期中测试卷01（测试范围：第10-11章+空间向量及其应用）（解析版）-A4

第页2024-2025学年高二数学上学期期中测试卷01测试范围：第10-11章+空间向量及其应用一、填空题1．“平面经过直线”用集合符号语言可表示为．【答案】【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果.【解析】由题意可知：直线在平面内，所以符号语言为：，故答案为：.2．已知一个球的半径是，则它的表面积是．【答案】【分析】根据球的表面积公式直接求解即可.【解析】解：球的半径，则表面积为.故答案为：.3．设空间两个角与，若它们的两边分别平行，，则.【答案】或【分析】根据等角定理即可得解.【解析】因为空间两个角与的两边分别平行，所以或，所以或.故答案为：或.4．已知空间向量，且与垂直，则等于.【答案】4【分析】由与垂直，得到，由此能求出的值.【解析】因为，且与垂直，所以，解得，故答案为：45．在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于（用，，表示）．【答案】【分析】连接，利用空间向量的线性运算求解.【解析】连接，，故答案为：6．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的面积为.【答案】【分析】由直观图作出原图，确定原图结构，然后计算面积.【解析】直观图恰好是边长为1的正方形，所以，由直观图知原图为平行四边形，，，，所以原平面图形的面积为，故答案为：.7．平面的法向量为，，那么直线与平面的关系是．【答案】或【分析】计算平面的法向量和的数量积，即可判断的关系，进而判断直线与平面的关系.【解析】由题意知，，则，故，则或，故答案为：或8．已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题中：（1）若，，，则；（2）若，，，则；（3）若，，，则且；（4）若，，，则，所有真命题的序号是.【答案】（3）（4）【分析】根据直线、平面间的位置关系判断（1）（2），由面面垂直的性质定理与判定定理判断（3）（4）．【解析】（1）缺少条件直线m需要属于平面，（1）错误；（2）两直线还可以是异面，故（2）错误；（3），，，所以且．（3）正确；（4）设，，过在平面内作直线,在平面内作直线，由面面垂直的性质定理知，又过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条，所以重合，而，则重合，所以，（4）正确．故答案为：（3）（4）9．若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为.【答案】【分析】计算出圆锥的底面半径，设圆锥轴截面的顶角为，结合余弦定理可知为钝角，则两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，结合三角形的面积公式可求得结果.【解析】设圆锥的底面半径为，圆锥轴截面的顶角为，则，解得，由余弦定理可得，则为钝角，故当两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，且最大值为.故答案为：.10．如图，正方的棱长为2，若空间中的动点P满足，若，则二面角的平面角的大小为.

【答案】/【分析】根据几何法求解二面角的平面角，即可求解大小.【解析】若，则为正方体的体对角线的交点，即为正方体的中心，因此平面即为平面，

平面，平面，，，是二面角的平面角，在等腰直角三角形中，，故二面角的平面角为，故答案为：11．已知三棱柱及空间中一点P，且，（，m为常数），若三棱的体积为24，则三棱锥的体积为．【答案】4【分析】由，可得，P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，进而可得到答案．【解析】取AC的中点O，∵，∴，∴P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，设三棱柱的高为h三棱锥的体积为故答案为：4．12．正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球半径与内切球半径的比值为．

【答案】【分析】利用三棱锥的外接球，即以为棱的长方体外接球求得其半径，利用等体积法求得内切球的半径，从而得解.【解析】在正方形中，，折起后两两互相垂直，故该三棱锥的外接球，即以为棱的长方体外接球，不妨设正方形边长为2，则，故，则，因为，而该三棱锥的表面积与正方形的面积相同，即，则，即，故，所以.故答案为：.二、单选题13．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根据平面的概念与性质，以及线面关系对各个选项进行逐个判断即可.【解析】对于①,三个不共线的点确定一个平面,故①错;对于②,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故②错;对于③),空间两两相交的三条直线,且不能交于同一点,确定一个平面,故③错;对于④,两条平行直线确定一个平面,故④正确.故选：D.14．已知正方体的体积是，则这个正方体的外接球的体积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.【解析】正方体的体积为，则正方体棱长，正方体的外接球半径为体对角线的一半，即，故.故选：B.【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体对角线是解题的关键.15．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（

）A．与垂直 B．与平面垂直C．与平行 D．与平面平行【答案】C【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可.【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，对于A，，则，所以，故A正确；对于B，，则，所以，又平面，所以平面，故B正确；对于C，，若与平行，则存在唯一实数使得，所以，无解，所以与不平行，故C错误；对于D，，设平面的法向量，则有，可取，因为，且平面，所以平面，故D正确.故选：C.16．在棱长为1的正方体中，为底面ABCD的中心，是棱上一点，且，，N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的是（

）A．CN与QM是异面直线B．三棱锥的体积跟的取值有关C．当时，D．当时，过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面的周长为【答案】D【分析】对于A，根据中位线定理，可得平行，即得共面，可得答案；对于B，根据正方体的性质，求得点到底面的距离，利用三棱锥体积公式，可得答案；对于C，利用勾股定理，求得的长，根据等腰三角形的性质，可得答案；对于D，利用平行的性质，可得平面，根据勾股定理，求得边长，可得答案.【解析】在中，因为M、N为AC、AQ的中点，所以，所以CN与QM共面，A错误；作，易知，由为的中点，可得，，即到平面的距离为，，则三棱锥的体积跟的取值无关，B错误；当时，得，，，，则，所以不成立，C错误；当时，，过作，则，，，，过A、Q、M三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，所以平面截正方体所截得的周长为，D正确.故选：D.三、解答题17．已知空间中的三点，，.(1)求的面积；(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）应用向量坐标表示有，，由向量夹角的坐标运算可得，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；（2）向量坐标表示得，，它们的夹角为钝角，即，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.【解析】（1）由题设，，则，所以，故在中，故的面积为.（2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角，所以，即，所以，可得，当它们反向共线，即且时，有，无解，综上，.18．如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别是棱，BC，AC的中点，.

(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明线面平行，再由面面平行判定定理得证；（2）利用三棱锥中等体积法求高即可.【解析】（1）在中，因为E，F分别是BC，AC的中点，所以.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理平面，又因为，平面，所以平面平面.（2）如图所示，连接.

利用勾股定理计算得，所以的面积为.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为.又易知平面，所以三棱锥的体积为.所以，解得，即点到平面的距离为.19．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．(1)求该蒙古包的侧面积．(2)求该蒙古包的体积．【答案】(1)平方米(2)立方米【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可；（2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可.【解析】（1）依题意得米，米，米，所以米，所以圆锥的侧面积为平方米，圆柱的侧面积为平方米，所以该蒙古包的侧面积为平方米.（2）圆锥的体积为立方米，圆柱的体积为立方米，所以该蒙古包的体积为立方米.20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，．(1)求证：平面；(2)试在棱PB上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；(3)H是PB中点，求二面角大小的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)点为的中点(3)【分析】（1）根据已知可得，，进而即可根据线面垂直的判定定理得出证明；（2）过点作，证明四边形是平行四边形.进而求出梯形的各个边长以及面积，得出四棱锥的体积，进而得出三棱锥的体积为.过点作，求出的面积，即可得出，即可得出点位置；（3）建立空间直角坐标系，得出相关点以及向量的坐标，求出平面以及平面的法向量，根据向量求解即可得出答案.【解析】（1）因为底面，平面，所以，.又，，所以，.因为平面，平面，，所以，平面.（2）因为，所以.过点作，则.又，所以，四边形是平行四边形，所以，.因为，所以，，点为中点，所以，.所以，梯形的面积为，四棱锥的体积.由已知与的体积比为，所以，三棱锥的体积为.过点作，则，且是三棱锥的高，因为，所以有.因为，所以，，，所以，三棱锥的体积为，所以，，所以，点为的中点.（3）如图2，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.因为底面，所以即为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，取，可得为平面的一个法向量.所以，.由图象可知，二面角为锐角，所以二面角大小的余弦值为.21．已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体.(1)求三棱锥外接球的表面积；(2)若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比；(3)若的取值范围是，求二面角的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用该三棱锥的性质找出外接球的球心与半径计算即可；（2）将三棱锥体积之比转化为底面积之比，然后利用，求出底面积之比即可;（3）该图像不好建立空间直角坐标系，就利用几何法画出