《平均变化率》教案

1.1.1《平均变化率》教案一、教学目标1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义.2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.二、教学重点、难点重点：平均变化率的实际意义和数学意义难点：平均变化率的实际意义和数学意义三、教学过程一、问题情境1.情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.时间344日最高气温3.518.633.4观察：3月18日到4月18（理解图中A、B、C点的坐标的含义）T/0CT/0t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)TT(℃T)210问题1：你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？（形与数两方面）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度.问题2：你能据此归纳出“函数f(x)的平均变化率”的一般性定义吗？如果将上述气温曲线看成是函数y=f(x)的图象,任取x1,x2[1,34]则函数y=f(x)在区间[1,34]上的平均变化率为，在区间[1，x1]上的平均变化率为，在区间[x2，34]上的平均变化率为.问题3：下面分别是两个函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在区间[x1,x2]上平均变化率是否相等？为什么？用平均变化率来量化曲线的陡峭程度是“粗糙不精确”的.问题4：如图，请分别计算气温在区间[1，32]和区间[32，34]上的平均变化率.气温在区间[1，32]上的平均变化率约为0.5；气温在区间[32，34]上的平均变化率为7.4.问题5：你能发现“平均变化率的数值”和“曲线的陡峭程度”以及“气温变化的速度”之间有什么样的对应关系吗？平均变化率的绝对值越大，曲线越陡峭，变量变化的速度越快.二、学生活动1.曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度.2.由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？3.在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变.三、建构数学1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化.2.一般地,给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.4.平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”.四、数学运用例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.重量W(单位:kg)W/W/kg639123.56.58.611t/月t/月解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为=1（kg/月）从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为=0.4（kg/月）【跟踪练习1】水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积（单位：），试计算第一个10s内V的平均变化率.解：在第一个10秒内，体积V的平均变化率为=＝－0.25（/ｓ）,即第一个10s内容器甲中水的体积V的平均变化率为－0.25（/ｓ）.例2已知函数f（x）=2x+1，g（x）=—2x，分别计算函数f（x）及g（x）在区间[-3，-1]，[0，5]上的平均变化率.解：函数f（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为==2.同理可得,函数f（x）在区间[0，5]上的平均变化率为2；函数g（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为-2；函数g（x）在区间[0，5]上的平均变化率为-2．【跟踪练习2】已知f(x)=3x+1,求f(x)在区间[a,b]上的平均变化率:(1)a=-1,b=-2;(2)a=-1,b=1;(3)a=-1,b=-0.9.例3已知函数，分别计算函数在下列区间上的平均变化率：(1)[1，3]；(2)[1，2]；(3)[1，1.1]；(4)[1，1.01];(5)[1，1.001].[探究与思考]当x0逼近1的时候，f(x)在区间[1，x0]上的平均变化率呈现什么样的变化？答案：逼近2五、回顾小结1.本节课学习的数学知识有：平均变化率的概念；平均变化率的应用2.本节课涉及的数学思想方法有：以直代曲