2023-2024学年七年级数学下册 三角形的有关概念与性质 压轴题（十一大题型）（原卷版）

专题03三角形的有关概念与性质压轴题（十一大题型）目录：题型1：三角形中线有关的面积问题题型2：与三角形高有关的计算题题型3：三角形的高在平行线中的应用题型4：三角形的三边关系在平行线中的应用题型5：三角形个数问题题型6：与三角形角平分线有关的问题题型7：三角形的内角和与外角的性质题型8：三角形的内角和与外角的性质在平行线中的应用题型9：旋转问题题型10：定值问题题型11：角平分线、三角形的内角和与外角的性质、平行线相结合问题题型1：三角形中线有关的面积问题1．设的面积为．(1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示）(2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示）(3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________．2．【问题情境】苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

【深入探究】（1）如图2，点在的边上，点在上．①若是的中线，求证：；②若，则______．【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．①求证：；②若，则______．3．探索：在图至图中，已知的面积为，(1)如图，延长的边到点，使，连接若的面积为，则______用含的代数式表示(2)如图，延长的边到点，延长边到点，使，，连接若的面积为，则______用含的代数式表示(3)在图的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图）若阴影部分的面积为，则______用含的代数式表示(4)发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到如图，此时，我们称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的______倍．(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在的空地上种红花，然后将向外扩展三次图已给出了前两次扩展的图案在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即的面积是平方米，请你运用上述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积．题型2：与三角形高有关的计算题4．在中，，，于D．（1）如图①，已知于E，求证：（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证：（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系．5．设点为内任意一点，的延长线交于点,的延长线交于点，的延长线交于点，则的值为．题型3：三角形的高在平行线中的应用6．已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，交直线于点.(1)如图1，若，，求的度数；.(2)如图2，在（1）问的条件下，过点作，交直线于点，交直线于点，连接，交直线于点，过点作于点；当平分时，求的度数；.(3)如图3，已知，，点到的距离与线段的长度之比是，点到的距离等于7，求线段的长度．题型4：三角形的三边关系在平行线中的应用7．如图，直线a∥b，点A，点D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．（1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值；（2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由；（3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系．题型5：三角形个数问题8．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形，……

（1）完成下表：连接个数123456出现三角形个数36（2）若出现了45个三角形，则共连接了_____个点?若一直连接到An，则图中共有______个三角形．题型6：与三角形角平分线有关的问题9．佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.测量数据如下表：测量和度数测量工具量角器示意图与的平分线交于点测量数据第一次第二次第三次第四次……（1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______.（2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.10．【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，于D，猜想、、的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD的值，得到下面几组对应值：/度1030302020/度7070606080/度30152030求上表中a的度数，并判断与、的数量关系；【变式应用】（2）小明继续研究，在图2中，，，其他条件不变，若把“于D”改为“F是线段上一点，于D”求的度数，并写出与、的数量关系．题型7：三角形的内角和与外角的性质11．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点．初探：（1）如图1，若点在线段上运动，①当时，则；②，，之间的数量关系为：．再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由．拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论．12．如图1，直角三角板的直角边所在直线与直线重合．将该三角板绕点A逆时针旋转一定角度后，如图2所示．记，过B作直线．P为射线上异于点A的一点，从点P出发且位于直线上方的射线交直线于点Q，记．(1)若，且，求的度数；(2)①若点Q在线段上（不含端点），则与，满足的数量关系为；②若点Q在线段延长线上（不含端点），判断上述关系是否成立．若成立，请说明理由；若不成立，给出三者应满足的关系并说明理由；(3)若，且射线不经过点B，设直线分别交直线、于点R、S，直接写出当，满足什么条件时，有．题型8：三角形的内角和与外角的性质在平行线中的应用13．如图1，点在的延长线上，已知．(1)求证：；(2)连接的平分线和的平分线所在的直线相交于点（点与点不重合）．①如图2，若，且点在平分线的反向延长线上，则______；②试探究与之间的数量关系，并说明理由．14．已知，点P是直线，外一点．(1)【问题初探】如图1，点E，F分别在直线，上，连接，．求证：①；②．证明：过点P作，…，请将问题①，②的证明过程补充完整；(2)【结论应用】如图2，的角平分线交于点E，点F是射线上一动点且点F不在直线上，连接，作的角平分线与相交于点Q，问：与有怎样的数量关系？说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，O是上一定点，．在内部作射线，使得，与相交于点F．动点P在射线上，点Q在上，连接，，若在点P的运动过程中，始终有，求n，α的值．15．探究（一）已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分，（1）如图1，P为之间一点，若，则°；（2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由．探究（二）已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点．（3）如图3，若P在内部，，则°；（4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由．题型9：旋转问题16．如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，，分别交、于点、、的角平分线交于点，为线段上一动点（不与重合），连接交于点．(1)当，求证：．(2)在线段上任意移动时，求之间的关系．(3)在（1）的条件下将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，求此时的值．题型10：定值问题17．如图，分别在边上，的角平分线交于．(1)如图1，求的度数．(2)如图2，如果的平分线与交于点，，求的度数；(3)如图3，点是边上的一个动点（不与重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．题型11：角平分线、三角形的内角和与外角的性质、平行线相结合问题18．【问题】如图，在中，平分，平分，若，则____________；若，则____________．

【探究】（）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________；（）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由；（）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由．19．【基础探究】（1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、.若，，则的度数为________；（2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为________；（3）如图3，，点A、点C分别是