初高中数学衔接教材

初高中数学衔接教材

一、现有初高中数学知识存在以下“脱节”：

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”

的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多

化简求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高

中函数、不等式常用的解题技巧。

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中

贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、

求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与

常用方法。

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）

在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高

中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安

排专门的讲授。

6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其

图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌

握。

7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中

这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定

理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识

的讲授。

二、初高中数学衔接目录：

前百

第一讲数与式的运算（两课时）

第二讲因式分解（两课时）

第三讲一元二次方程根与系数的关系（一课时）

第四讲不等式（两课时）

第五讲二次函数的最值问题（一课时）

第六讲简单的二元二次方程组（一课时）

第七讲分式方程和无理方程的解法（一课时）

第八讲直线、平面与常见立体图形（一课时）

第九讲直线与圆，圆与圆的位置关系（一课时）

初高中数学衔接教材

初高中衔接从观念开始

一一致即将毕业的初三同学

一、初、高中的比较

和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，高中很注重自学

能力的培养的，高中不会像初中那样老师一天到晚盯着你，在高中一定要注重自

学能力的培养，谁的自学能力强，那么在一定的程度上影响着你的成绩以及你将

来你发展的前途。不过，要学好数学也不是很困难的，只要你跟着我的思路走，

你的数学一定会很好的。

二、学好高中数学的方法

现在我们来看看该如何才能学好高中数学呢？

第一：要改变一个观念。

1、有人会说自己的基础不好。那我问一下什么是基础？今天所学的知识就是

明天的基础，明天学习的知识就是后天的基础，所以要学好每一天的内容，那么

你打的基础就是最扎实的了。所以现在你们是在同一个起跑线上的，无所谓基础

好不好。

2、还有同学会说学数学除了高考没啥用。其实，大千世界均蕴含数学的理性

思想；并且就单纯数学知识来说，它本身的应用性就很广泛，不仅在科学方面，

就在我们的生活中也处处要用到数学知识。

3、改变在初中学习数学的习惯。在初中，许多同学在课堂上基本可以消化

（或者是可以完全消化）老师所讲述的内容。这样就能够考出好的成绩，也就能

够体会到成功的喜悦。现在，在高中也许你会发觉：课上不能完全听懂老师所

讲，课后会有一些作业很难完成。这样会让同学们有了挫败感。这是与高中数学

的特性有很大的关系。因此，同学们要改变自己的学习观念：一、要充分做好课

前的预习，对书本的基本内容进行了解与分析：什么内容自己能够学会？还有什

么是要期待课堂解决？这样对第二天要学的内容心里有底，在上课的时候才能做

到有的放矢，使得课堂的效率达到最大；二、要加强自己的自主学习以及合作学

习的习惯，不能万事都依靠老师，要多和同学们进行讨论交流，增强自己合作交

流的能力。三、要学会参阅课外书籍。通过阅读，能够扩展同学们的视野，拓广

同学们的思路，总结学习思想方法，使得同学们能够尽快地掌握所学知识，体会

学习的乐趣。

第二：要培养对数学的兴趣。

有些人在初中就对数学很感兴趣，希望你们能够继续保持下去。有些人在初

中就不大喜欢数学，为什么呢？有两方面的可能性，一方面可能是由于讨厌数学

老师，另一方面可能是数学老是考不好，越不喜欢数学就越不想学数学，越不学

数学，越考不好，如此形成一个恶性循环。我希望从今天开始你们要开始培养对

数学的热爱。有人说兴趣是最好的老师，只要你对某一事物有浓厚的兴趣，那么

你对它的关注就超出平常，会收到意想不到的效果的。那么我们该如何培养兴趣

呢？只要你发现数学是好玩的，是美的，那么你就有了浓厚的兴趣。其实在我们

的周围有很多事情都是可以用数学可以来解决的，无非很多人都没有用数学的眼

光来看待。

比如基督教徒认为上帝是万能的。你们认为呢？如何来证明你的结论呢？我

的观点：上帝不是万能的。为什么呢？仔细听我讲来。

证明：（反证法）假如上帝是万能的，那么他能够制作出一块无论什么力量

都搬不动的石头。根据假设，既然上帝是万能的，那么他一定能够搬的动他自己

制造的那石头。这与“无论什么力量都搬不动的石头”相矛盾，所以假设不成

立，所以上帝不是万能的。

其实这样的例子周围还有很多，炒股，银行存款，摸彩票等等都和数学有关

的。随着高中数学的学习，那么上面的问题你都会有所细致的了解。

第三：学好高中数学要注意培养的几个能力。

（一）独立思考的能力：能根据所给的条件进行独立思考，将所学的知识与

亟待解决的问题结合，寻找解决之道。

例、扑克牌中有一个算24的游戏：给出四个数，利用加、减、乘、除及括号

连接这四个数，使运算结果为24。现给出3、3、8、8这四个数，请你按上述要求

列出算式，使结果为24。（美国微软公司在复旦大学招聘人才考试题）

（二）空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形

象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；

会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、

画图和对图形的想像能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关

系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形

或对图形进行各种变换。对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种，是空

间想像能力高层次的标志，逻辑推理能力。

（三）抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属

性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程。抽象和概

括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某

一观点或作出某项结论。抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括

的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，

并能应用于解决问题或作出新的判断。

（四）推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分

组成，论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程。推

理既包括演绎推理，也包括合情推理。论证方法既包括按形式划分的演绎法和归

纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法。一般运用合情推理进行猜

想，再运用演绎推理进行证明。

中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证

某一数学命题真实性初步的推理能力。

例、操场有100名学生排成10X10的方阵，共有10行10列，

A.在每一行中选出一个最高的，共有10个“高个子”，其中最矮的记为A；

B.在每一列中选出一个最矮的，共有10个“矮个子”，其中最高的记为B；

问：A与B孰高？

（五）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能

根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估

计和近似计算。

运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和

近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。

运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一

系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。

（六）数据处理能力：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中

抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例

中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题。

（七）数形结合的能力：能借助图形，将抽象的问题应用图形形象的表示出

来，使得问题更加明朗，清晰，便于更快的抓住问题的实质，加快解决问题的速

度。

例、炎炎夏日，虔诚的老太太去山上进香，山高路远，老太太一路走走停

停，自上午6时从家出发，下午4时方到庙中，在庙中住了一晚，第二天自原路

返回，仍是上午6时从庙中出发，下午4时方回到家中。问：这个老太太可不可

能在同一时间经过同一地点？

（注：同一时间指的相对于一天内的时间，如昨天的上午9点与今天的上午9点

是作为同一时间。）

（八）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解

决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对

所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数

学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达

和说明。主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模

型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。

（九）创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知

识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研

究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表

现，对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题

的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也

就越强。

第四：对数学科目的几个要求

（-）课前预习。怎样预习呢？就是自己在上课之前把内容先看一边，把自

己不懂的地方做个记号或者打个问号，以至于上课的时候重点听，这样才能够很

快提高自己的水平。但是预习不是很随便的把课本看一遍，预习要有个目标：

（1）就是通过预习可以把书本后面的练习题可以自己独立的完成；（2）并思考

与本节课有关的旧知识以及如何将新知识融合在里面；（3）问自己几个问题：课

本的例题有什么特性？可否发展？如何发展？

（二）上课认真听讲。上课的时候准备课本，一只笔，一本草稿，一本笔

记。做不做笔记你们自己决定，不过我提倡数学课做笔记的。有些知识点比较重

要，课本上又没有的，你们可以补充在你预习时已有的相应知识点的位置；另

外，在预习中不能解决或者是还存在的问题现在通过课堂的听讲有所感悟也可以

记录下来；再来就是，如果你觉得某个例题比较新或者比较重要，也可以把它记

在相应位置上，这样以后复习起来就一目了然了。那么草稿要来干什么的呢？课

堂上你可以自己演算还有做课堂练习。

（三）关于作业，绝对不允许有抄作业的情况发生。课后要先复习今天所学

的知识点然后再做作业，这样才能收到上课的效果，收到事半功倍的效果。那有

人会问，碰到不会做的题目怎么办？有两个办法：一、向同学请教，请教做题目

的思路，而不是整个过程和答案。同学之间也要相互帮助，如果你让他抄袭你的

作业这样不是帮助他而是害他，这个道理大家应该明白吧。我非常提倡同学之间

的相互讨论问题的，这样才能够相互促进提高。二、向老师请教，我希望我每天

下课的时候都有学生上来请教我，要养成问的习惯。我高中的时候，我们班级的

学生的问题最多，结果每次考试的成绩都是最好的，我希望这样的事情发生在你

们当中。

（四）准备一本笔记本，作为自己的问题集。把平时自己不懂的和不大理解

的还有易错的记录下来，并且要及时的消化，不懂的地方问老师。这是一个很好

的办法，到考试的时候就可以有重点、有针对性的自己复习了。

相信你如果认真做到以上几点，那么在高中学习数学就会非常轻松，成绩

就能大幅度地提升，最终到达高考成功的彼岸！

张正茂

2012.12.7

第一讲数与式的运算(两课时)

在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，

我们把实数和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式)、分

式、根式。它们具有实数的属性，可以进行运算。在多项式的乘法运算中，我们

学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式)，并且知道乘法公式可以使多项

式的运算简便。由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节

中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公

式。在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学

习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中

要补充。基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容。

一、乘法公式

[公式1](a+c)’=/+/+/+2ab+2bc+2ca

证明：

+6+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+lab++lac+2bc+c2=a2+b2+c2+lab+2bc+2ca

等式成立

(r-V2x+-)2

【例1】计算：3

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幕或升幕排列。

【公式2](a'b)(a(立方和公式)

证明：

(a+b)(a2-ab+b2)=ay-b+ab2+a2b-ab2+b'=a3+b'

【例2]计算：.*Xa'+ab+b2)

【公式3】Sb)(a-ab.心=J°'(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公

式。

【例3】计算:

(])(4+/77)(164mm\(2)

111II2、

(-n7--n)(——"2+—mn+—/1*)

5225104

(3)软,学心第E广电篇"(4)<A十21『十1-xy-y

说明：(1)在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否

满

足乘法公式的结构。

(2)为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方

数

和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的。

/【例4】已知/-3x+l=O,求的值。

说明：本题若先从方程『-3、+】=0中解出*的值后，再代入代数式求值，则

计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化

了计算。请注意整体代换法。本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根

据题求利用题知，是明智之举。

1I、，IL11

;?(­4—)+b(—4—)4cf—+—)

【例5】已知a+b+c=。，求bc%aab的值。

说明：注意字母的整体代换技巧的应用。

引申：同学可以探求并证明：

-3abe=(a+6+c)(a2+b1+c2-ab-be-ca)

根式

式子K(a?°)叫做二次根式，其性质如下：

⑴(>/a)'=a(a>0)(2)后=1aI

⑶\[ab=Va\[b(a>0,b>0)⑷

【例6】化简下列各式:

J(百-(2)-*)2+J(2-4(X2l)

(1)

说明：请注意性质4'的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知

时，要对字母的取值分类讨论。

【例7】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）:

_2_1+1

（1）2+6（2）Vab（3）

2祗一口+痴

说明：（1）二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整

式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。

（2）二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式。化简

时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有

3l~xl'x

根式（如2777）或被开方数有分母（如行）.这时可将其化为国形式（如VI可化

在

为无），转化为“分母中有根式”的情况.化简时，要把分母中的根式化为有

理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.（如2+石化为

3（2-扬

（2+5）（2一日,其中2+6与2-右叫做互为有理化因式）。

【例8】计算:

⑴(0+"+I)。-G+Vfr)-(y/a+\[b)2

说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法

公式、分式二次根式的运算。

2+口2-5

【例9】设'-，求V+尸的值.

说明：有关代数式的求值问题：（1）先化简后求值；（2）当直接代入运算较复

杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计

算量。

三、分式

AA

当分式万的分子、分母中至少有一个是分式时，力就叫做繁分式，繁分式的

化简常用以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.

【例10］化简X

说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉

AAxm

繁分式，解法二则是利用分式的基本性质万一瓦谷进行化简.一般根据题目特点

综合使用两种方法。

寸+3X+96xx-1

+------

【例11】化简丁-27---9x-/6+2x

说明：（1）分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，

应先因式分解再进行约分化简；（2）分式的计算结果应是最简分式或整式。

练习

第二讲因式分解（两课时）

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变

形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本

技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差

公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组

分解法等等。

一、公式法（立方和、立方差公式）

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

-ab+b（立方和公式）

（&-蛛/+ab+*）=2'-b'（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来

写，就得到：

a'+ft'=（a+b）（a2-ab+b2）

a'-6'=（a-b）（a2+ab+b'>

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和

与它们积的差（和）。

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。

［例1］用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

（1）8+父（2）0.125-276

分析：⑴中，8=2',⑵中场1幽一逐谭=袋球。

说明：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用塞的运算法则，

如8/6'=（2a6）',这里逆用了法则（ab）"="'方；（2）在运用立方和（差）公式分解

因式时，一定要看准因式中各项的符号。

【例2】分解因式：

（1）3a%-81/（2）a7-ab"

分析：（1）中应先提取公因式再进一步分解；（2）中提取公因式后，括号内

出现/_尸，可看作是）-（/，、；或山）:

二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项

式。而对于四项以上的多项式，如“恒-mb+ca▼汕既没有公式可用，也没有公因

式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来因式分解的方法

叫做分组分解法。分组分解法的关键在于如何分组。

1.分组后能提取公因式

【例3】把2ax-10”+56尸以分解因式。

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按*的降幕

排列，然后从两组分别提出公因式2a与"，这时另一个因式正好都是5y,这

样可以继续提取公因式。

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理

选择分组的方法。本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一

试。

［例4］把d）-（/_h）cd分解因式。

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然

后再分解因式。

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，

先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律。由此可以看出

运算律在因式分解中所起的作用。

2.分组后能直接运用公式

【例5】把/"x+a，分解因式。

分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公

式分解因式，其中一个因式是把第三、四项作为另一组，在提出公因式a

后，另一个因式也是户上

【例6］把2丁+4xy+2/-8Z分解因式。

分析：先将系数2提出后，得到其中前三项作为一组，

它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式。

说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运

用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有

公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式。

三、十字相乘法

1..+(P,g)x+pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的

两个因数之和。

x2+(p+g)x+pq=x2+px+qx+pq=A(X+p)+g(x+p)=(x+p)(x+g)

因此，--S*«!»-牍*指牍*，3

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。

【例71把下列各式因式分解：

(1)x2-lx+6⑵

x2+13x+36

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符

号与一次项系数的符号相同。

【例8】把下列各式因式分解：

(1)/+5X-24(2)

?-2x-15

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝

对值较大的因数与一次项系数的符号相同。

【例9】把下列各式因式分解：

(1)丁+D-6〉(2)

(X2+xy-8(X1+x)+12

分析：(1)把F+xy6/看成X的二次三项式，这时常数项是-6J,一次

项系数是，，把6V分解成“与2y的积，而3y+(-2y)=y,正好是一次项系

数。

(2)由换元思想，只要把'，+'整体看作一个字母心可不必写出，只当作分

解二次三项式/-8a+12。

2.一般二次三项式ax'+bx+c型的因式分解

大家知道，

(%x+q)=以町/+(耳。2+%q)*+cj

.反过来，就得到：

2

a[a2x+(atc2+a2ct)x^qq=(%*+G)(%x+c2)

我们发现，二次项系数a分解成为%,常数项。分解成2,,把可，小，G，c写成

%七,这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到4J+%q,如果它正好等于

江+bx+c的一次项系数6,那么K+bx+c就可以分解成(%x+cJ(i+G),其

中位于上一行，%,q位于下一行。

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做

十字相乘法。

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝

试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。

【例10]把下列各式因式分解：

(1)12x-5x-2(2)

5x2+6Ay-8y

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困

难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为

负数，用减法“凑"，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑“，先“凑“绝

对值，然后调整，添加正、负号。

四、其它因式分解的方法

1.配方法

【例11】分解因式丁+6.”16

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式

化为两个平方式，然后用平方差公式分解。当然，本题还有其它方法，请大家试

验。

2.拆、添项法

【例12】分解因式3/+4

分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行.细

查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把

一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决。

说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对

应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件。本题还可以将3寸拆成

父一4父，将多项式分成两组(x'+V)和一49+4。

一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：

(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘

法)来分解；

(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

练习

第三讲一元二次方程根与系数的关系(一课时)

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而

一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等

式及解析几何等章节有着许多应用。本节将对一元二次方程根的判别式、根与系

数的关系进行阐述。

一、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程ax；版+c=0(a=0),用配方法将其变形为：

2a4a~

(1)当从-4女＞0时，右端是正数。因唬之程有两个不相等的实数根：

-d±\Jb2-4ac

x-----------

2a

(2)当//-4ac=0时，右端是零。因此，方程有两个相等的实数根：

b

2a

(3)当Z/-4ac＜0时，右端是负数。因此，方程没有实数根。

由于可以用4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况。因此，把

//-420叫做一元二次方程/+打+。=0("0)的根的判别式，表示为：

&=b'-4ac

【例11不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

(1)2r-3x+l=o(2)4「+9=l2y(3)

5(x2+3)-6A=0

说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式。

［例2］已知关于x的一元二次方程3X=2X+A=O,根据下列条件，分别求

出女的范围：

(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相

等的实数根；

(3)方程有实数根；(4)方程无实

数根。

【例3】已知实数X、＞满足x+J；-H+2A-J+I=O,试求x、，的值。

二、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程“解+"0(a/0)的两个根为:

-b-、b-4QC-b-个b—4ac

X\=2(i,

所以：

yjb2-4ac-b-^Jb2-4acb

-b+y/b2-4ac-b-\/b2-4ac(.-b)2-(vft2-4ac)24acc

x-xI--------------------------------------------------------------------；----------------=—

}la2a(2a)24a2a

定理：如果一元二次方程ax：，=°(”°)的两个根为,那么：

bc

%+毛=—,%%=一

a"a

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所

以通常把此定理称为“韦达定理”。上述定理成立的前提是A20。

【例4】若'」是方程f+2x-2007-0的两个根，试求下列各式的值：

1+±

(1)xj+xj；(2)X、xz；(3)

(占-5)(x,-5).⑷|A,_&I。

分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂

的计算。这里，可以利用韦达定理来解答。

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

11再+与

22

X：+X；=(%+劣尸-2、£X[X2X/](A；-)=(X)+X,)-4A,A,

2

|%-七1=+毛)’-4%x；j,+X,A,=+X,))

X：+X；=(A；+七)、3、与(,\+")等等。韦达定理体现了整体思想。

V-(A+l)x+—内+1=0

[例5]已知关于X的方程4,根据下列条件，分别求

出人的值。

⑴方程两实根的积为5；⑵方程的两实根斗与满足

分析：（1）由韦达定理即可求之；（2）有两种可能，一是二是

=所以要分类讨论。

说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意

方程有两实根的条件，即所求的字母应满足△20。

［例6］已知牛三是一元二次方程4k+八”0的两个实数根。

/2x—Ywx—2x>）=——>

（1）是否存在实数3使--2成立？若存在，求出A的值；

若不存在，请您说明理由。

（2）求使4外的值为整数的实数A的整数值。

说明：（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求

出，则说明存在，否则即不存在。

（2）本题综合性较强，要学会对《+।为整数的分析方法。

练习

第四讲不等式（两课时）

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。高中阶段

将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识。本讲先介绍一些高中新课标

中关于不等式的必备知识。

一、一元二次不等式及其解法

1.形如小+A+c>0（或<0）（其中a工0）的不等式称为关于x的一元二次不

等式。

2.一元二次不等式八'+桁+c>0（或<。）与二次函数｝=ax'+bx+c（a工0）

及一元二次方程K+b*+c=o的关系（简称：三个二次）。以二次函数

y=/+x6为例：

yf

-3.\0/2

（1）作出图象;

（2）根据图象容易看到，图象与x轴的交点是（-3,0）.（2,0）,即当,”-3或2

时，y一°。就是说对应的一元二次方程x'+x-6=0的两实根是'=-3或2。

（3）当x<-3或x>2时，y>0,对应图像位于x轴的上方。就是说

x2+A-6>0的解是X<-3或X>2。

当-3<x<2时，"0,对应图像位于x轴的下方。就是说丁+乂-6<0的

解是-3Vx<2。

一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步

骤如下：

（1）将二次项系数先化为正数；

（2）观测相应的二次函数图象。

①如果图象与x轴有两个交点（牛°），（&，°）,此时对应的一元二次方程有两个

不相等的实数根**（也可由根的判别式A>。来判断）。

捋口么（图1）•+bx+c>0（a>0）=A<%或才\

（---,0）

②如果图象与'轴只有一个交点2a此时对应的一元二次方程有两个

b

相的实数根''一万（也可由根的判别式A=。来判断）o

、.b

c>0（s>0）<=>x=---

那么（图2）：2a

ax'++c<0（a>0）<=>无解

③如果图象与X轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根（也可由

根的判别式A<0来判断）。

那么（图3）：afc>°（a>0）=x取一切实数

ax2+c<0(a>0)<=>无解

如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：

(1)化二次项系数为正；

(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根'…占.那么

“>0”

型的解为X<M或X>X2(俗称两根之外)；“<0”型的解为一’(俗称两根之

间)；

(3)否则，对二次三项式进行配方，变成

1b248c—b

a)C+c=a(x+—)+-------------

2a4a,

结合完全平方式为非负数的性质求解。

【例11解不等式丁+x-6>0。

分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则一一正正(负负)得正、

正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组。

说明：当把一元二次不等式化为ax'""。>0(或<。)的形式后，只要左边可

以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法。

［例2］解下列不等式：

(1)(x+2)(x-3)<6(2)(x-1)(x+2)4(x-

2)(2x+l)

分析：要先将不等式化为ax'c>。(或<。)的形式，通常使二次项系数

为正数。

【例3】解下列不等式：

(1)x2-2x-8<0(2)X2-4,v+4^0(3)

X2-A+2<0

【例4】已知对于任意实数X,A/-2X+A恒为正数，求实数*的取值范围。

［例5］已知关于x的不等式TH-0的解为求北的

值。

分析：对应的一元二次方程的根是I和3,且对应的二次函数的图象开口向

上。根据一元二次方程根与系数的关系可以求解。

说明：本例也可以根据方程有两根1和3,用代入法得：

仆1)2-d+1)(-1)-3=0,«3-*〃+1一=0,且注意《>0,从而《=1。

二、简单分式不等式的解法

【例6】解下列不等式：

(1)

2x-3八

-----<0

x+1(2)

X2-X+1

分析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个

一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)乘也

异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解。

(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数。

【例7】解不等式x+2

说明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0。

(2)本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：

上，3n「+2>。或「+2<。或或2

x+23(x+2)>13(x+2)<1——3

'1I3I3

三、含有字母系数的一元二次不等式

一元一次不等式最终可以化为">°工0)的形式。

b

(1)当a>。时，不等式的解为：一三；

色

(2)当"0时，不等式的解为：“:；

(3)当&=0时，不等式化为：0x>b；

①若b?0,则不等式无解；②若b<0,则不等式的解是全体实数。

【例8】求关于x的不等式nrx+2>2mx+m的解。

【例9】已知关于*的不等式〃-Ax>x+2的解为'-3,求实数人的值。

分析：将不等式整理成。的形式，可以考虑只有当">0时，才有形如

b_b

a的解，从而令a2。

练习

第五讲二次函数的最值问题(一课时)

二次函数尸=a『.6x+c（aN0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要

基础。在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量'取任意实数时的最值情况

b4ac-b2

（当a>0时，函数在'一焉处取得最小值4a,无最大值；当&<。时，函数

b4ac-b2

在'2a处取得最大值4a,无最小值。

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量'在某个范围内取值时，函数的最

值问题。同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用。

【例1】当-2vxv2时，求函数，2、一的最大值和最小值。

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低

点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量、的值。

【例2】当叱xv2时，求函数J，-一「1的最大值和最小值。

【例3】当CO时，求函数-M2-X）的取值范围。

125

y--x—x—

【例4】当rvxvr+l时，求函数22的最小值（其中，为常数）。

分析：由于x所给的范围随着，的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围

的相对位置。

［例5］某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天

的销售量（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，"1623x,3O£x<54o

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润，与每件销售价、之间的函数关系

式；

（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？

最大销售利润为多少？

练习

第六讲简单的二元二次方程组（一课时）

在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解

法，掌握了用消元法解二元一次方程组.高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，

需要用到二元二次方程组的解法.因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解

法。

含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元

二次方程。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次

方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组。

一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组

一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法

求解.其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。

\2x-y=0(1)

【例1】解方程组〔解-炉+3=°⑵

分析：由于方程⑴是二元一次方程，故可由方程Q),得，=2x,代入方程

⑵消去九

说明：

(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：

①由二元一次方程变形为用x表示产的方程，或用¥表示x的方程(3)；

②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；

③解消元后得到的一元二次方程；

④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3),求相应的未

知

数的值；

⑤写出答案。

(2)消x,还是消几应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数，那

么最好消去系数绝对值较小的，如方程x-2y+l-0,可以消去、,变形得

、二2尸I,再代入消元。

(3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的

值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点

切记。

*+y=|1(1)

【例2】解方程组I28(2)

分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把,*、

，看成是方程？-।lz+28=0的两根，则更容易求解。

(x+y=a

说明：(D对于这种对称性的方程组'-11h,利用一元二次方程的根与系

数的关系构造方程时，未知数要换成异于X、的字母，如z。

fx=4Lv=7

(2)对称形方程组的解也应是对称的，即有解,,则必有解14。

二、由两个二元二次方程组成的方程组

1.可因式分解型的方程组

方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转

化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程

组成。

V-/=5(x+y)(1)

［例3］解方程组X?+个+炉=43(2)

分析：注意到方程=j),可分解成(x+y)(x-y-5)=°,即得

*+^-°或、y5=0,则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一

个方程为二元一次方程。

说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分

解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程

组均有一个方程是二元一次方程。

X2+xy=12(1)

［例4］解方程组xy+「=4(2)

分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数

项，可得到一个二次三项式的方程.对其因式分解，就可以转化为例3的类型。

说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方

程.此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次

方程组。

fX2+/=26(1)

【例5】解方程组1刈=5⑵

分析：⑴+(2)x2得："+.疗=36,，(1)_(2)x2得：

(xy)2=16(4),分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组。

fZ+K=f+y=<?

说明：对称型方程组，如1x+y=6、m都可以通过变形转化为

x+y=m

xy=n的形式，通过构造一元二次方程求解。

2.可消二次项型的方程组

j悬新*巽:二ri；

【例6】解方程组1%尸俾密：

分析：注意到两个方程都有廿项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次

方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.

说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二

次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程

组，即得原方程组的解.二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方

法，具体问题具体解决。

练习

第七讲分式方程和无理方程的解法（一课时）

初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法。本讲将要学习

可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法.并且只要求掌握（1）

不超过三个分式构成的分式方