)=2∠A,∴∠1+∠2=2∠A.【变式5-1】(2022秋•萍乡期末)如图,将一张三角形纸片ABC的三角折叠,使点A落在△ABC的A′处折痕为DE,若∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′=γ,那么下列式子中正确的是()A.γ=180°﹣α﹣β B.γ=α+2β C.γ=2α+β D.γ=α+β【答案】C【解答】解:如图,设AC交DA′于F.由折叠得:∠A=∠A',∵∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',∵∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA'=γ,∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β,故选:C.【变式5-2】(2023秋•合江县期中)如图,在△ABC中,∠1=120°,∠2=50°,将△ABC沿着直线l折叠,点C落在点D的位置,则∠C的度数是()A.40° B.35° C.50° D.45°【答案】B【解答】解:由折叠的性质得:∠D=∠C,根据外角性质得:∠1=∠3+∠C,∠3=∠2+∠D,∴∠1=∠2+∠D+∠C=∠2+2∠C,∴∠C=(∠1﹣∠2)÷2=(120°﹣50°)÷2=35°.故选:B.【变式5-3】(2023•青岛模拟)如图,在△ABC中,∠B+∠C=α,按图进行翻折,使B'D∥C'G∥BC,B'E∥FG,则∠C'FE的度数是()A. B.90°﹣ C.α﹣90° D.2α﹣180°【答案】D【解答】解:设∠ADB′=γ,∠AGC′=β,∠CEB′=y,∠C′FE=x,∵B'D∥C'G,∴γ+β=∠B+∠C=α,∵EB′∥FG,∴∠CFG=∠CEB′=y,∴x+2y=180°①,∵γ+y=2∠B,β+x=2∠C,∴γ+y+β+x=2α,∴x+y=α②,②×2﹣①可得x=2α﹣180°,∴∠C′FE=2α﹣180°.故选:D.【变式5-4】(2022秋•邯山区校级期末)如图,将△ABC一角折叠,若∠1+∠2=80°,则∠B+∠C=()A.40° B.100° C.140° D.160°【答案】C【解答】解:连接AA′.∵∠1=∠3+∠4,∠2=∠5+∠6,∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠6=∠EAD+∠EA′D,∵∠EAD=∠EA′D,∴∠1+∠2=2∠EAD=160°,∴∠EAD=40°,∴∠B+∠C=180°﹣40°=140°,故选:C.模型6:双内角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.【结论】∠P=90°+∠A.【典例6】【问题】如图①,在△ABC中,∠A=74°,DB平分∠ABC,DC平分∠ACB.求∠D的度数,对于上述问题,在以下解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式).解:∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°(三角形内角和180°).∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A(等式性质).∵∠A=74°(已知),∴∠ABC+∠ACB=106°(等量代换).∵DB平分∠ABC(已知),∴∠DBC=∠ABC(角平分线的定义).同理,∠DCB=∠ACB;∴(∠ABC+∠ACB)=53°(等式性质).∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∴∠D=180°﹣(∠DBC+∠DCB)=127°(等式性质).【拓展】如图②,在△ABC中,∠A=β,DB平分∠ABC,DC平分∠ACB.则∠D=(90°+).【应用】如图③,在△ABC中,DB平分∠ABC,DC平分∠ACB,EB平分∠DBC,EC平分∠DCB.若∠E=146°,则∠A=44°.【答案】(1)180°﹣∠A;106°;∠ACB;53°;127°;(2)90°+;(3)44°.【解答】解:(1)∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°(三角形的内角和定理),∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A(等式性质).∵∠A=74°(已知),∴∠ABC+∠ACB=106°(等量代换).∵DB平分∠ABC(已知),∴(角平分线的定义).同理,∠DCB=∠ACB.∴=53°(等式性质).∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∴∠D=180°﹣(∠DBC+∠DCB)=127°(等式性质).故答案为:180°﹣∠A;106°;∠ACB;53°;127°;(2)∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°(三角形的内角和定理),∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A(等式性质).∵∠A=β(已知),∴∠ABC+∠ACB=180°﹣β(等量代换).∵DB平分∠ABC(已知),∴(角平分线的定义).同理,∠DCB=∠ACB.∴=90°﹣(等式性质).∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∴∠D=180°﹣(∠DBC+∠DCB)=90°+;故答案为:90°+;(3)∵DB平分∠ABC,DC平分∠ACB,EB平分∠DBC,EC平分∠DCB,∴∠CBD=∠CBA,∠BCD=∠BCA,∠CBE=∠CBD,∠BCE=∠BCD,∴∠CBA,∠BCE=∠BCA,∵∠CBE+∠BCE+∠E=180°,∠E=146°,∴∠CBE+∠BCE=180°﹣∠E=34°,∴∠CBE+∠BCE=∠CBA+∠BCA=34°,∴∠CBA+∠BCA=136°,∵∠CBA+∠BCA+∠A=180°,∴∠A=180°﹣(∠CBA+∠BCA)=44°.故答案为:44°.【变式6-1】(2023秋•天津校级月考)如图,在△ABC中,∠A=52°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1,∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2,依次类推,∠ABD4与∠ACD4的平分线交于点D5,则∠BD5C的度数是()A.60° B.56° C.94° D.68°【答案】B【解答】解:在△ABC中,∵∠A=52°,∴∠BD1C=180°﹣=180°﹣=180°﹣64°.第2次∠BD2C=180°﹣﹣×=180°﹣60°﹣32°,∠BD5C的度数是180°﹣﹣×﹣××﹣×××﹣××××=52°+=56°.故选:B.【变式6-2】如图1,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于E,交AC于F.(1)当BE=5,CF=3,则EF=8;(2)当BE>CF时,若CO是∠ACB的外角平分线,如图2,它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于E,交AC于F,试判断EF,BE,CF之间的关系,并说明理由.【答案】(1)8;(2)EF=EB﹣FC.【解答】解:(1)∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠BCO,∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,∴BE=OE=5,OF=CF=3,∴EF=EO+FO=8,故答案为:8;(2)EF=BE﹣CF,理由如下:∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC,∵EO∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∴∠ABO=∠EOB,∴EB=EO,同理可得FO=FC,∴EF=EO﹣FO=EB﹣FC.【变式6-3】(1)如图(1),在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,∠A=40°求∠BOC的度数.(2)如图(2),△A′B′C′外角的平分线相交于点O′,∠A′=40°,求∠B′O′C′的度数.(3)由(1)、(2)可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系?设∠A=∠A′=n°,∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系?这个结论你是怎样得到的?【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,则∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A)=×(180°﹣40°)=70°.故∠BOC=180°﹣70°=110°;(2)因为∠A的外角等于180°﹣40°=140°,△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′,根据三角形的外角和等于360°,所以∠1+∠2=×(360°﹣140°)=110°,∠B′O′C′=180°﹣110°=70°;(3)∵(1)(2)中∠BOC+∠B′O′C′=110°+70°=180°,∴∠BOC与∠B′O′C′互补;证明:当∠A=n°时,∠BOC=180°﹣[(180°﹣n°)÷2]=90°+n°,∵∠A′=n°,∠B′O′C′=180°﹣[360°﹣(180°﹣n°)]÷2=90°﹣n°,∴∠A+∠A′=90°+n°+90°﹣°=180°,∠BOC与∠B′O′C′互补,∴当∠A=∠A′=n°,∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系.模型7:双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-∠A.【典例7】(2023秋•咸安区校级期中)如图1,点P是△ABC两外角平分线的交点.(1)若∠A=50°,则∠P=65°;(2)探究∠P与∠A的数量关系并说明理由;(3)如图2,点P是四边形ABCD相邻两外角平分线的交点,请直接写出∠P与∠A,∠D的数量关系.【答案】(1)65°;(2)∠P=90°﹣∠A;(3)∠P=360°﹣2∠P.【解答】解:(1)∵点P是△ABC两外角平分线的交点,∴∠PBC+∠PCB=(∠MBC+∠NCB)=(180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB)=[360°﹣(180°﹣∠A)]=(180+∠A),在△PBC中,∠P=180°﹣(180°+∠A)=90°﹣∠A,∵∠A=50°,∴∠P=65°;故答案为:65°;(2)∵BP,CP分别是外角∠DBC,∠ECB的平分线,∴∠PBC+∠PCB=(∠DBC+∠ECB)=(180°+∠A),在△PBC中,∠P=180°﹣(180°﹣∠A)=90°﹣∠A.(3)如图,延长BA、CD交于Q,则∠P=90°﹣∠Q,∴∠Q=180°﹣2∠P.∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°﹣2∠P=360°﹣2∠P.【变式7】(2022春•淅川县期末)[规律探索]探索三角形的内(外)角平分线形成的角的规律:在三角形中,由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律.规律1:三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半;规律2:三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半.[问题呈现]如图①,点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点,点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点,则∠P=90°+∠A,∠M=90°﹣∠A.说明∠P=90°+∠A如下:∵BP、CP是△ABC的角平分线,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ABC.∴∠A+2(∠1+∠2)=180°.…………①∴∠1+∠2=90°﹣∠A.∴∠P=180°﹣(∠1+∠2)=90°+∠A.请你仔细阅读理解上面的说理过程,完成下列问题:(1)上述说理过程中步骤①的依据是三角形内角和等于180°.(2)结合图①,写出说明∠M=90°﹣∠A的说理过程.[拓展延伸]如图②,点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角(∠ACD)平分线CQ的交点.若∠A=50°,则∠Q的大小为25度.【答案】【问题呈现】(1)三角形内角和等于180°;(2)∠M=180°﹣(90°+∠A)=90°﹣∠A;[拓展延伸]25.【解答】解:【问题呈现】(1)证明过程中步骤(2)的依据是三角形内角和等于180°,故答案为:三角形内角和等于180°;(2)∵BM、CM是△ABC的外角平分线,∴∠3=∠EBC,∠4=∠FCB,∴∠ABC=180°﹣2∠3,∠ACB=180°﹣2∠4,∴∠A+(180°﹣2∠3)+(180°﹣2∠4)=180°,∴∠3+∠4=90°+∠A,∵∠3+∠4+∠M=180°,∴∠M=180°﹣(90°+∠A)=90°﹣∠A;【拓展延伸】∵CQ平分∠ACD,∴∠1=∠ACD,∵BQ平分∠ABC,∴∠2=∠ABC,∵∠ACD=∠A+∠ABC,∴∠A=∠ACD﹣∠ABC=2(∠1﹣∠2),∵∠1=∠2+∠Q,∴∠Q=∠1=∠2,∴∠A=2∠Q,即∠Q=∠A=25,故答案为:25.模型8:内外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线【结论】∠P=∠A【典例8】(1)如图1,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求证:∠P=90°+∠A;(2)如图2,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACE,猜想∠P和∠A有何数量关系,并证明你的结论.【答案】(1)证明过程见解答;(2)∠P=A.【解答】(1)证明:∵A+∠ABC+∠ACB=180°
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